线性代数第一章

1、线性代数第一章在中学阶段，我们学习过用代入在中学阶段，我们学习过用代入消元法和加减消元法求解二元、消元法和加减消元法求解二元、三元的线性方程组，它们的特点三元的线性方程组，它们的特点是每次求解一个特定的方程组时是每次求解一个特定的方程组时需要重复整个过程，而这种重复需要重复整个过程，而这种重复的过程可能是纯粹的多余劳动。的过程可能是纯粹的多余劳动。为了说明这个问题我们来看两个为了说明这个问题我们来看两个小学一年级的加法题：小学一年级的加法题：7+7+7+7+7= 14+7+7+7=21+7+7=28+7=357+7+7+7+7+7+7=14+7+7+7+7+7=21+7+7+7+7=28+7+

2、7+7=35+7+7=42+7=49到了小学二年级学习乘法后这两到了小学二年级学习乘法后这两个题的解法是：个题的解法是：7+7+7+7+7=7 5=357+7+7+7+7+7+7=7 7=49引入乘法后，我们利用乘法口诀引入乘法后，我们利用乘法口诀直接给出了结果，而省去了繁琐、直接给出了结果，而省去了繁琐、乏味的过程。乏味的过程。5对于未知量的个数与方程的个数对于未知量的个数与方程的个数相等的方程组，我们也试图引入相等的方程组，我们也试图引入一个新的运算，来省去消元过程，一个新的运算，来省去消元过程，直接获得方程组的解。直接获得方程组的解。这个新的运算被称为行列式。这个新的运算被称为行列式。6

3、第一章第一章 行列式行列式内容提要内容提要1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数3 3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义4 4 对换对换5 5 行列式的性质行列式的性质6 6 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开7 7 克拉默法则克拉默法则行列式的概念行列式的概念. .行列式的性质及计算行列式的性质及计算. . 线性方程组的求解线性方程组的求解. . （选学内容）（选学内容） 行列式是通过分析线行列式是通过分析线性方程组解的特点定义性方程组解的特点定义的对方程组系数（包括的对方程组系数（包括常数项数值）的一种运常数项数值）的一种运算。算。(与乘法一

4、样，它与乘法一样，它是根据结果来定义规则是根据结果来定义规则)1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式一、二元一次方程组与二阶行列式一、二元一次方程组与二阶行列式二、三元一次方程组与三阶行列式二、三元一次方程组与三阶行列式我们从最简单的二元一次方程组出发，通过我们从最简单的二元一次方程组出发，通过其求解公式，设法引入二阶行列式其求解公式，设法引入二阶行列式. .一、二元一、二元一次一次方程组与二阶行列式方程组与二阶行列式二元线性方程组二元线性方程组 NoImage由消元法，得由消元法，得NoImageNoImage当当 时，该方程组有唯一解时，该方程组有唯一解 NoImageNoImageNoIm

5、age11112212112222a xa xba xa xb 211211221122211)(abbaxaaaa 212221121122211)(baabxaaaa 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 求解公式为求解公式为NoImageNoImage二元线性方程组二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定.分子由常数项取代相应未知数系数后的分子由常数项取代相应未知数系数后的 四个系数确定四个系数确定.分子、分母都

6、是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而得.11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 其求解公式为其求解公式为NoImageNoImage二元线性方程组二元线性方程组 我们引进新的运算符来表示我们引进新的运算符来表示“四四个数分成两对相乘再相减个数分成两对相乘再相减”. .NoImageNoImage记号记号 NoImage数表数表 = = 称为由该称为由该数表所确定的数表所确定的二阶行列式二阶行列式，即，即NoImage其中，其中，

7、 称为称为元素元素. .NoImagei 称称为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 称称为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .原则：横行竖列原则：横行竖列11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 1112112212212122aaDa aa aaa 11122122aaaa11122122aaaa11 2212 21a aa a (1,2;1,2)ija ij 二阶行列式二阶行列式 NoImageNoImage主对角线上

8、两元素之积副对角线上两元素之积主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积 的对角线法则定义为：的对角线法则定义为：11122122aaaa11221221a aa a这个法则实际上就是数表中的四个数形成一个新数这个法则实际上就是数表中的四个数形成一个新数的构造细节。的构造细节。二元线性方程组二元线性方程组 NoImage若令若令 NoImageNoImageNoImage( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为NoImageNoImage11112212112222a xa xba xa xb 11122122aaDaa 1

9、211222bbaDa 1221121baDab 1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 例例1 求解二元线性方程组求解二元线性方程组NoImage解解 因为因为 NoImageNoImageNoImageNoImage所以所以 NoImageNoImage 1212232121xxxx1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D11142,7DxD222137DxD 二二、三三元元一次一次方程组与方程组与三三阶行列式阶行列式三元线性方程组三元线性方程组 NoImage

10、由加减消元法，由加减消元法，NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage定义定义 设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原则：横行竖列原则：横行竖列引进记号引进记号称为称为三阶行列式三阶行列式. .NoImageNoImageNoImageNoImage主对角线主对角线 副对角线副对角线 二阶行列式的对角线法则二阶行列式的对角线法则并不适用！并不适用！111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a1112132122

11、23313233aaaaaaaaa由该解可以看出，三阶行列式应该定义为：由该解可以看出，三阶行列式应该定义为：定义三阶行列式定义三阶行列式的对角线法则为：的对角线法则为：NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage主对角线及底边平行主对角线的三角形主对角线及底边平行主对角线的三角形( (实线实线) )上的三个元素的乘积冠正号，上的三个元素的乘积冠正号， 副对角线及底边平行副对角线的三角形副对角线及底边平行副对角线的三角形( (虚线虚线) )上的三个元素的乘积冠负号上的三个元素的乘积冠负号. .111213212223313233aaaDaa

12、aaaa 132132a a a 112233a a a 122331a a a 132231a a a 122133a a a 112332a a a 可见：二阶、三阶行列式的对角线法则都是可见：二阶、三阶行列式的对角线法则都是归纳出来的。归纳出来的。NoImage例例2 计算行列式计算行列式 解解按对角线法则，有按对角线法则，有NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage12-4-221-34-2D D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 方程左端方程左端解解由由 得得NoImage例例3 求解方程求解方

13、程 NoImageNoImageNoImageNoImage2111230.49xx 1229184322 xxxxD, 652 xx2560 xx3.2 xx或或四阶行列式应当定义为四阶行列式应当定义为可知可知NoImage通过通过求解四元一次求解四元一次 方程组方程组NoImageNoImageNoImageNoImage=显然，对角线法则已经不适于定义四阶行列式，必须寻找新的规律。而且，这个规律最好能适于各阶行列式，也就是说各阶行列式最好能有统一的定义。这必须从足标中寻找。2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复

14、数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3 3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32 2种放法种放法1 1种放法种放法种放法种放法. .共有共有NoImage6123 问题问题 把把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？排法？定义定义 把把 n 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素个元素的的全排列全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示表示.NoImage显然显然 即即n 个不同的元素一共有个不同的元素一共有n! 种不同的排法种不

15、同的排法.(1) (2)3 2 1!nPnnnn 所有所有6种不同的排法中，只有一种排法种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前数排在小的数之前. .因此大部分的排列都不是纯粹的因此大部分的排列都不是纯粹的“顺顺序序”，而是存在，而是存在“逆序逆序”. . 3个不同的元素一共有个不同的元素一共有3! =6种不同的排法种不同的排法123，132，213，231，312，32126对于对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序个不同的元素，可规定各元素之间的标准

16、次序.如：如：n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个就称这两个元素组成一个逆序逆序.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考题：思考题：还能找到其它逆序吗？还能找到其它逆序吗？答：答：2和和1，3和和1也构成逆序也构成逆序.定义定义 排列中所有元素逆序的总数称为此排列的排列中所有元素逆序的总数称为此排列的逆序数。逆序数。排列排列 的逆序数通常记为的逆序数通常记为 . .NoImageNoI

17、mage奇排列：奇排列：逆序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列. .偶排列：偶排列：逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列. .思考题：思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：答：符合标准次序的排列（例如：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数）的逆序数等于零，因而是偶排列等于零，因而是偶排列. .1 2ni ii1 2()nt i ii计算排列的逆序数的方法计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为则此排列的逆序数为NoImage设设 是是 1, 2, , n 这这n 个自然数的任一排列，并个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序规定由小到

18、大为标准次序. 先看有多少个比先看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ；再看有多少个比再看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;最后看有多少个比最后看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage12ntttt 12np pp1p1p1t2p2p2tnpnpnt例例1：求排列求排列 32514 的逆序数的逆序数.解：解：NoImage练习：练习：求排列求排列 453162 的逆序数的逆序数.NoImage

19、解：解：(32514)010315t 9t 3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义一、概念的引入一、概念的引入二、二、n n阶行列式的定义阶行列式的定义三、可根据定义计算的三、可根据定义计算的n n阶行列式阶行列式一、概念的引入一、概念的引入NoImageNoImageNoImage它有规律：它有规律：1.1.三阶行列式共有三阶行列式共有6项，即项，即3!项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积3.3.每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1、2、3的某个排列的某个排列. .4.4.当当 是是偶排列偶排

20、列时，对应的项取时，对应的项取正号正号； 当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号. . NoImageNoImageNoImageNoImage111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a123123pppaaa123p p p123p p p123p p p对于三阶行列式所以，三阶行列式可以写成所以，三阶行列式可以写成 NoImage其中其中 表示对表示对1、2、3的所有排列求和的所有排列求和. NoImage二阶、四阶行列式有

21、类似规律二阶、四阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形. NoImageNoImageNoImage123123123()123( 1)t p p ppppp p paaa 123p p p 111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义1. n 阶行列式共有阶行列式共有 n! 项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积

22、3.3.每一项可以写成每一项可以写成 ( (正负号除外正负号除外) )，其中，其中 是是1, 2, , n 的某个排列的某个排列. .4.4.当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号； 当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号. . NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageD D简记作简记作 ，其中，其中 为行列式为行列式D的的( (i, j) )元元NoImageNoImage1212nppnpaaa12np pp12np pp12np pp1212121112121222()1212( 1)nnnnnt p ppppnpp

23、ppnnnnaaaaaaDaaaaaa det()ijaija定义：即： 注：n阶行列式的这个定义是否成功，关键是看能否用这个定义来解n元线性方程组，也就是说能否用n阶行列式把n元线性方程组的解表达出来。克莱姆法则告诉我们n阶行列式的这个定义是成功的。思考题：思考题： 成立成立吗？吗？答：答：符号符号 可以有两种理解：可以有两种理解：若理解成绝对值，则若理解成绝对值，则 ；若理解成一阶行列式，则若理解成一阶行列式，则 . .NoImageNoImageNoImageNoImage注意：注意：当当n = 1时，一阶行列式时，一阶行列式|a| = a，注意不要与，注意不要与绝对值的记号相混淆绝对值

24、的记号相混淆. 例如：一阶行列式例如：一阶行列式 . NoImage11 1 11 11 11 例：例：写出四阶行列式中含有因子写出四阶行列式中含有因子 a a1111a a2323 的项的项. . 11233244a a a a 11233442.a a a a解：解：和和NoImageNoImage例：例：计算行列式计算行列式NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 142323241000000000000aaDaa 112213344000000000000aaDaa 112122

25、432323341424344000000aaaDaaaaaaa 三、可根据定义计算的三、可根据定义计算的n 阶行列式阶行列式解：解：NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage其中其中 112213344000000000000aaDaa 142323241000000000000aaDaa 11223344a a a a (4321)14233341( 1)ta a a a 14233341a a a a (4321)0123t 3 46.2 NoImageNoImage111213142223243333444000000aaaaaa

26、aDaaa 对于根据定义，如果不考虑符号，它的所有项为其中p1p2p3p4为1、2、3、4的全排列，这些项可以写为： 其中p2p3p41和 其中p2p3p42以及 其中p2p3p43 其中p2p3p44四个部分，后三个部分由于p2p3p4中含有1，所以对于本题其值均为0。第一部分可以写为 其中p3p41、2 和其中p3p41、3以及 其中p3p41、4三个小部分，而后两个小部分其值为0 ；。最后可得： 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 11223344a a a a 111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 112

27、23344a a a a NoImageNoImage四个结论：四个结论：(1) (1) 对角行列式对角行列式 NoImage(2) (2) NoImage12,11nnnaaDa 1122nnaaDa nnaaa2211 (1)212,11( 1)n nnnna aa NoImageNoImage(3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0 0）NoImage(4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0 0）NoImagennnnaaaaaaD21222111000 nnnnaaaaaaD0002

28、2211211 nnaaa2211 nnaaa2211 思考题：思考题：用定义计算行列式用定义计算行列式解：用树图分析解：用树图分析111 13 33 31 12 23 311222211NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage故故1130230021011210D12134）（22143）（32413）（42431）（491223D43思考题思考题已知已知 ，求，求 的系数的系数. NoImageNoImage 1211123111211xxxxxf 3x故故 的系数为的系数为1.解解含含 的项有两项，即的项有两项，即NoImageNoImage对应于对应于No

29、ImageNoImageNoImageNoImageNoImage3x 1211123111211xxxxxf 124311223443( 1)ta a a a (1234)11223344( 1)ta a a a (1234)311223344( 1),ta a a ax 1243311223443( 1)2ta a a ax 3xn阶行列式|A|=|aij|中每个元素aij都乘以bi-j(b0)得行列式|B|。证明：|A|=|B|证：设|B|=|bij| 则： bij = bi-jaij 于是|B|= = = = =|A|根据定义根据定义n阶行列式是对阶行列式是对n!项项n个个元素的连乘积

30、求和，其计算复杂元素的连乘积求和，其计算复杂度为度为O(n!),这就是说当这就是说当n较大时，较大时，直接计算其值是不可行的。因此，直接计算其值是不可行的。因此，我们要讨论我们要讨论n阶行列式的性质，阶行列式的性质，通过性质简化其计算。下面一节通过性质简化其计算。下面一节是为讨论性质做的准备工作。是为讨论性质做的准备工作。4 对换对换一、对换的定义一、对换的定义二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系NoImage一、对换的定义一、对换的定义定义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做不动，这种作出新排列的

31、手续叫做对换对换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换例如例如 NoImageNoImageNoImage111lmnaabbcb ca11lma baabb11lmb aaabb111lmnaabbca cb备注备注1.1. 相邻对换是对换的特殊情形相邻对换是对换的特殊情形. . 2.2. 一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现. . 3.3. 如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了. . m 次相邻对换次相邻对换 NoImageNoImageNoImagem+1次相邻对换次

32、相邻对换 m 次相邻对换次相邻对换 NoImageNoImagem+1次相邻对换次相邻对换 111lmnaabbcb ca111 lmnaabbcbca111 lmnaabbca cb111 lmnaabbcacb111 lmnaabbcb ca二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系定理定理1 1对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性. . 证明证明先考虑相邻对换的情形先考虑相邻对换的情形 NoImageNoImageNoImageNoImage11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt NoImage

33、NoImageNoImageNoImage注意到除注意到除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变. .NoImage11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt ,a bNoImageNoImageNoImageNoImage当当 时，时， ， ， . . NoImage当当 时，时， ， ， . . NoImage因此相邻对换改变排列的奇偶性因此相邻对换改变排列的奇偶性. . NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage11 lma baabb11 lmb aaa

34、bb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt ab ab 1aart bbrt aart 1bbrt 1rt 1rt 既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么 2m+1次相邻对换次相邻对换因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变. .NoImageNoImage推论推论 奇排列奇排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为奇数奇数， 偶排列偶排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为偶数偶数. . 由定理由定理1 1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次知，

35、对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列数，而标准排列是偶排列( (逆序数为零逆序数为零) )，因此可知推论，因此可知推论成立成立. .证明证明 111lmnaabbcb ca111 lmnaabbca cbNoImage因为数的乘法是可以交换的，因为数的乘法是可以交换的，所以所以 n 个元素相乘的次个元素相乘的次序是可以任意的，即序是可以任意的，即 每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列 与与 都同时作一次对换，即都同时作一次对换，即 与与 同同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇

36、偶性不变不变. . NoImageNoImageNoImageNoImage1 12122121122,nnnni ji ji jpppnpnppaaaaaaaaa 1 2ni ii12nj jj12nj jj1 2ni ii于是于是 与与 同时为奇数或同时为偶数同时为奇数或同时为偶数. . 即即 是偶数是偶数. . 因为对换改变排列的奇偶性，因为对换改变排列的奇偶性， 是奇数，是奇数， 也是奇数也是奇数. . 设对换前行标排列的逆序数为设对换前行标排列的逆序数为 ，列标排列的逆序数为，列标排列的逆序数为 . . NoImageNoImageNoImageNoImage所以所以 是偶数，是偶数

37、， NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage因此，交换因此，交换 中任意两个元素的位置后，其中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变. .NoImage设经过一次对换后行标排列的逆序数为设经过一次对换后行标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为st s tss tt ()()sstt()()stst()st ()st 1 12 2,n ni ji ji jaaaNoImage经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此. . 所以，

38、所以，在一系列对换之后有在一系列对换之后有1 21 21212()()(12)()()( 1)( 1) ( 1)nnnnt i iit j jjtnt p ppt p pp 定理定理2 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 NoImage定理定理3 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 NoImage121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 例例1 试判断试判断 和和NoImageNoImage是否都是六阶行列式中的项是否

39、都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为NoImageNoImage所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.NoImage 行标和列标的逆序数之和行标和列标的逆序数之和NoImageNoImage所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.NoImage142331425665a a a a a a324314512566a a a a a a 4312650122016t 142331425665a a a a a a142331425665a a a a a a(341526)(234156)538tt 324314512566a a a a a a 3243

40、14512566a a a a a a 例例2 用行列式的定义计算用行列式的定义计算 NoImage0001000200100000000nDnn NoImage解解NoImageNoImage 1221!nnnDn 1,12,21,11 1 1 21 1!tnnnnnnttDaaaannn 12212321122 tnnnnnnn 1. 对换改变排列奇偶性对换改变排列奇偶性2. 行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法三、小结三、小结NoImageNoImageNoImage121212()12( 1)nnnt p ppppnpp ppDaaa 121212()12( 1)nnnt p pp

41、ppp np ppDaaa 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 5 5 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质二、应用举例二、应用举例一、行列式的性质一、行列式的性质NoImage行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式. . NoImageNoImage若记若记 ，则，则 .NoImageNoImage记记性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, ,即即 .NoImageNoImage111212212212, nnnnnnaaaa

42、aaaaDa TDDdet(), det()TijijDaDb ijjiba TDD 212211121212nnnnTnnaaaaaaDaaa NoImage性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .证明证明根据行列式的定义，有根据行列式的定义，有若记若记 ，则，则NoImageNoImageNoImageNoImage行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,行列式的性质凡是对行行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立的对列也同样成立. .121212()12( 1)nnnt p ppTppnpp ppDbbb det(), det()T

43、ijijDaDb 1121221()2( 1)nnnppt p ppp ppp naaa D ijjiba 性质性质2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .验证验证于是于是NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 ，所以，所以 . NoImageNoImage备注：交换第备注：交换第 行（列）和第行（列）和第 行（列），记作行（列），记作 . .NoImageNoImageN

44、oImage175662358175358662196 196 175175662358358662 DD 0D ji()ijijrr cc性质性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数倍数 ，等于用数，等于用数 乘以此行列式乘以此行列式. .验证验证NoImageNoImageNoImage我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 根据三阶行列式的对角线法则，有根据三阶行列式的对角线法则，有NoImage备注：第备注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，记作，记作 . .NoImageNoImageNoImagekk11121

45、3212223313233,aaaDaaaaaa 1112131212223313233kkaaaDaaaaaak ki()iirk ckNoImageNoImageNoImageNoImage推论推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面到行列式符号的外面备注：第备注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，记作，记作 . .NoImageNoImageNoImage1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 112233122331132132132231122133112332()()()()

46、()()aaaaaaaaaaaaaaakkkkkkaaa112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aaaka Dk ki()iirk ckNoImage验证验证我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例. . 性质性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零式为零212223242122232431323334111213141112311121314111213213333431141400aaaaakkkakaaaaaaaaaaaaaaaakakaaaaaaa

47、aa性质性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, ,例如：例如：NoImage则则NoImage121222221113212331332323aaDaaabababaa 111311132123212331331212222232331323aaaaDaaaabababaaaaaNoImageNoImageNoImageNoImage验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 121222221113212331332323aaDaaabababaa 221231312322()13( 1)()ppt p p pppp p pab

48、aa 123123131312322123()()132213( 1)( 1)t p p pt p p pppppp p pp p pppaaaaba 111311132123212331333131212222223332aaabaabaaaaaaabaaa性质性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变则则NoImage验证验证NoImage我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 NoImage备注：以数备注：以数 乘第乘第 行（

49、列）加到第行（列）加到第 行（列）上，记作行（列）上，记作 . .NoImageNoImageNoImageNoImage1.DD 122211132123313323,aaDaaaaaaa 1112131212213233323313233aaaDaaakakakaaaa ki().ijijrkr ckc j例例NoImage二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值上三角形行列式，从而算得行列式的值NoImageNoImageNoImage2101044614753124025973313211

50、 Dijrkr 3 NoImageNoImageNoImage解解NoImage2101044614753124025973313211 D3 2101044614753124022010013211312 rrNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 4 NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage42rr 22200201001402

51、03512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例例2 计算计

52、算 阶行列式阶行列式NoImageNoImage解解NoImageNoImage将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得NoImagenabbbbabbbbabbbbaD abbbnababbnabbabnabbbbna1111 Dn, 3 , 2NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage 11(1)11bbbabbanbbabbba 1(1)bbbabanbabab 00 1(1) ().nanb a b 例例3 设设 NoImageNoImageNoImageNoImage证明证明 1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb

53、,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明NoImage对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 NoImageNoImageNoImage设为设为对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 NoImageNoImageNoImageNoImage设为设为1111110;kkkkkpDpppp1Dijrkr 1D2Dijckc 2D1121110.nnnnkqDqqqp对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ，再对后，再对后 n 列作运算列作运算 ，把把 D 化为下三

54、角形行列式化为下三角形行列式NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage故故,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 1111kknnDppqq 12.D D ijrkr ijckc ( (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位), ), 凡是对行成立的性质对列也同样成凡是对行成立的性质对列也同样成立立. .注：注：行列式的行列式的6 6个性质个性质计算计算4 4阶行列式阶行列式 思考题思考题 NoImageNoImage11111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1abcd 已已知知思考题解

55、答思考题解答解解NoImageNoImage111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa NoImageNoImageNoImagedddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 6 行列式按行(列)展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. .本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式阶行列式. .它不仅在数值计算时非常实用，而且在理它不仅在数值计算时非常实用，而且在理论证

56、明时也非常有用。论证明时也非常有用。首先，我们来看三阶行列式NoImageNoImageNoImageNoImage可见可见 三阶行列式可以用二阶行列式表示三阶行列式可以用二阶行列式表示. .那么那么 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示呢？任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示呢？122331111221221333332132132231112332a a aa a aaa a aaaaa aa aa 111213212223313233aaaaaaaaa 122331321311222322331213332123aa aaaaaa aaaaaaa 222321232123

57、111213323331333133aaaaaaaaaaaaaaa例如例如 NoImageNoImageNoImage把把 称为元素称为元素 的的代数余子式代数余子式NoImageNoImage在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划后，列划后，留下来的留下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 . NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage显然显然 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式

58、中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式式. .11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 11121423313234414244aaaMaaaaaa 2 32323231AMM 1ijijijAM ijaijijMijaija引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘与它的代数余子式的乘积，即积，即 NoImageNoImageNoImage例如例如 NoImageNoImageNoImageNoImag

59、eNoImageijijDa A 11121314212223243341424344000aaaaaaaaDaaaaa 1112143 3332122244142441aaaaaaaaaa 3 3333333331a Aa M 11121433212224414244aaaaaaaaaa iijaijaNoImage即有即有NoImage又又NoImage从而从而NoImage下面再讨论一般情形下面再讨论一般情形.分析分析 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时, ,NoImage（根据（根据P.14例例10的结论）的结论）11212221200nnnnnaaaaDaaa 1111.

60、Da M 1 11111111,AMM 1111.Da A ijaNoImage我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例. . NoImageNoImageNoImage思考题：思考题：能否以能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？NoImage11121314212223244142434434000aaaaaaaaaaaaa2334111213142122232441424344000( 1)rraaaaaaaaaaaaa12111213142122232441424334442000( 1)rraaaaaaaaaaaaa1112131421222324414243434(3 14)