高等数学偏导数

1、19.2 偏导数偏导数9.2.1 偏导数的概念及其计算法偏导数的概念及其计算法 例如例如, 二元函数二元函数 z = f (x, y), 先让先让 y固定固定 (即即y视为常数视为常数), 这时这时z就是就是 x的一元函数的一元函数, z 对对 x的导数的导数, 为求一元函数的变化率为求一元函数的变化率, 我们引入了导数的概念我们引入了导数的概念.对于多元函数对于多元函数, 我们先考虑它关于一个自变我们先考虑它关于一个自变量的变化率量的变化率.称为二元函数称为二元函数 z 对对 x的偏导数的偏导数.2设二元函数设二元函数z = f (x, y), P0(x0, y0)为平面上一点为平面上一点.

2、 定义定义9.3如果如果z = f (x, y0)在在x0的某一邻域内有定义且在的某一邻域内有定义且在x0点点即极限即极限xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在存在,处处在在点点),(),(00yxyxfz 则称此极限为函数则称此极限为函数对对x的偏导数的偏导数,记为记为,00yyxxxz ,00yyxxxf ,00yyxxxz ).,(00yxfx 或或可导可导,3yyxfyyxfyxfyy ),(),(lim),(0000000同理同理,可定义函数可定义函数 在点在点 处处对对y的偏导数为的偏导数为),(yxfz ),(00yx记为记为,00yyxxyz ,00yyxxyf

3、或或).,(00yxfy ,00yyxxyz 4的的偏导数偏导数, 如果函数如果函数 z=f (x, y)在区域在区域D内任一点内任一点 (x, y) 处处 对对x 的偏导数都存在的偏导数都存在,那么这个偏导数就是那么这个偏导数就是 x、y 同理同理, 可以定义函数可以定义函数 对自变量对自变量 y),(yxfz 数数, 简称简称偏导数偏导数.的函数的函数, 称其为函数称其为函数z=f (x, y)对自变量对自变量 x 的偏导函的偏导函记作记作 或或xz ).,(yxfx ,xfxz ).,(yxfy 记作记作 或或yzyfyz ,5求多元函数的偏导数求多元函数的偏导数并不需要新的方法并不需要

4、新的方法,利用一元函数利用一元函数),(yxfx 如如求求只需将只需将y 看作常量看作常量,的求导法对的求导法对x 求导即可求导即可.解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz82312 21yxyz72213 例例 求求 在点在点 处的偏导数处的偏导数223yxyxz )2 , 1(6证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 证毕证毕),1, 0( xxxzyzyzxxzyx2ln1 例例 设设证明证明7偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(

5、zyxxzyxfzyxxfzyxfxx ),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy ),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz ),(),(lim),(08解解利用函数关于自变量的对称性利用函数关于自变量的对称性, 有有例例 求求 的偏导数的偏导数222zyxr xzyxxr221222 ,222zyxx ,222zyxyyr 222zyxzzr 9三个偏导数三个偏导数.2lnsin)(),(xazzyxfxy 求求解解 求某一点的偏导数时求某一点的偏导数时,12lnsin xx)2 , 0 , 1(yf )2 , 0 , 1(zf )2 , 0 , 1(xf1

6、2lncos2 xxx2 , 000 y002 z例例变为一元函数变为一元函数,代入代入,在点在点(1,0,2)处的处的可将其它变量的值可将其它变量的值再求导再求导, 常常较简单常常较简单.10 求求 在点在点(1,0)处的两个偏导数处的两个偏导数.yyxzsin2 解解1, 0)0, 1( xz0)sin()0, 1( yyyyz2)cos1(0 yy解解2,2xyxz ,cos2yxyz , 0)0, 1( xz. 2)0, 1( yz11证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVTRVpT pTTVVp2VRT pR RV 1 pVRT RTpV . 1 pTTVVp例例

7、已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程(R 为常数为常数), 求证求证:12有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明： )0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当当当例例.),(的偏导数的偏导数求求yxf解解,)0 , 0(),(时时当当 yx1. 偏导数偏导数 是一个整体记号是一个整体记号, 不能拆分不能拆分;xf 2. 分界点、不连续点处的偏导数要用定义求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;13 ),(yxfxy222)(yx )(22yx xxy 2 22222)()(yxxyy ),(yxfy222)(yx )(22yx xyxy 2 22

8、222)()(yxyxx ,)0 , 0(),(时时当当 yx按按定义定义得得 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当当当 )0 , 0(xf00lim0 xx )0 , 0(yf00lim0 yy xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy)0 , 0()0 , 0(lim0143. 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系但函数在该点处没有极限，所以不连但函数在该点处没有极限，所以不连续续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连

9、续连续，. 0)0 , 0()0 , 0( yxff由前面的例子可知在由前面的例子可知在(0,0)处处,例如例如, 函数函数,0, 00,),(222222 yxyxyxxyyxf15例例 研究函数研究函数 在在(0,0)点的点的.)0 , 0(),(在在点点的的两两个个偏偏导导数数都都不不存存在在yxf解解 因为因为连续性与可偏导性连续性与可偏导性. 22),(yxyxf 220000lim),(limyxyxfyxyx ),0 , 0(0f 所以所以, 函数在函数在(0,0)点连续点连续. 而而,)0 ,(xxf yyf ), 0(所以所以,16 二元函数二元函数f(x, y)在点在点 (

10、x0, y0)处两个偏导数处两个偏导数 fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是存在是 f (x, y) 在该点连续的在该点连续的( ).A. 充分条件而非必要条件充分条件而非必要条件B. 必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件C. 充分必要条件充分必要条件D. 既非充分条件又非必要条件既非充分条件又非必要条件D17),(yxfz 设二元函数设二元函数),(,(00000yxfyxM设设在点在点),(000yxM有有如图如图,),(yxfz 为曲面为曲面偏导数偏导数.上的一点上的一点,0M),(yxfz 过点过点0M作作平面平面,0yy 此平面此平面与曲面相交得一曲线与曲面相交得

11、一曲线, 曲线的曲线的方程为方程为 ),(yxfz .0yy ),(0yxfz 由于偏导数由于偏导数),(00yxfx 等于一元函数等于一元函数),(0yxf的的导数导数),(0yxf ,0 xx 故由故由一元函数导数的几何意义一元函数导数的几何意义0 x0y9.2.2 偏导数的几何意义偏导数的几何意义yzOx18可知可知:0 xyTxT0y),(yxfz ),(0yxfz 0M偏导数偏导数),(00yxfx 在几何上表示在几何上表示曲线曲线 ),(yxfz 0yy 在点在点),(,(00000yxfyxM处的切线对处的切线对x轴轴的斜率的斜率;偏导数偏导数),(00yxfy 在几何上表示在几

12、何上表示曲线曲线 ),(yxfz 0 xx 在点在点),(,(00000yxfyxM处的切线对处的切线对y轴轴的斜率的斜率.),(0yxfz yzOx19.),(),(,(00000上一点上一点为曲面为曲面yxfzyxfyxM 设设20例例 求曲线求曲线在点在点(2,4,5)处的切线处的切线与与x轴正向所成的倾角轴正向所成的倾角.解解,21),(xyxfx ,tan1)4 , 2( xf4 4422yyxz21 xz),(yxfyy ),(yxfxy ),(yxfyx 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导x 22xz ),(yxfxx 22yz yzy yxz 2 xzy xyz 2 yzx 定义定义

13、 二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.9.2.3 高阶偏导数高阶偏导数函数函数 的二阶偏导数为的二阶偏导数为),(yxfz 22解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz xyx1823 xyz 219622 yyxyxz 2, 19622 yyx, 13323 xyxyyxz.222222xyzyxzyzxz 及及、例例 设设求求23一般地一般地, 多元函数的高阶混合偏导数如果连多元函数的高阶混合偏导数如果连续就与续就与求导次序无关求导次序无关.如果函数如果函数的两个二阶混合偏的两个二阶混合偏),(),

14、(yxfyxfyxxy 与与在区域在区域D内内连续连续,定理定理9.1那么在那么在导数导数该区域内该区域内).,(),(yxfyxfyxxy 如如 yxf23 xyxf3.23xyf ),(yxfz 问题问题: 混合偏导数都相等吗混合偏导数都相等吗? 具备怎样的条件具备怎样的条件 才相等才相等 ?24解解),ln(21),(22yxyxu ,22yxxxu 2222222)(2)(yxxxyxxu .)(2222222yxyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu 0 利用函数关于自变量的对称性利用函数关于自变量的对称性. 02222 yuxu例例 验证函数验证函数 满足满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程22ln),(yxyxu 22222)(yxxy 25例例 验证函数验证函数)sin(ayxz .22222xzayz 满足满足波动方程波动方程:证证 因因 xz 22xz yz 22yz故有故有.22222xzayz ),cos(ayx );sin(ayx ),cos(ayxa ),sin(2ayxa 26有连续的二阶有连续的二阶且且设设 ,)()(1fyxyxyfxz ).(,2 yxz则则导数导数)()()(yxyyxxyf y )()()(12yxyxyfxyxyfxxz 例例27有有连连续续的的其其中中设设gfxyxgyxyfu, .,222y