分数的除法国立台南大学数学教育系谢坚

1、 分數的除法 國立台南大學數學教育系 謝 堅它們是分數除法問題嗎？14個蘋果，3個蘋果裝成一盤， 全部裝完，可以裝成多少盤？答：14/3盤14個蘋果平分給3個人，全部分 完，一人可以分到多少個蘋果？ 答：14/3個。又2/5公升的果汁，每6/7公升 裝一瓶，最多可以裝滿幾瓶？ 剩下幾公升？又2/5公升的果汁，每6/7公升 裝成一瓶，全部裝完，相當於可 以裝成幾瓶？又2/5公升的果汁相當於6/7瓶 的份量，一瓶果汁有多少公升？ 分數及小數除法問題的難易度， 有下列四項變因：問題的語意。 記錄的格式。 被除數、除數、商數數量範圍。 次數是否為整數。 問題的語意：包含除類的問題:等分除類的問題:包含

2、除類的問題: 又2/5公升果汁，每6/7公升裝 成一瓶，最多可以裝滿幾瓶？剩下幾公升?(有餘數，商是整數)又2/5公升的果汁，每6/7公升 裝成一瓶，全部裝完，相當於可 以裝成幾瓶？(沒有餘數，商不是整數)等分除類的問題: 又2/5公升果汁，平分裝成7瓶 ，全部裝完，請問一瓶果汁裝多 少公升？(很少出現此類問題)又2/5公升果汁，相當於6/7瓶 的份量，請問一瓶果汁有多少公 升？(沒有餘數，除數不是整數)記錄的格式：儘量分完：全部分完：儘量分完: bqr (b0)， 其中q是整數，而且0b。全部分完: ba/b (b0)。 被除數、除數、商數數量範圍：被除數、除數都是整數，商數是 分數或小數。

3、被除數、除數可以是整數、分數 或小數(至少有一個不是整數)。被除數、除數都是分數或小數。次數是否為整數：除法問題： 單位數（次數）是整數。 例如:7人，5盤，6次。當量除問題： 單位數（次數）不是整數。 例如:3/7人，5/8盤，2/9次。 等分除問題的除數是分數 包含除問題的商數是分數 都是當量除，一定不會有餘數。7個蘋果相當於3/5人份，1人份 有35/3個蘋果。7個蘋果是1人份，3個是3/7人份 包含除類的分數除法：儘量分完(有餘數)：整數整數分數分數（同分母）分數分數（異分母）14個蘋果，3個蘋果裝1盤， 最多可裝滿幾盤？剩下幾個?14/5個蘋果，3/5個裝1盤， 最多可裝滿幾盤？剩下

4、幾個?14/5個蘋果，3/11個裝1盤， 最多可裝滿幾盤？剩下幾個?14/5個蘋果，3/5個裝1盤， 最多可裝成幾盤？剩下幾個?可以評量小四學童嗎？連減策略。先乘後減策略。被除數與除數同時換單位策略。連減策略：先乘後減策略： 3/5412/5 14/512/52/5 答：可以裝成4盤，剩下2/5個。被除數與除數同時換單位策略： 14000 3000 = 4(2000) 元 元 人 元 14 3 = 4(2) 張 張 人 張 2張(千元鈔票)2000元以1/5個蘋果為新單位(1片)，14/5個蘋果，3/5個裝1盤， 最多可裝成幾盤？剩下幾個?14片蘋果，3片裝1盤，最多可裝成幾盤？剩下幾片?也就

5、是幾個？以1/5個蘋果為新單位(1片)， 分數除以分數的包含除問題變成 整數除以整數的包含除問題。14(片)3(片)4(盤).2(片) 2片2/5個 答：可以裝成4盤，剩下2/5個。 14/5(個) 3/5(個)14(片) 3(片) 4(盤).2(片) 2/5(個) 4(盤).2/5(個) 你接受上述記法嗎？為什麼？14/5個蘋果，3/11個裝1盤， 最多可裝滿幾盤？剩下幾個?41/5公升果汁，4/7公升裝1瓶， 最多可以裝滿幾瓶？剩下幾公升 果汁?通分後，異分母分數除法問題變 成同分母分數除法問題。包含除類的分數除法：全部分完：整數整數分數分數（同分母）分數分數（異分母）14個蘋果，3個蘋果

6、裝1盤，全部 裝完，(相當於)可以裝成幾盤？14/5個蘋果，3/5個裝1盤，全部 裝完， (相當於)可以裝成幾盤？14/5個蘋果，3/11個裝1盤，全部 裝完， (相當於)可以裝成幾盤？14個蘋果，3個蘋果裝1盤， 最多可以裝滿幾盤？剩下幾個? 14個蘋果，3個蘋果裝1盤，全部 裝完，相當於可以裝成多少盤？14個蘋果，3個蘋果裝1盤， 最多可以裝滿幾盤？剩下幾個?14個蘋果，3個蘋果裝1盤，全部 裝完，相當於可以裝成多少盤？1434(2) 1434(2/3)2個蘋果如何變成2/3盤?3個蘋果裝1盤。 1個蘋果相當於多少盤? 2個蘋果相當於多少盤? 14個蘋果相當於多少盤? 3個蘋果裝1盤。 把

7、1盤蘋果平分成3份， 1份是 1個 1份是 1/3盤1個蘋果是1/3盤。 2個蘋果是2個1/3盤（2/3盤） 14個蘋果是14個1/3盤（14/3盤) 14 3 4.(2)2) 蘋果 蘋果 盤 (蘋果) 14 3 4 (2/3)2/3) 蘋果 蘋果 盤 (盤)2個蘋果是2個1/3盤（2/3盤）。1434.2 2 131/3 232/3 1/31414/3 42/342/3 14314/3 14342/3那一種記法，對建立分數除法概 念比較有幫助?14/5個蘋果，3/5個裝1盤， 最多可裝滿幾盤？剩下幾個?14/5個蘋果，3/5個蘋果裝1盤， 全部裝完，相當於裝成幾盤？14/5個蘋果，3/5個裝

8、1盤， 最多可裝滿幾盤？剩下幾個?14/5個蘋果，3/5個蘋果裝1盤， 全部裝完，相當於裝成幾盤？14/53/54.(2/5個) 14/53/54(2/3盤)2/5個蘋果如何變成2/3盤?14/53/54(盤).(2/5個) 2/53/5232/3(盤) 一盤3/5個，2/5個相當於2/3盤1/5個稱為1片 2/5 (個) 3/5(個) 2 (片) 3 (片) 2/3(盤)14/5個蘋果，3/11個裝1盤，全部 裝完， (相當於)可以裝成幾盤？通分後，異分母分數除法問題變 成同分母分數除法問題。41/5公升果汁，2/7公升裝1瓶， 最多可以裝滿幾瓶？剩下幾公升 果汁?學童可能有哪些解題策略？4

9、1/5287/35 ; 2/710/35連減策略。先乘後減策略。被除數與除數同時換單位策略。 41/52/7 287/3510/35 2871028 .7(7個1/35) 裝28瓶，剩下1/5(7/35)公升。顛倒相乘策略 41/52/7 41/57/2 287/10 287/10答：可以裝28瓶，剩下7/10公升。答案是否合理顛倒相乘策略 41/52/7 41/57/2 287/10 287/10剩下7/10瓶，不是剩下7/10公升 7/107/10瓶是(2/77/101/5)公升。 答：可以裝28瓶，剩下1/5公升。 41/52/7 287/3510/35 2871028 .7(7個1/3

10、5) 7/352/77/3510/357/10(瓶) 41/52/728又7/10瓶7/10瓶2/77/101/5公升41/5公升果汁，2/7公升裝1瓶， 全部裝完，相當於裝成幾瓶？通分後，異分母分數除法問題變 成同分母分數除法問題，被除數 與除數同時換單位策略是國小階段 最主要的解題策略。41/5287/35 ; 2/710/3541/5公升果汁，2/7公升裝1瓶， 全部裝完，相當於裝成幾瓶？287罐果汁，10罐裝成1瓶， 全部裝完，相當於裝成幾瓶？ 41/5 2/7 (417)/(57)(25)/(75) 287/35 10/35 287 10 287/10 。如何引入顛倒相乘分數除法算則

11、找數學關係，不可以算出答案， 算出答案就看不到已知與結果的 關係。以公分母同時換單位： 41/5 2/7 (417)/(57)(25)/(75) (417)(25) 同時換單位 (417)/(25) 得到答案 (417)(52) 畫蛇添足41/5 7/2 得到相同的答案 以除數的單位分數同時換單位：41/5公升是41/5個(1公升)， 可以看成是41/5個(7個1/7公升) 也就是(41/57)個(1/7)公升2/7公升是2個(1/7)公升 41/52/7(41/57) 2 比的策略: 透過a:b=ka:kb將分數的除法 問題轉換成整數除法問題。 41/5公升：2/7公升 (k=35) 287

12、公升：10公升。 單位量策略 1瓶1/7公升，1公升可以裝7瓶 1瓶2/7公升，1公升可以裝7/2瓶 1瓶2/7公升，41/5公升可以裝 41/5(7/2)瓶。 (41/5公升是41/5個1公升)。倒數策略：一個數與其倒數的關係： 基準量與比較量位置互換的關係。a:1=1:1/a。 a/b:1=1:b/a。2/7公升裝成1瓶1公升是7/2瓶 2/7公升1公升 1瓶7/2瓶 1公升是1時，2/7公升是2/7 2/7公升是1(瓶)1公升是7/2(瓶) 41/5公升是41/5個1公升， 是41/5個7/2瓶， 是41/57/2瓶。倒數策略才能說明顛倒相乘的意 義。 1瓶 -.-.-.-. 4/7公升

13、 -.-.-.-.-.-.-. 1公升 4/7公升是1瓶，1公升是7/4瓶。乘法單位元素及反元素概念：41/5 2/7(41/5)/(2/7) (417)(7/2)/(2/7)(7/2) (417)(7/2)/1(反元素) (417)(7/2)此種解法涉及乘法單位元素及 乘法反元素的概念。等分除類的分數除法：儘量分完： 整數整數除數不是整數是當量除問題。等分除類的分數除法：全部分完： 整數整數 分數整數 分數分數1個蘋果平分給3個人，全部分完 ，每個人可以分到幾個蘋果?必須注意記錄的格式。 1 3 0 1 1 3 1/37個蘋果，平分給4個人，全部分 完，每個人分到幾個蘋果?哪個答案出現的機會

14、最大？11/21/4(個)13/41又3/4(個)7/4(個)11/21/4提供具體物時，為了讓每個人分的塊數最少，可能出現該答案。 13/41又3/4提供具體物時可能出現該答案。741.3 343/4 13/41又3/47/4747/41又3/4141/4 1/477/4不同的解題策略會得到不同答案3個蘋果，平分給5個人，全部分 完，每個人分到幾個蘋果?整數概念分數概念3個蘋果，平分給5個人，全部分 完，每個人分到幾個蘋果?整數概念(等分除經驗)每一個蘋果都切成5片 3個15/5個(15片) 15/5個53/5個(15片53片3/5個)3個蘋果，平分給5個人，全部分 完，每個人分到幾個蘋果?

15、分數概念(分數經驗)每次平分1個蘋果 151/5 353/5 1/533/5 14個蘋果，平分給5個人，全部分 完，每個人分到幾個蘋果?151/5 14514/5 1/51414/5分數概念的答案一定是假分數 不會是帶分數3/7個蘋果，平分給5個人，全部 分完，每個人分到幾個蘋果?整數概念分數概念整數概念(等分除經驗)5/75(55)/71/7 15/75(155)/73/7 3/75？（35除不盡） 3/7(35)/(75)15/35 (15/35)5 (155)/35 3/35 3/753/35分數概念(分數經驗) 1/751/35 3/753/35 1/3544/35能說明1/751/3

16、5的意義嗎？ 1/7公升 答案要求回答多少個1公升。1/35能說明1/751/35的意義嗎？答案要求回答多少個1公升。1/351/751/35 ；1/3533/351/353/753/753/351/3514個蘋果平分給3個人，每人最多可以分到幾個？剩下幾個?14個蘋果平分給3個人，全部分完 ，1個人分到多少個蘋果？ 14 3 4.(2個蘋果) 14 3 4 (2/3個蘋果)2個蘋果如何變成2/3個蘋果？12/5公尺長的繩子，相當於6/7 條，一條繩子長幾公尺？ 國小階段透過線段圖解決問題。 1條 -.-.-.-.-.-.-. -.-.-.-.-.-. 6/7條 (12/56)784/3014/5 只要畫出線段圖,就能夠成功的解 題，但是部份學童解題成功後， 並不接受除法算式的記錄(除數不 是整數)。學童無法將 (12/56)78