考研数学模拟试题数学二

1、考研数学模拟试题数学二考研数学模拟试题（数学二）参考答案一、选择题（本题共8 小题，每小题 4 分，满分32 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设 x0 是多项式 P(x) x4 ax3 bx2 cx d 的最小实根，则（） .（ A） P (x0 ) 0（B） P ( x0 ) 0 （C） P ( x0 ) 0（D） P ( x0 ) 0解选择A. 由于lim P( x)x是多项式P(x)的x x0，又 0最小实根，故 P ( x0 ) 0 .2.设 limxaf ( x) f (a)1则函数 f ( x) 在点 xa （） .3ax（A）

2、取极大值（ B）取极小值（ C）可导（ D）不可导解选择 D. 由极限的保号性知，存在U ( a) ，当x U (a) 时，f ( x)f (a)0 ，当 xa 时，f (x)f (a) ，当 x a时，3axf ( x)f (a) ，故 f (x) 在点 xa 不取极值 .f ( x)f (a)f ( x)f (a)12，所以f ( x)在点x a不x ax a3limxalim3a( x a)x可导 .3.设 f ( x, y) 连续，且满足 f ( x, y)f ( x, y) ，则f ( x, y) dxdyx2y2 1（） .（A） 211x2B11 y 20 dx0f ( x, y

3、)dy0 dy1y2（ ） 2（C） 211x2（D） 211y20 dx1 x2 f ( x, y) dy0 dy0解选择 B. 由题设知f (x, y)dx f ( x, y)dx11y2f ( x, y)dxdy 2f ( x, y)dxdy 20dy1y2 f (x, y)dx .x2 y2 1x2 y2 1, y 04.微分方程 y2 yx e2x 的特解 y* 形式为（） .(A)(C)y*(axb)e 2x(B) y* ax e2 xy*ax2 e2x(D) y* (ax2 bx)e 2 x解 选择 D. 特征方程 r 2 2r 0，特征根 r 0, r 2 ， 2 是特征根，特

4、解 y* 形式为y*x(axb) e2 x .5. 设函数 f (x) 连续，则下列函数中，必为偶函数的是（） .（ A）（ C）xf (t 2 ) dt（B）xf 2 (t )dt00xt f (t ) f ( t )dt（ D）xt f (t ) f ( t ) dt00解选 择C.由 于 t f (t) f ( t ) 为 奇 函 数 ， 故x t f (t )f ( t )dt 为偶函数 .06. 设在全平面上有x0 ，y，则保证不等f (x, y)f (x, y)0式 f (x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) 成立的条件是（A） x1x2 ， y1y2 .（B）（C） x1

5、x2 ， y1y2 .（D）x1x2， y1y2x1x2， y1y2.解选择 A. f ( x, y)0f ( x, y) 关于 x 单调减少，xf ( x, y)0f (x, y) 关于 y 单调增加，y当 x1x2 ， y1y2 时， f ( x1 , y1 )f ( x2 , y1 ) f ( x2 , y2 ) .7.设 A 和 B 为实对称矩阵， 且 A 与 B 相似，则下列结论中不正确的是（） .(A) AE与 BE相似(B) A与B合同(C)AEBE(D)AEBE解 选择 D. A 与 B 相似可以推出它们的多项式相似，它们的特征多项式相等，故 A，C 正确，又 A和 B为实对称

6、矩阵， 且 A与 B相似，可以推出 A 与 B合同，故 B 正确.8. AAm n ， R( A)r ， b 为 m 维列向量，则有（）.(A)当 r(B)当 r(C)当 m(D)当 rm 时，方程组 n 时，方程组n 时，方程组 n 时，方程组AxAxAxAxb 有解b 有唯一解b 有唯一解b 有无穷多解解选择 A. 当 r m 时， r A, br (A) ，方程组 Ax b 有解.二、填空题（本题共6 小题，每小题 4 分，满分24 分，把答案填在题中横线上）19.x(1x) xe.0xlim解 答案为 e .211 ln(1x)1 ln(1 x)1lim(1x) xelim exeel

7、imex1x 0xx 0xx 0x1 ln(1x)1ln(1x)x11eelimxelim2elim 1 xx 0xx0xx02x210 设 f 有 二 阶 连 续偏 导数 ， u f (x, xy , xyz) ， 则2u.z y解答案为 xf3x2 yf32x2 yzf33 .uxyf3z2uxf3 xy( f 32 xf33 xz) xf 3x2 yf32 x2 yzf33z y11.设 微 分 方 程 yy( x ) 的 通 解 为 yx ， 则xyln Cx( x).解答案为x12 .将 ylnxCx 代入微分方程，得(ln Cx)1，故 ( x)12Cxx2 .ln12.数列 n

8、n 中最大的项为3解答案为3.【将数列的问题转化为函数的问题， 以便利用导数解决问题】设 f (x)111ln x 1 ln xxln x， f ( x)exxx x exx20 x e ，x e 时， f (x)0 ， f ( x) 单调增加，故 n e时， f (n)nn 递增，2 最大，x e 时， f (x)0 ， f ( x) 单调减少，故 n e时， f (n)nn 递减， 33 最大，又 3369682 ，数列 nn的最大项为 33 .13. 方 程 5x2x dt0在区间 (0,1) 内的实根个数0 1t 8为.解答 案 为1. 令f ( x) 5x 2xdt，0 1t8f (

9、0)2 0, f (1)31dt0，0 1t 8由零点定理知，此方程在区间(0,1) 内至少有一个实根，又 f ( x) 510 ，f ( x)单调增加，故此方程1 x8在区间 (0,1) 内有且仅有一个实根.14.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n 2 ， 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax b 的三个线性无关的解，则Ax b 的通解为.解答案为 1 k () k()k ,k为任意常数 .12123，121 , 2 , 3 是非齐次线性方程组Axb 的三个线性无关的解，则21, 31 是 Ax0 的两个解，且它们线性无关，又 n r ( A) 2，故 21 ,31 是 Ax0 的基础解

10、系，所以 Ax b 的通解为 1k1 ( 21 )k2 (31 ) .三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）115. （本题满分9 分）求极限 x(1x)xesin ln(1x)0.lim1x sin x 1解111x)1x) 1(1x) xesin ln(1 x)(1x) xeln(1ln(1exeex1lim1xsin x 12limx2limx2elimxx 0x0x0x 01 ln(1x) 1ln(1x)x11elimx2elim 1xe2elim2x 0xx0xx 02x16. （本题满分 9 分）设 f ( x) 单调且具有一阶连续导

11、数， zf (x( y) 满足 ( y) zz0 ，求可导函数 ( y) .xy解zf ，z( )，代入方程() zz0xfyyxy，得y( y ) ff( y)，即 ( y)( y) ，解得 ( y) C ex ，其中 C 为任意常数 .17. （本题满分 9 分）计算积分 112y2dy11y2 ( x2y2sin 3 y)dx解 画出二重积分区域 D ， D1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得12y2x2y2sin 3 y)dx( x2y2sin 3 y)dxdydy1y2(11D2(x2y2)dxdy24 d2cosr 2 dr2D1024 (8cos 322) d20223093

12、18. （本题满分 11 分）求微分方程 ya( y )20 ( a0) 满足初始条件y x 0 0 ，y x01的特解 .解令,dp，代入原方程，得yp ydxdp2dpadx ，dpadx ，1，dxap0 ，p2p2pax C1由 x 0, y 0, y p1，得 C1 1，1ax1 ， p1，即 y1，pax1ax1故 y11C2 ，axdxln(ax 1)1a由 x0, y0得 C20 ，所以 y1 ln( ax1) .a19. （本题满分 11 分）设 f ( x) 和 g ( x) 在 区 间 (a,b) 可 导 ， 并 设 在 (a, b) 内f ( x)g ( x) f (

13、x) 0 ，证明在 ( a, b)内至多存在一点，使得f ( ) 0 .证设 (x) f ( x)e g ( x ) ，则 ( x) e g ( x) ( f ( x) f (x)g ( x) .若 在 ( a, b) 内 存 在 两 个 不 同 的 点 1 , 2， 使 得f ( 1 ) f ( 2 ) 0 ，则由罗尔定理知，至少存在一点介于1, 2 之间，使()0，即 e g ( ) ( f ( )f ( ) g ( )0 ，于是有f ( )f ()g ( )0 ，与题设矛盾，故在 (a, b) 内至多存在一点，使得 f ( ) 0 .20. （本题满分 11 分）设有抛物线： yabx

14、2 ，试确定常数a, b 的值，使得与直线 y x 1相切；与 x 轴所围图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积最大 .解设切点为 (x0 , y0 ) ， y2bx ，切线斜率 k 2bx0 1x01, y0 a1 ，2b4b代入切线方程，得111a14(1 a) .4b2bb又旋转体体积 Vax2dya00a y dyba0a y dy 2 ( a2 a3 ) ， bV 2(2 a 3a2 ) 0 ，解得 a 0 或者 a2， V 2(2 6a) ，3V (0)24 0 ，故 a2时，体积 V最大，4 0,V()33将 a 23 代入得 b 34 ，所以 a 23 ， b 34 .21.（本题

15、满分 11 分）一质量为m 的物体以速度v0 从原点沿y 轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数 k 0 ），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件， 并求物体上升的最大高度.解根据牛顿第二定律， 物体上升的高度 yy(t ) 所满足的微分方程为m d 2 ydy2mgk，dt2dt初始条件为y(0)0, y (0)v0 .vdy 代入方程，得 m dvmg kv2 ， dvgkv2，dtdtdtm记 a2g,b2k ， dva2b2 v2 ，2 dv 2 2dt ，mdtab v1bvt C ， t0 时， v v0，故 C1bv0，积分得 abarctan a

16、abarctana1 arctan bvt1 arctan bv0，abaaba令 v0 ，得上升到最高点的时间为t11 arctan bv0abaarctan bvab(t1t ) ， va tan ab(t1t )ab上升的最大高度为yt1 atan ab(t1t)dt1ln cos ab(t1t11ln(1b2v02) .0bb2t) 02b2a222. （本题满分 11 分）设1 1,2,3,1T ,2 1,1,2,1T ,31,3,a,3T ,43,5,7, 1T,0,1,1,bT .当 a, b 满足什么条件时，可由 1,2 ,3 , 4线性表示，且表示式唯一？当 a, b 满足什

17、么条件时，可由1,2 ,3 , 4线性表示，且表示式不唯一？并求出的表示式 .解设 x11x 22x33 x4，其增广矩阵1113011130(1,2,3, 4 ,2135101111)2a7141030 a 01131b000b 22当 a 4时，r ( 1,2 ,3 ,4, )r ( 1 , 2 , 3 ,4 )4 ，方程组有唯一解，即 可由 1, 2 , 3 , 4 线性表示，且表示式唯一.11130当 a 4 时， ( 1, 2 , 3 , 4 , ) 0 11 11 ，000100000b2故当 a 4,b 2 时， r ( 1 , 2 , 3,4 ,)r (1, 2, 3,4)3 ，方程组有无穷多解，即可由1,2 ,3,4 线性表示，且表示式不唯一，10201x112x3(1,2,3,4,)01101 ，同解方程组为x21x3 ，00010x3x300000x40通解为 (1, 1,0,0) Tk( 2,1,1,0) T ，故 的表示式为(1 2k ) 1