专题7.3直线、平面平行的判定及性质(原卷版)

1、第七篇 立体几何与空间向量专题7.03直线、平面平行的判定及性质【考纲要求】1 .能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2 .能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题【命题趋势】线线平行、线面平行、面面平行的判定与证明；由线面平行或面面平行探求动点的位置.【核心素养】本讲内容主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养【素养清单？基础知识】1 .直线与平面平行的判定定理和性质定理文子语百图形语百符号语后判定定理平囿外一条直线与此平囿内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行（线线平 行？线面平行）- l / a,a? a ,l

2、? a , l / a性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的平囿与此平囿的交线与该直线 平行（简记为“线面平行？线线平行”）l / a , l ? 3 , a n 3 = b, 1. l / b位用判定定理时，要注意“内” “外” “平行”三个条件必 %都具备，缺一不可.2 .平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语百图形语百符号语后判定定理一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行？面 面平行”）1卜 i)'-all 3 ， b / 3 ,an b=p, a?a ,b?a ,- a / 3性质定理如果两个平行平囿同时和第三个平面相交，那么

3、它们的交线平行Wb 77a / 3 , aAy= a,3ny= b,a/ b-如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平I面的两条直线，那么这两个平面互相平行I符号表示：-a? “ ， b? a , anb=O, a' ? 3 , b' ? 3 , a/ a' , b/ b' ? “ / 3【素养清单？常用结论】平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.【真题体验】1.【2019年高考全国n卷理数】设 “，为两个

4、平面，则 a / 3的充要条件是A. a内有无数条直线与3平行B. a内有两条相交直线与3平行C. a , 3平行于同一条直线D. a , 3垂直于同一平面2.【2018年高考浙江卷】已知平面a ,直线mjn 满足m-a , nU a ,则 “m/n” 是 “ m/ a ” 的A.充分不必要条件.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3 .【2019年高考全国I卷理数】如图，直四棱柱ABCD ABGD的底面是菱形，AA=4,AB=2,/BA摩60°,E, M, N分别是BC, BB, A1D的中点.(1)证明：MN/平面CDE;(2)求二面角 A-MA N的正弦值.4

5、 .【2019年高考天津卷理数】如图， AE_L平面ABCD , CF / AE, AD / BC ,AD _L AB, AB =AD =1,AE =BC =2 .(1)求证：BF /平面ADE ;(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角E -BD -F的余弦值为1,求线段CF的长.3AB=BC5 .【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABG- ABC中，D, E分别为BC AC的中点,求证：(1) AB/平面DEC;(2) BE!GE.考法一直线与平面平行的判定与性质解题技巧：解决直线与平面平行的三种思维方式(1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是设法在平

6、面内找到一条与已知直线平行的直线.(2)构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等.(3)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线 面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.1【例1】 如图，四棱锥 PABC由，AD/ BC AB= BC= 2AD E, F, H分别为线段 AD PC, CD的中点，ACfBE交于点Q G是线段OF上一点.(1)求证：APT面 BEF(2)求证：GH/平面PADH C【例2】 如图所示，四边形 ABCD1平行四边形，点 P是平面ABCB卜一点，M是PC的中点

7、，在 DM上取一点G 过G和PA作平面PAH或平面BMDF GH求证：PA/ GH考法二平面与平面平行的判定与性质解题技巧：判定面面平行的四种方法(1)利用定义，即证两个平面没有公共点.(2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行.(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行.【例3】 如图所示，在三棱柱 ABCAiG中，E, F, G H分别是AB, AC AB, AC的中点，求证:(1) B, C, H, G四点共面；(2)平面EFA/平面BCHG【例4】 如图所示，在斜三棱柱 ABG- ABC中，点D, D分别为AC AC上的点.A

8、DD5的值等于何值时,BC / 平面 ABD ;AD, 一(2)a若平面BCD/平面 ABD,求dC勺值考法三空间平行关系的探索性问题归纳总结解决探索性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件（出现矛盾），则不存在.而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明.【例5】 如图，四边形 ABCW, ABL AD AD/ BC AD= 6, BC= 4, E, F分别在 BC AD上，EF/ AB现将 四边形ABCD& EF折起，使平面A

9、BEFL平面EFDC若BE= 1,在折叠后的线段 AD上是否存在一点 P,且A%入PD使得CP/平面ABEF若存在，求出 入的 值；若不存在，说明理由.【易错警示】 易错点使用面面平行的性质进行判定时犯错【典例】 已知三个平面 ”，3 , 丫，满足“ / 3 / 丫，直线a与这三个平面依次交于点A, B, C,直线b与这三个平面依次交于点E, F, G求证：AB= EFBC FG【错解】：设a, b所在的同一平面为 0 ,连接AE, BF, CG因为 e H 8 H 丫， a A 0 = AE, 3 rI 0 = BF, y A 0 = CG所以 AE/ BF/ CG据平行线分线段成比例可知A

10、B_EFBCT FG【错因分析】：解题时，不清楚a与b不一定共面，还可能异面，从而致错.【正解】：(1)当a, b共面时，设a, b所在的同一平面为。，连接AE BF CG因为 e H 8 H 丫， a A 0 = AE, 3 rI 0 = BF, y A 0 = CG所以 AE/ BF/ CG据平行线分线段成比例可知AB EFBCT FG(2)当a, b异面时，如图，连接 AG交3于点Q连接OB OF因为3 / 丫，3门平面ACG= OB 丫门平面ACG= CG 所以 OB/ CG同理可得OF/ AE,所以翳OG OG EG所以AB EFBCT FG【跟踪训练】 如图，四棱柱 ABCMCD的

11、底面ABCO正方形，O为底面中心， AOL平面ABCD AB=。2, AA=2.证明：平面ABD/平面CDB;(2)求三棱柱ABDABD的体积.【递进题组】1 .有下列命题：若直线l平行于平面a内的无数条直线，则直线 l / a ；若直线a在平面a外，则a / a ；若直线a / b, b / a ,则a / a ；若直线a / b, b/ a ,则a平行于平面a内的无数条直线.其中真命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D.42.已知m n是两条直线，”，3是两个平面，给出下列命题：若 n± a , n，3,则 a/ 3；若平面a上有不共线的三点到平面3的距离相等，则 a / 3

12、 ；若 m, n 为异面直线，n? a , n / 3 , m? 3 , m/ a ,则 a / 3 .其中正确命题的个数是()A. 3B.2C. 1D.03.如图，已知四棱锥 PABCDJ底面为直角梯形， AB/ CD / DA庄90。，PL底面ABCD且PA= AD= D的112AB= 1, M是PB的中点.(1)求证：AM= CM(2)若N是PC的中点，求证：DN/平面AMC4.如图所示，在正方体 ABCDA1CD中，O为底面ABCD勺中心，P是DD的中点，设 Q是CC上的点，则当 点Q在什么位置时，平面 DBQ/平面PAO?【考卷送检】一、选择题1.已知两个不同的平面 a , 3 ,两

13、条不同的直线 a, b, a? “，b? ”，则“ a/ 3 , b/ 3 ”是“ a /3 ” 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.如图所示，在空间四边形 ABC用，E, F分别为边 AB AD上的点，且 AE： EB= AF： FA 1 ： 4,又H, G 分别为BC CD的中点，则（）A. BD/平面EFGH且四边形EFGK矩形B. EF/平面BCD且四边形EFGH1梯形C. HG/平面ABD且四边形EFGH1菱形D. EH/平面ADC且四边形EFGH1平行四边形3 .能使直线a与平面”平行的条件是（）A,直线与平面内的一条直线平行B.直线与

14、平面内的某条直线不相交C.直线与平面内的无数条直线平行D.直线与平面内的所有直线不相交4 . （2019 山东师大附中月考）如图，在长方体 ABCD- A B C D中，下列直线与平面 AD C平行的是（）A. B' CBC. A BD5.已知a, b表示不同的直线，口 ,3表示不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若 a / a , b / 3 , a / 3 ,则 a / bB.若 a/ b, a? a , b? 3 ,贝U a / 3C.若 a / b, a n 3 = a,贝U b / a 或 b / 3D.若直线a与b异面，a? a , b? 3 ,则a / 36.已知rq

15、n为两条不同的直线,a , 3为两个不同的平面，给出下列命题:、m? aml aml 3ml ai? n/ a ；I? m/ n；"a / 3 ；n? 3 ¥? m/ n.其中正确命题mlnn± 3ml 3“a / 3J的序号是（）A,B.C.D.二、填空题7 .如图，在正方体ABCDAJGD中，AB= 2,点E为AD的中点，点F在CD上.若EF/平面ABC,则线段EF的长度等于.圾8 .设a , 3 , 丫是二个不同平面，a, b是两条不同直线，有下列二个条件： a/ 丫，b? 3 ;a/ 丫 , b/ 3 ；b/ 3 , a? 丫 .如果命题"a n 3 =a, b? 丫，且,则a/ b”为真命题，则可以在横线 处填入的条件是（把所有符合题意条件的序号填上）.9 . （2019 吉安调考）在正四棱柱 ABCD- ABGD中，O为底面 ABCD勺中心，P是DD的中点，设 Q是CC上的点，则点Q满足条件 时，有平面DBQ/平面PAO三、解答题10 .如图，P是ABO在平面外一点， A' , B' , C'分别是 PBC PCA PAB勺重心.求证：平面A B C /平面 ABC11 . （2019 忻州二中模拟）如图，四边形 ABCDf四边形 ADE叨平行四边形， M N, G分别是AB, AD EF 的中点，求证：