2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《基本不等式及应用》

1、2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练基本不等式及应用【题型一】：基本不等式 ab 三之上的理解2【题型二】：利用基本不等式 VObalb求最值2【题型三】：基本不等式应用【题型四】：基本不等式在实际问题中的应用【题型一】：基本不等式 ab < s 的理解2【例1】.a >0, b>0,给出下列推导，其中正确的有 (填序号)(1) a+b+-的最小值为242 ； .ab一11 ,(2) (a +b)(十一)的取小值为4 ; a b(3) a+-的最小值为-2.a 4【解析】(1) ; (2)(1) V a >0, b>0,a+b之2庙十二之2亚(当且仅当

2、a = b=灭时取等号). . ab.、ab2(2) v a>0 , b>0 ,(a+b)(1 +1) 2 2jOb，一= =4 (当且仅当 a = b时取等号)a b,一 ab111(3) . a>0 , ；a+= a+4+-4 >2. (a+ 4)4 = 2,a 4a 4 a 41(当且仅当a+4= 即a+ 4=1, a = -3时取等号)a 4V a>0,与a = -3矛盾，上式不能取等号，即a+>-2 a 4【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取 等，缺一不可.【变式训练】：【变式11给出下面四个推导过程： ;

3、a,b w R+ .-+b >2 b aba=2；7x, yWR +,1g x +lg y 2 2 Jlg x 1g y ;44 a=R' a#0, a 3 2 2J a = 4 ; a a. x,ywR, xy<0, /. x+y =_(_-)+(_2) _2(_)(_2) = 2 .y x y x y x其中正确的推导为()A.B.C.DM【解析】: a,bwR+, .2awR+,符合基本不等式的条件，故推导正确. a b虽然x,ywR *,但当xw(0,1)或yw(0,1)时，lgx,lg y是负数，的推导是错误的由aw R,不符合基本不等式的条件,f+a之2，4w=

4、4是错误的. a a由xy<0,得 2/均为负数,但在推导过程中，将整体提出负号后，x yy x（_x）+（_y四变为正数，符合基本不等式的条件，故正确.选D. y x【变式2】下列命题正确的是（A.函数y=x+1的最小值为2.B.函数y = -x=上的最小值为2xx2 244C.函数 y = 23x（x >0）取大值为 2-453 D.函数 y = 23x-一（x > 0）的取小 xx值为2【答案】C【解析】A选项中，: x=0, .当x >0,时由基本不等式x +122;x当x<0时x+1 W2-.选项A错误.xB选项中，= y = x2 + 2 + 1 =

5、"x2十2十一二的最小值为2x2 2x2 2x2 2（当且仅当Vx2 +2=1时，成立）但是 收+2之2,这是不可能的.选项B错误.C 选项中,< x>0, 二 y=23x4 = 2 （3x+4）W245/3,故选项 C 正确。 xx【题型二】：利用基本不等式 后宅皿求最值【例2L ®a>b>0,则a2+工+1一的最小值是ab a(a-b)A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】+ +ab a(a-b)12=a -ab ab+ab a(a - b)=a(a -b) (aba(a -b),4a(a -'b)-当且仅当ab)即a = V2,b =

6、 立时取等号.,12ab =ab【变式训练】：【变式U若xc0,求f(x) =4x+?的最大值.x【解析】因为x<0,所以-x>0,由基本不等式得：-f(x) = (4x +9) =(4x) +( 9) >2J(x) (-9) =2736 = 12 ,(当且仅当-4x=-9即 x3 , 一一x=_e时,取等号)故当3 -x = 一 一时，f (x) =4x229取得最大值-12. x【变式2已知x<0,求f(x)=20+4x + 16的最大值. x【解析】: x <0,-x>0 ,-2时，等号成立)即x=2时，等号(-x) +>2j(-x) =2X2=

7、4.(当且仅当x=2,即 x-x-x- xf (x) =20 4(x) + 土420 4父4=4 (当且仅当 x = & , xxx成立)故当x = -2时，f(x)的最大值为4.1 4 一【例3】.已知a>0, b>0, a+b=2,则y= +的最小值是 a bA.B. 4C.D. 5【解析】: a >0,b >0 ,14 1141 b 4a 1a L2；b)(a b)型5 a 铲-2(5 2b 4a)= 9a b 2【答案】选C【变式训练】【变式1 若x>0,yA0,且2 + =1，求xy的最小值 x y【解析】: X >0, y >0 ,

8、.一 .281(当且仅当=?=即X = 4, y =16时，等号成立)x y 2xy >64 （当且仅当x = 4, y=16时，等号成立）故当x=4, y=16时，xy的最小值为64.【变式2已知x>0, y>0,且1+旦=1,求x+y的最小值 x y一19/19y9x【解析】: 一十 = 1,. x+y = (x + y)，一+ =10 + + 一 xy<xy Jxy. x>0, y>0,人打会产=6 x y x y(当且仅当、=9x,即y=3x时，取等号) x y19又一+=1,x=4, y=12x y当x=4, y=12时，x+y取最小值16。【题型

9、三】：基本不等式应用【例 4】.设 x,y w R：x + y =1,求证：(x + 1)(y+1)至空 x y 425【证明】>42 2 , 一 25，一x y1 -2xy - xy 1 _ 0二 x2 y2 - xy 2 , 0o 1 n-：xy-8 xy- -0 -x xy -c1_0二.xy -8 xy -4成立【变式训练】：【变式1已知a >3,求证：-4+a27 a -3 44-4【解析】a =(a -3) 3-2 (a-3) 3 = 2.4 3 = 7 a-3a3a-3(当且仅当-=a-3即a =5,等号成立). a-3【例 5】已知 a >0,b >0,

10、c>0 ,且 a+b+c=1.(1)若 a =b =c则'1-1 I.I 1 -1 I.I1 -1 的值为 a b c.一111求证：-1- -1 -1>8,abc11111【斛析】(1)由就息可行a = b = c = -市入计算可行-1 I _ -1 I _ -1 =8 3a b c(2)由题意和基本不等式可得 a+b之2后3>0, a +c>2>/ac >0 , b+c之2jbcA0 *a b c =11 11 a b c a b c a b c1 1 1 = -1 -1 Ia b ca. bcb c a c a b 2 . bc 2 . ac

11、 2 , ab=8a b c a b c-1 - -1 - -1 _8a b c【变式训练】：【变式】已知函数f (x )= Jx+1| 十 |x3 -m的定义域为R.求实数m的取值范围.若m的最大值为n,当正数a、b满足一2= n时，求7a+4b的最小值. 3a b a 2b【解析】(1)因为函数的定义域为R,二x +1 + x -3 m至0恒成立设函数g (x )=|x +1 - x -3则m不大于g(x)的最小值'/ x +1 +|x 3| 之 x 十1 (x3 ) = 4 即 g(x )的最小值为 4, m <4(2)由(1)知 n=4二2+=4 3a b a 2b121

12、.7a 4b 6a 2b a 2b I43a 2b a 2b5 2 2 3a 2ba 2b ,a 2b 3a b2(3a +2b )+2(a +2b f> 1a+2b 3a +b 14当且仅当a +2b =3a+b时，即b = 2a时取等号.9二7a+4b的取小值为一4【题型四】：基本不等式在实际问题中的应用【例6.某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈, 平面图为矩形，面积为112m2,预计(1)修复1m旧墙的费用是建造1m新墙费用的25% , (2) 拆去1m旧墙用以改造建成1m新墙的费用是建1m新墙的50%, (3)为安装圈门，要在围墙的 适当处留出1m的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。设修复成新墙的旧墙为xm，则拆改成新墙的旧墙为(12-x)m, 于是还需要建造新墙的长为2 112 (x -1)-(12-x) =2x 丝4-13.设建造1m新墙需用a元，建造围墙的总造价为y元,224贝 1 y = x a 25% (12 x)a 50% (2x 13)ax7x 224=a(-7) _a(28、2 -7) 4 x(当且仅当 G=224即x = 8点时，等号成立)4 x故拆除改造旧墙约为12-8”米时，总造价最小.【变式训练】：【