中考一元二次方程综合题例析专题讲座

1、中考一元二次方程综合题例析专题讲座一元二次方程综合题是中考热点，常常结合其他方面知识进行考查，下面通过几个例子 进行分类解析。一、一元二次方程与一次函数综合例1. (2010年绵阳市).已知关于 x的一元二次方程 x2 = 2 (1 m) x m2的两实数根为 X1, X2.(1)求m的取值范围；(2)设y= X1 + X2,当y取得最小值时，求相应 m的值，并求出最小值.分析：(1)若一元二次方程有两不等根，则根的判别式=b2-4ac 0 ,建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出X1+X2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及(1)题得出的自

2、变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值.解：(1)将原方程整理为 x2+ 2 (m1) x + m2= 0.原方程有两个实数根，= 2 (m 1) 24m2 = 8m + 40,得 mW 2(2)X1, X2 为 x2+ 2 (m1) x + m2 = 0 的两根， y = X1 + X2 = 2m + 2,且 mW 2 .I因而y随m的增大而减小，故当 m =工时，取得最小值1.二、一元二次方程与反比例函数综合例2 (2010年山东淄博改编)已知关于x的方程,一 2区一引工+ 1-4此一1 = 0 .若以方程_ m户-2便-引上41-4比-1 = 0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反

3、比例函数犬的图象上，求满足条彳的m的最小值.分析：写出两根之积，两根之积等于m,进而求出m的最小值.解：设方程1-2(上-为/_彼_ = 0的两个根为勺根据题意得制二演三.又由一元二次方程根与系数的关系得瓦七=上 /-1,那么别=1 一彼一1 =(比一2y,所以，当k=2时m取得最小值一5点评：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度 中等的题目三、一元二次方程与二次函数综合例3 (2008年湖北荆州市)已知：如图，RtAOB的两直角边 OA OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA点且 OO OB抛物线y=(x2)(x m)(p-2)(p-m)(m p

4、为常数且 m+拄2P0)经过 A C两点.(1)用m p分别表示OA OC的长；(2)当m p满足什么关系时， AOB的面积最大.分析：（1）因为A、C点都在x轴上，所以令y=0即可求出p的值.（2）根据三角形的面积公式列出 AOB勺面积表达式,再根据二次函数最值得表达式求解即可.解：(1)令 y=0 得：(x-2) ( x-m) - (p-2) ( p-m) =0,整理得：(x-p ) ( x-m-2+p ) =0,- xi=p, x2=m+2-p, m+2 20m+2-p p 0,OA=m+2-p OC=P2(2) OC=OB S；Aaob= 2 OA?OB22 JSa ao= 2 OA?

5、OB= 2 P? ( m+2-p),=_2p2+ 2(m+2)?p,g血十2)-2乂 J)-，当 p=2=(m+2)时，SbaobM大.点评：掌握二次函数的图象，最大值，最小值，二次函数中求三角形面积的问题，通常情 况下都是涉及其最高点，最低点的问题.四、一元二次方程与不等式综合例4 （2008年湖北荆州市）关于的方程 X: 2g +炉=两实根之和为m,且满足y一4 =-2Gt+D,关于y的不等于组1”那有实数解，则k的取值范围是分析：因为方程# + 2伏+ 1” +必=0有两实根，所以=2(k+i)2-4小封0封0,又因 为关于y的不等式组y-4y-4,然后解不等式即可求出k的取值范围.I解

6、：:方程x2+2 (k+1) x+k2=0有两实根， .=2 (k+1) 2-4k20,解得 k- 12 ;y )7.关于y的不等于组八赭 有实数解，m-4又 m=-2 (k+1),-2 (k+1) -4 ,解得 k2-12.故填空答案：12-12.点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正 负与不等号的变化关系.五、一元二次方程与概率综合例5 (2010年黄冈市)甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数.(1)求满足关于x的方程工+产,*中=0有实数解的概率.(2)求(1)中方程有两个相同实数解的概率.分析：(1)方程x2+px+

7、q=0有实数解，则p2-4q 0,把投掷骰子的36种p、q对应值， 代入检验，找出符合条件的个数；(2)方程x2+px+q=0有相同实数解，则 p2-4q=0,把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数.解：两人投掷骰子共有 36种等可能情况，(1)其中使方程有实数解共有19种情况：p=6 时，q=6、5、4、3、2、1;p=5 时，q=6、5、4、3、2、1;p=4 时，q=4、3、2、1;p=3 时，q=2、1;19p=2时，q=1 ;故其概率为 三& .（2）使方程有相等实数解共有 2种情况：1p=4, q=4; p=2 , q=1 ;故其概率为1宫.点评：本题考查一元

8、二次方程根的判别式和概率关系，同时考查了学生的综合应用能力及 推理能力.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一元二次方程有实数根，判别式为非负数.六、一元二次方程与几何知识综合例6 （2009年黄石市）三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程 12笊+35=0的根，则该三角形的周长为（）A. 14B. 12C. 12或14D.以上都不对分析：易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角 形周长即可.解：解方程炉-12工+无=0得:x=5或x=7.当x=7时，3+4=7,不能组成三角形；当x=5时，3+45,三边能够组成三角形.，该三角形的周长为 3+4+

9、5=12,故选B.点评：本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形.例7 （2009年襄樊市）如图，在Uj3s中，与于E盘因二座二3 c二4且总是一元二次方程了？ + 27一3=0的根，则LI 的周长为（）A. 4 + 2袤B, 12+672C, 2十2或口. 2十十6b E仃分析：先解方程求得a,再根据勾股定理求得 AB,从而计算出U ABCD的周长即可.解：a是一元二次方程 x2+2x-3=0 ,(x-1) ( x+3) =0,即 x=1 或-3, AE=EB=EC=a , a=1 ,在 RtAABD 中，ab=J1+1 = 6 a=2LI ASCD的周长=4a+2 a =4+2金.故答案为：A点评：本题考查了用因式分解法解一元二次方程，以及平行四边形的性质，是基础知识要 熟练掌握.例8 (2010年兰州市)已知两圆的半径R、r分别为方程汇二一5，+ 6 = 0的两根，两圆的圆心距为1,两圆的位置关系是()A.外离B.内切C.相交D.外切分析：本题可先求出方程的根即两圆的半径R、r,再根据由数量关系来判断两圆位置关系的方法，确定两圆的位置关系.设两圆圆心距为P,两圆半径分别为 R和r,且R r,则有：外离：P R+r；外切：P=R+r；相交：R-rvPvR+r；内切：P=R-r ;内含：PvR-r.解：.两圆的半径分别是方