高中数学人教版必修四：第二章 平面向量 213相等向量与共线向量

1、 相等向量与共线向量相等向量与共线向量人教人教A A版必修版必修4 42.1.32.1.3课堂导入：课堂导入： 有向线段有哪有向线段有哪3 3个要素？个要素？对于两个向量对于两个向量a、b，它们的长度可能相，它们的长度可能相等，也可能不相等；它们的方向可能相等，也可能不相等；它们的方向可能相同，也可能不相同同，也可能不相同思考：思考：1 1比较两个向量的长度和方向的异同关系，比较两个向量的长度和方向的异同关系，有哪几种可能情形？有哪几种可能情形？2 2长度相等且方向相同的向量是什么关系？长度相等且方向相同的向量是什么关系？一、相等向量一、相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等长度相等且方向

2、相同的向量叫做相等向量向量, ,记作记作ab.提示：提示： （1 1）任意两个相等的非零向量，通过平移都可以用）任意两个相等的非零向量，通过平移都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关关（2 2）对一组相等的向量，将它们的起点平移到同一）对一组相等的向量，将它们的起点平移到同一点点O O，则他们的终点重合，则他们的终点重合（3 3）模相等（或方向相同）是向量相等的必要条件，）模相等（或方向相同）是向量相等的必要条件，模相等且方向相同是向量相等的充要条件模相等且方向相同是向量相等的充要条件（4 4）对于一个非零向量，只要不改变它的大小和）

3、对于一个非零向量，只要不改变它的大小和方向，就可以任意平行移动，平移后的向量与原方向，就可以任意平行移动，平移后的向量与原向量是相等向量，这为用向量处理几何问题带来向量是相等向量，这为用向量处理几何问题带来了很大的方便了很大的方便（5 5）对于不共线的四点）对于不共线的四点A、B、C、D，若，若 ，则则A、B、C、D是一个平行四边行的四个顶点是一个平行四边行的四个顶点（6 6）相等向量具有传递性，即如果）相等向量具有传递性，即如果ab，且，且bc，那么那么acCDAB 典例剖析典例剖析 例例1 1 如下图，四边形如下图，四边形ABCD和和ABDE都是平都是平行四边形行四边形（1 1）写出与向量

4、）写出与向量 相等的向量；相等的向量；（2 2）若）若 3 3，求向量，求向量 的模的模组卷网 EDECED规律：规律：（1 1）在图形背景下找相等向量，只要根据相等）在图形背景下找相等向量，只要根据相等向量的定义，观察图形可直观得出结论在逻向量的定义，观察图形可直观得出结论在逻辑分析中，要注意相等的传递性辑分析中，要注意相等的传递性（2 2）一般地，）一般地， ，当且仅当，当且仅当AB与与BC同向时取等号同向时取等号ACBCAB变式练习变式练习 如下图，如下图，B、C是线段是线段AD的两个三等分点，的两个三等分点，在以图中各点为起点和终点的向量中，最多可以写出在以图中各点为起点和终点的向量中

5、，最多可以写出多少个互不相等的非零向量？并举例说明多少个互不相等的非零向量？并举例说明 设线段设线段AD的长度为的长度为3 3，那么模为，那么模为1 1的向量有的向量有6 6个，模为个，模为2 2的向量有的向量有4 4个，模为个，模为3 3的向量有的向量有2 2个，即共有个，即共有1212个向个向量量在模为在模为1 1的向量中，的向量中， 不同的向量只能写不同的向量只能写2 2个；个；在模为在模为2 2的向量中，的向量中， 不同的向量也只能写不同的向量也只能写2 2个；个；模为模为3 3的向量是的向量是 它们不相等它们不相等故最多可以写出故最多可以写出6 6个互不相等的非零向量，个互不相等的非

6、零向量，例如例如.DAADCAACBAAB、.,DCCBBACDBCAB.,DBCABDAC.,DAAD二二 、共线向量、共线向量 任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量平行向量也叫做共线向量疑似点提示：疑似点提示：（1 1）平行向量与共线向量是等价的同一个概念，只是名称不）平行向量与共线向量是等价的同一个概念，只是名称不同而已同而已（2 2）两个共线向量并不一定要在同一条直线上，只要两个向）两个共线向量并不一定要在同一条直线上，只要两个向量的方向相同或相反，就是共线向量量的方向相同或相反，就是共线向量（3 3）两个共线向

7、量）两个共线向量a、b所在直线，可能平行或重合，但不能所在直线，可能平行或重合，但不能相交相交（4 4）两个非零共线向量也包括以下四种情况：方向相同且模）两个非零共线向量也包括以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不相等；方向相反且模相等；方向相反且相等；方向相同且模不相等；方向相反且模相等；方向相反且模不相等因此，共线向量不一定是相等向量，而相等向量一模不相等因此，共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量定是共线向量典例剖析典例剖析例例2 2 判断下列命题的真假：判断下列命题的真假：（1 1）若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等；）若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等

8、；（2 2）不相等的两个向量一定不共线；）不相等的两个向量一定不共线；（3 3）若）若a为非零向量，则与为非零向量，则与a相等的向量必与相等的向量必与a共线；共线；答案：答案：（1 1）假命题，两个单位向量共线，它们的方向可以相反，从而）假命题，两个单位向量共线，它们的方向可以相反，从而不一定相等；不一定相等；（2 2）假命题，不相等的两个向量有可能其模不相等，但方向相）假命题，不相等的两个向量有可能其模不相等，但方向相同或相反，从而不相等的两个向量有可能个共线；同或相反，从而不相等的两个向量有可能个共线；（3 3）真命题，相等向量其方向相同，从而一定是共线向量；）真命题，相等向量其方向相同，

9、从而一定是共线向量；规规 律：律： 判断与共线向量有关的命题的真假，要判断与共线向量有关的命题的真假，要依据共线向量或平行向量的定义，并结合图依据共线向量或平行向量的定义，并结合图形，列举反例等进行评判只要有一个反例形，列举反例等进行评判只要有一个反例与命题不符，则命题不正确，同时要注意零与命题不符，则命题不正确，同时要注意零向量与任何向量共线这一特例向量与任何向量共线这一特例变式训练变式训练 如下图，在平行四边形如下图，在平行四边形ABCD 中，对角线中，对角线AC与与BD 相交于点相交于点O，在向量，在向量 等中，哪些向量是共线向量？等中，哪些向量是共线向量？ ，CDABDOBOOCACA

10、O A、O、C三点共线，三点共线， 是共线向量是共线向量 B、O、D三点共线，三点共线， 是共线向量是共线向量 ABDC， 是共线向量是共线向量 ADBC， 是共线向量是共线向量 OCACAO，BDDOBO，DCAB与BCAD与复习：1 1 的向量叫相等向量，若的向量叫相等向量，若a与与b相相等，记作等，记作 2 2由于向量可以平行移动，所以任一组平行向量都由于向量可以平行移动，所以任一组平行向量都可以移到同一直线上，因此平行向量也可以移到同一直线上，因此平行向量也叫叫 3 3向量与有向线段的区别是：向量只有向量与有向线段的区别是：向量只有 和和 两个要素，与两个要素，与 无关，只要大小和方向

11、无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是向量相同向量相同，则这两个向量就是向量相同向量有向线段有有向线段有 、 和和 三个要素，三个要素， 不同，尽管大小和方向相同也是不同有向线段不同，尽管大小和方向相同也是不同有向线段长度相等且方向相同长度相等且方向相同 ab 共线向量共线向量 大小大小 方向方向 方向方向 起点起点 起点起点 大小大小 4 4共线向量与相等向量的关系，即共线共线向量与相等向量的关系，即共线向量向量 是相等向量，而相等的向是相等向量，而相等的向量量 是共线向量是共线向量5 5由向量相等的定义可以知道，对于一由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的，因此，用有