第10章套利定价理论与风险收益多因素模型

1、第10章 套利定价理论与风险 收益多因素模型1套利：利用证券之间的错误定价来赚取无风险利润的行为。套利定价理论（APT）：如何将因素模型与无套利条件相结合从而得到期望收益和风险之间的关系的平衡方法。 2101多因素模型概述 1011证券收益的因素模型单因素模型单因素模型资产收益的不确定性有两个来源：一是公共或宏观经济因素，二是公司特有因素。用公共因素来度量宏观经济中新信息的影响，并定义这些新信息的期望收益为零，因此公共因素的期望收益也应当为零。 3如果用F表示公共因素偏离其期望值的离差，i表示公司i对公共因素的敏感程度，ei为公司特有的扰动项，由因素模型可知，公司i的实际收益应等于它的初始期望

2、收益加上一项反映未预期到的宏观经济事件影响的随机变量（零期望值），再加上另一项反映公司特有事件的随机变量（零期望值）。 4单因素模型（single-factor model）可以用式（10-1）来表示： ri=E（ri）+iF+ei （10-1） 其中E（ri）为股票i的期望收益。 注意：如果在任何时期宏观经济因素都为零（如宏观经济没有很大波动）证券收益等于它先前的期望收益值E（ri）加上公司特有事件引起的随机变量。（假定非系统因素ei均不相关且与因素F不相关。） 5例1O-1：假定宏观经济因素F反映所处的经济周期，这一指标由未预期到的国内生产总值(GDP)变化的百分比来衡量，如果普遍认为今年

3、的GDP将会增长4，而实际上GDP仅仅增加3，那么F值为-1，代表实际增长与预期增长有-1的离差。给定股票的值为1.2，则预期的落空将造成股票收益率比之前预期的收益率低1.2。这一未预期到的宏观变化，和公司特有的扰动项ei一起决定股票收益对初始期望收益的偏离。6 例10-2：假定在上例中当前股票的期望收益为10。许多宏观经济信息表明GDP增长为5而不是4。你将如何修正该股票的期望收益率? 7两因素模型用一个两因素模型来描述某一时间段内股票i的收益率： （10-2）经济周期的不确定性GDP增长率；利率的波动IR来表示；系数度量股票收益对该因素的敏感程度；ei公司特定因素的影响。 ( )iiiGD

4、PiIRirE rGDPIRe8例10-3：利用多因素模型进行风险评估两因素模型对东北航空公司进行评估，得到如下结果：东北航空公司的期望收益率为13.3；GDP每增加1个百分点，股票收益率增加1.2；利率每增加1个百分点,股票收益率下降0.3。 0.1331.2()0.3()rGDPIRe91012多因素证券市场线多因素模型仅仅是对影响证券收益的因素进行描述，没有说明是什么决定证券的期望收益率,所以需要一个均衡证券收益的理论模型。资本资产定价模型认为：证券均衡定价给投资者提供了一个期望收益，用以补偿货币时间价值的无风险利率和由基准风险溢价(如市场投资组合提供的风险溢价)乘以测度相对风险的值，即

5、 E（r）=rf+E（rM）-rf （10-3） 10 如果以R来表示市场投资组合的风险溢价，那么式（10-3）可以表示为： 根据所有知识，可以总结出证券的期望收益等于以下之和：（1）无风险收益率（2）对GDP风险的敏感度（即GDP的）乘以GDP的风险溢价 （3）对利率风险的敏感度（即利率），乘以利率的风险溢价则两因素的证券市场线为： E（r）=rf+GDPRPGDP+IRRPIR （10-5）GDP证券收益对非预期的GDP增长的敏感程度； RPGDP“单位”GDP风险的风险溢价。 （10-4）( )fME rrRP 11例10-4：多因素证券市场线 在例10-3航空公司的回归估计中，航空公司

6、GDP的等于1.2，利率等于-0.3。假设GDP的单位风险溢价为6,而利率的单位风险溢价为-7。因此航空公司投资组合的总风险溢价等于用以补偿每一系统性风险来源的风险溢价之和。 GDP风险的风险溢价:1.26=7.2； 利率风险的风险补偿:-0.3(-7)=2.1； 总风险溢价等于7.2+2.1=9.3。 12因此，如果无风险利率为4，航空公司的总回报率等于 4.0% 无风险利率 +7.2% +GDP风险的风险溢价 +2.1% +利率风险的风险溢价 13.3% 总期望收益可以用式（10-5）简单说明注意：相对于单因素模型和资本资产定价模型，多因素模型给了一种更丰富的方法来处理风险补偿。 ( )

7、4% 1.2 6% ( 0.3) ( 7%) 13.3%E r 13 例10-5：如果上例中的风险溢价为则航空公司的期望均衡收益值是多少? 14 102套利定价理论史蒂芬罗斯在1976年提出套利定价理论（arbitrage pricing theory，ATP）。套利定价理论预测了与风险期望收益相关的证券市场线，但其得出证券市场线的方式与之不同。罗斯的套利定价理论基于三个基本假设：因素模型能描述证券收益；市场上有足够的证券来分散风险；完善的证券市场不允许任何套利机会存在。 151021套利、风险套利与均衡当投资者不需要进行净投资就可以赚取无风险利润时，就存在套利（arbitrage）机会。一价

8、定律（Law of One Price）指出如果两项资产在所有的经济性方面均相同，那它们应该具有相同的市场价格。一价定律被套利者所利用:一旦发现违背了这一定律，他们将进行套利活动在价格低的地方买进资产并同时在价格高的地方售出资产。在这一过程中，他们将促使低价市场价格上扬，而高价市场价格被压低，直到套利机会消失。 16 无风险套利投资组合最重要的性质是：无风险套利投资组合最重要的性质是：不管其风险厌恶程度和财富水平如何，投资者都愿意持有一个无限的头寸。由于大量的头寸使价格上涨或下跌至套利机会完全消除，证券价格将满足“无套利条件”，也就是停留在一个不存在套利机会的价格水平上。 17无套利条件：指少

9、量投资者发现投资机会并大量动用自己的资金在短时间内使价格恢复均衡。 “套利者”通常表示在专业领域如并购某目标股票中寻找没有被正确定价的行为，而不是寻找严格意义上（无风险）套利机会的人。这样的行为通常称作风险套利（risk arbitrage）来与纯套利进行区别。 1810102 22 2充分分散的投资组合充分分散的投资组合建一个n只股票的投资组合，那么投资组合的收益率可以表示为 式中， 是n个证券的的加权平均值，其权重为 非系统部分是n种股票的加权平均值。（10-6） ()pppprE rFe piiw,1iiww piiew e19投资组合的方差分为系统的与非系统,投资组合方差为：其中，是因

10、素F的方差，而 是投资组合的非系统性风险。注意：在获得投资组合的非系统方差时，假设公司特有风险ei相互独立的，因此投资组合非系统部分ei的方差是单个非系统方差与投资头寸的平方的加权之和。 2222()PPFPe 2F 的的方方差差222()()()Piiiiew ewe20如果投资组合是等权重的，即那么非系统方差应该等于：投资组合的非系统方差等于非系统方差的平均值除以n。当n变大时，非系统方差趋近于零。如果投资组合权重不相等，这一性质依然成立。 的的方方差差222221()()()()11()Piiiiiew eeneennn 21充分分散的投资组合（well-diversified port

11、folio）：即按照各自的比例wi分散投资于数量足够大的证券，从而降低非系统方差 从而使之忽略不计。由于任何充分分散的投资组合的eP的期望值为零，同时方差也趋近于零，可以得出e的值实际上也为零的结论。在实践中得到充分分散的投资组合：2()Pe ()ppprE rF 22例10-6：a一个投资组合投资于多种股票（n很大）。这些股票残余收益的标准差并不比其他的投资组合大。然而，将一半的投资组合投资于股票1，其余的等量投资于n-1只股票。请问这个投资组合是充分分散的吗?b另一个投资组合投资于同样的n只股票，n非常大。如果不是等权重的每只股票占的投资，而是一半股票占1.5/n的权重而另一半股票占0.5

12、/n的权重，那么这个投资组合是充分分散的吗？ 231023贝塔与期望收益由于非因素风险可以被分散掉，只有因素风险在市场均衡中存在风险溢价。在充分分散的投资组合中各公司的非系统性风险互相抵消，则投资者承担这些风险但未必能获得风险溢价。相反,只有证券的投资组合的系统性风险才与其期望收益有关。 24图10-1a中实线勾画出的在不同的系统性风险下，一个A=1的充分分散的投资组合A的收益情况。投资组合A的期望收益为10；即实线与纵轴相交的点。投资组合的收益率为：图10-1b是一个S=1的简单股票。它的非系统性风险不能被分散掉，呈现为分别分布在直线两侧的点。相反，对于充分分散的投资组合，其收益完全由系统因

13、素所决定。 ()10%1.0AAE rFF 25图10-2虚线表示的是另一个充分分散的投资组合B的收益，其期望收益率为8，B=1。那么相同，收益不同的投资组合A与B能一起在图中并存吗?显然不能:无论系统因素是多少,A的收益高于B，将存在套利机会。 26套利策略：买入高收益资产，卖出低收益资产以100万美元卖空B并同时买进100万美元的A,一个净投资策略，你可以获取2万美元的无风险收益，如下：结论：在市场均衡中，相等的充分分散的投资组合必须有相同的期望收益，否则存在套利机会。 万万的的多多头头万万的的空空头头万万万万净净收收益益(0.101.0) 100(0.081.0) 1000.02 100

14、2FAFB271024单因素证券市场线现在考虑一个市场指数投资组合M，它是一个充分分散的投资组合，用组合的未预期收益来测量系统性风险因素。由于市场投资组合必须在图10-4上，并且指数投资组合的为1，可以由其来决定曲线的方程。 28图10-3 一个套利机会 图10-4 证券市场线 29如图10-4所示，截距为rf，斜率为 ，该线可以表示为：（10-7）因此,图10-3与图10-4表明证券市场线所描述的关系与资本资产定价模型所描述的关系相同。 ()();1MfMfE rrriseE rrrun()()PfMfPE rrE rr 30例例10-710-7：套利与证券市场线：套利与证券市场线假设市场指

15、数是一个充分分散的投资组合，其期望收益率为10，收益偏离期望的离差（如rM-10%）可以视为系统性风险因素。国库券利率为4。因此证券市场线式（10-7）表明充分分散的投资组合E，如其为 ，则它的期望收益E为 如果期望收益率为9呢?这将存在套利机会。 2324%(104)8%331套利策略：买入高收益资产，卖出低收益资产。买进1美元的股票并卖出1美元的投资组合，其中1/3投资于国库券其他投资于市场。构建的这一投资组合与投资组合E具有相同的值，该投资组合的收益为 净收益为： 12124%3333fMMrrr32每美元投资产生的收益是无风险的，并且精确地等于证券市场线上投资组合E的期望收益率的离差。

16、 3310103 3套利定价理论与资本资产定价模型的比较套利定价理论与资本资产定价模型的比较套利定价理论：1提供了一种可用于资本预算、证券估值以及投资业绩评价的收益率基准线。2强调不可分散风险需要风险溢价来补偿，可分散风险不需要。3依赖于“资本市场中的理性均衡会排除套利机会”的假设。即便是很少的投资者注意到市场的不平衡，违背套利定价理论关系将会产生巨大的压力使之恢复均衡。 344套利定价理论利用一个由许多证券构成的充分分散的投资组合来得出期望收益贝塔关系。5套利定价理论表示只对除一小部分之外的所有证券适用。由于它着眼于无套利条件，不需要市场或指数模型的进一步假定，因此套利定价理论不能排除特殊的

17、单个资产违背期望收益贝塔关系。 35资本资产定价模型：资本资产定价模型：1建立在假设存在一个内生的不可观测的“市场”投资组合上。2资本资产定价模型依赖均方差的有效性，如果有证券违背了期望收益贝塔关系，那么许多投资者（除相关的小部分）将调整自己的投资组合，使他们共同对价格造成压力迫使这种关系再次满足。3资本资产定价模型对所有证券的期望收益贝塔关系做出了明确清晰的阐述。 3610104 4多因素套利定价理论多因素套利定价理论纯因子组合（factor portfolio）：即构建一个充分分散的投资组合其中一个因素的为1，另一个因素的为零，该投资组合的收益跟踪某些特殊的宏观经济风险来源的演变，而与其他

18、的风险来源无关。 37例10-8：多因素证券市场线假设有两个纯因子组合1和2，期望收益率分别为E（r1）=10%和E（r2）=12%，无风险利率为4。第一个纯因子组合的风险溢价为10-4=6第二个纯因子组合的风险溢价为12-4=8 一个充分分散的投资组合A：第一个因素的A1=0.5；第二个因素A2=0.75。 38投资组合A的风险溢价：风险因素1的风险的补偿：A1E（r1）-rf=0.5（10-4）=3风险因素2的风险的补偿： A2E（r2）-rf=0.75（12-4）=6投资组合总的风险溢价应该等于3+6=9,投资组合的总收益为4+9=13。 39推广：任何投资组合P所面临的风险因素都由P1

19、,和P2来表示。构建一个与投资组合P相匹配的投资组合Q，第一个因素投资组合权重P1，第二个因素投资组合权重P2，国库券投资权重为1-P1-P2。投资组合Q与投资组合P具有相同的贝塔，其期望收益为： （10-8）1122121122()( )( )(1)( )( )QPPPPffPfPfE rE rE rrrE rrE rr40将式（10-5）中的数据代入，得： ()40.5 (104)0.75 (124)13%QE r41例10-9：错误定价与套利假设例10-5中投资组合A的期望收益为12而不是13。这一收益将会产生套利机会。由纯因子组合构建一个与投资组合A具有相同的投资组合。第一个纯因子组合的权重为0.