保险精算之利息理论第二章

1、第二章年金年金的定义n年金的定义：年金就是按照相等时间间年金的定义：年金就是按照相等时间间隔支付的款项。隔支付的款项。n年金的标准形：我们将付款时间间隔相年金的标准形：我们将付款时间间隔相等、每次付款额度相等、整个付款期利等、每次付款额度相等、整个付款期利率不变且计息频率与付款频率相等的年率不变且计息频率与付款频率相等的年金称为年金的标准型。金称为年金的标准型。n年金的各种变化形式称为年金的一般型。年金的各种变化形式称为年金的一般型。2.1年金的标准型n2.11 期末付年金。n定义：在每个付款期间末付款的年金为期末付年金。（延付年金）101123n-1n111付款额时间| nna期期期期末末付

2、付年年金金所所有有现现值值之之和和记记为为211,1nvvnv在在第第 个个时时期期末末付付款款 的的现现实实值值为为在在第第2 2个个时时期期末末付付款款1 1的的现现实实值值为为 ，继继续续下下去去，在在第第 个个时时期期末末付付款款 的的现现实实值值为为 。| nan 期期期期末末付付年年金金现现值值之之和和。2 nnavvv (1) 1nvvv 11nnvvvivi | nsnn 期期期期末末付付年年金金在在 时时的的积积累累值值|nnns期期期期末末付付年年金金在在时时间间 时时的的积积累累值值记记为为 1211,1nniin 在在第第 个个时时期期末末付付款款 的的积积累累值值为为

3、 1 1在在第第2 2个个时时期期末末付付款款1 1的的积积累累值值为为 1 1，继继续续下下去去，在在第第 个个时时期期末末付付款款 的的积积累累值值为为1 1。 12|2111nnnnnsiiiiii 则则1 11 11 11 11 11 1 |111nnisi 1 1 1nii 1 1常用公式(1)1nniav |21nniis 1 1 |(3)nnnsai 1 111(4)nnias1(1)1 nniiisi 11nniav (1)(1)1nniiiii n例例: 一项年金在20年内每半年末付500元，利率为半年计息的年名义利率9，求此年金的现值。0.04540500500(18.40

4、16)9200.80a 解解：（元元）0.045408.4016a 例n计算年利率为6的条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值及积累值。 0.061010001000 7.360097360.09a解解：年年金金现现值值为为：（元元） 0.061010001000 13.18080s年年金金积积累累值值为为：1 13 31 18 80 0. .8 80 0（元元） 100.060.06101010001.061000as 可可以以证证明明0.06107.36009a0.061013.18080s例n甲在银行存入20000元，计划分4年支取完，每半年支取一次，每半年计息的年名义利率为7

5、，计算每次的支取额度。80.0356.8740a 80.0353.520000RRa半半年年的的实实际际利利率率，设设 为为每每次次支支取取额额度度，80.03520000Ra 200002909.51(6.87402909.51 元元）甲甲每每次次支支取取额额度度为为。2.1.2期初付年金 定义：在每个付款期间开始时付款的年定义：在每个付款期间开始时付款的年金为期初付年金。金为期初付年金。101123n110箭头箭头1表示第一次付款的时刻，箭头表示第一次付款的时刻，箭头2表示最后一次付款以后的一个时期。表示最后一次付款以后的一个时期。n-1| na 期期初初付付年年金金的的现现值值之之和和2

6、21| 11111nnnnnnavvvvvvvivvd | ns 初初付付年年金金的的积积累累值值之之和和(1)(1)nnsii 1(1)1(1)nii (1)1 (1)(1)1(1)1 nniiiid 比较期末付年金和期初付年金1nnvai (1)1nnisi 1ai 1nnvad (1)1nnisd 1ad 年金年金有限年金有限年金永久年金永久年金现时值现时值积累值积累值延付延付初付初付n对于延付年金，i是期末支付利息的度量；n对于初付年金，d是期初支付利息的度量。常用公式|(1)1nndav |11nnids （2 2） |31nnnsai |114nndas期末付年金与期初付年金的关系

7、|(1)(1)nnai a 11nnavv 21()(1)nnvvvvi a1(1)1(1)nii |(2)(1)nnsi s (1)(1)nnsii (1)ni s |1|(3)1nnaa 11nnavv 211()nvvv 1|1na|1|41nnss （）1|11(1)(1)1nnsii |(1)(1)nniis 例n某银行客户想通过零存整取方式在1年后获得10000元，在每月利率为0.5的情况下，每月初需存入多少钱，才能达到其要求。120.00512.33556S ,D解解：由由题题意意知知，每每月月存存入入的的款款项项构构成成期期初初付付年年金金设设每每月月月月初初存存款款额额为为有

8、有12|0.00510000Ds 12|0.005120.00510000100001.005DsS 1000012.3972806.63( 元元）806.6310000客客户户每每月月月月初初需需存存入入元元，才才可可在在一一年年后后获获得得元元2.13任意时刻的年金值n延期年金：以当前时刻为0时刻点，在0时刻以后若干时期后开始按期支付的年金。n一般的，有三种时刻的年金值需要计算。n（1）首期付款前某时刻的年金现值。n（2）最后一期付款后某时刻的年金积累值。n（3）付款期间某时刻的当前值。例如：如图5|a 01 2 34 5 6 7 8 91011115a15S5|s 55|55|52601

9、267aaSs 付付款款次次数数为为 ，首首次次付付款款发发生生在在时时刻刻 ，末末次次付付款款发发生生在在时时刻刻 。则则时时刻刻 时时的的年年金金现现值值就就是是延延期期年年金金现现值值，相相当当于于（ ）的的情情况况；时时刻刻1010时时的的积积累累值值相相当当于于（2 2）的的情情况况；时时刻刻4 4时时的的年年金金当当前前值值相相当当于于（3 3）的的情情况况。这这5 5次次付付款款在在时时刻刻1 1时时的的年年金金现现值值是是一一个个5 5期期的的期期末末付付款款额额为为1 1的的年年金金现现值值；在在时时刻刻的的年年金金现现值值为为；在在时时刻刻 的的年年金金积积累累值值为为，在

10、在时时刻刻 的的年年金金积积累累值值为为 。n方法一、如果把第1期末看作初始时刻，则从第1期末到第6期末的现金流可以看作标准期末付年金。n方法二、如果把第2期末看作初始时刻，则从第2期末到第7期末的现金流可以看作标准期初付年金。n方法三、把该年金看作两个延付年金的差，或初付年金的差。5|25|6|1|7|2|1(0)(0)(0)VvaVv aVaaaa 、首首期期付付款款前前某某时时刻刻的的年年金金现现值值。方方法法一一：方方法法二二：方方法法三三：或或根根据据年年金金折折现现法法及及年年金金加加减减法法计计算算出出同同一一时时刻刻年年金金现现值值是是相相等等的的。5|6|1|vaaa25|7

11、|2|v aaa |mnm nmv aaa 即即：|mnm nmv aaa 21010V、在在最最后后一一期期付付款款后后某某时时刻刻的的年年金金积积累累值值。在在时时的的年年金金积积累累值值记记为为 45101VSi 方方法法一一： 35|101Vsi 方方法法二二： 15|51sSi 因因为为所所以以，两两式式相相等等。 49947101051010SSVSS方方法法三三：假假设设在在时时刻刻 各各有有一一单单位位付付款款，则则这这几几个个付付款款在在时时刻刻的的年年金金积积累累值值为为，包包括括这这几几个个付付款款及及已已知知的的 个个付付款款在在时时刻刻时时的的年年金金积积累累值值为为

12、，因因此此 8|3|79110Vss假假设设在在时时刻刻 各各有有 单单位位付付款款，则则可可按按期期初初付付年年金金积积累累值值算算法法得得： 459435|8|3|11SiSSsiss 上上述述结结果果与与积积累累值值再再积积累累的的结结果果是是等等价价的的，因因此此 |11mnm nmmnm nmSiSSsiss 一一般般的的，3、付付款款期期间间某某时时刻刻的的年年金金当当前前值值。 44V在在时时刻刻 时时的的年年金金当当前前值值以以表表示示。1232方方法法一一：通通过过计计算算所所有有付付款款在在时时刻刻 或或 时时年年金金当当前前值值经经过过 期期或或 期期的的积积累累所所得得

13、的的本本利利和和获获得得。即即 35|41Vai ( (一一) ) 25|41Vai ( (二二) )67方方法法二二：通通过过计计算算所所有有付付款款在在时时刻刻 或或 时时的的年年金金积积累累值值经经过过2 2期期或或3 3期期的的积积累累值值经经过过2 2期期或或3 3期期折折现现的的现现值值得得： 235|544Vv SVv s 或或 2|34VSa 方方法法三三：通通过过年年金金现现值值或或积积累累值值之之间间的的加加减减算算得得，该该点点的的年年金金当当前前值值可可以以视视作作一一个个三三期期期期末末付付年年金金积积累累值值与与一一个个二二期期期期末末付付年年金金现现值值之之和和，

14、即即： 2|3|4Vsa 也也可可看看作作一一个个二二期期初初付付年年金金积积累累值值与与一一个个三三期期初初付付年年金金现现值值之之和和，即即nmmn 一一般般的的，假假定定付付款款期期限限为为 ，其其中中第第 次次付付款款（）是是所所有有付付款款的的当当前前值值： |11mn mnnn mmmn mnnmn maivsSaaivssa 2.14永续年金定定义义：付付款款没没有有限限制制，永永远远持持续续的的年年金金。|a 期期末末付付现现值值记记为为，2|11vvavvvivi 则则|11limlimnnnnvaii 111iiii 经经济济意意义义：在在利利率率为为 时时，首首期期期期初

15、初投投资资为为 ，且且不不收收回回本本金金，则则每每期期期期末末可可获获得得数数额额为为 的的利利息息，一一直直持持续续下下去去。|2|11aavvd 期期初初付付永永续续年年金金记记为为，且且有有：永永续续年年金金最最终终积积累累值值不不存存在在，因因为为没没有有终终点点时时刻刻，且且无无穷穷的的均均衡衡给给付付导导致致积积累累值值变变为为无无穷穷大大。|11 limlimnnnnvadd 例n某人留下遗产10万元。第一个10年将每年的利息付给受益人B，第二个10年将每年的利息付给受益人C，二十年后将每年的利息付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7，确定三个受益者的相对受益的比例。10|

16、7.0236a 20|10.5940a n解：10万元每年产生的利息是7000元。10|B70007000(7.0236)49165a 所所占占的的份份额额：（元元）20|10|C7000()7000(10.59407.0236)24993aa 所所占占的的份份额额：（元元）|201D7000()7000(10.5940)0.0725842aa 所所占占的的份份额额：（元元）从现值的角度看，B、C、D受益比例近似为49，25和26。2.23连续年金：付款频率无限大（连续付款）的年金。1nna连连续续付付款款 个个计计息息期期，每每个个计计息息期期的的付付款款额额之之和和为为 的的年年金金现现值值记记为为，0011lnlnntnnntnvvvav dtvv 连续年金的积累值|0