概率论与数理统计(第4版) ：1-5 条件概率

1、一、条件概率一、条件概率 二、乘法定理二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结四、小结 第五节条件概率第五节条件概率 分析分析 一、条件概率一、条件概率 例例1 将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次, 观察其出现正反面的观察其出现正反面的情况情况. ,”“HA至至少少有有一一次次为为为为设设事事件件两两为为设设事事件件“B次掷出同一面次掷出同一面”. .发发生生的的概概率率发发生生的的条条件件下下现现求求已已知知事事件件BA. , , , TTTHHTHHS ，2142)( BP 将事件将事件A 已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件B 发生的概率发生的概

2、率记为记为 , )(ABP31)( ABP. )(BP )()(APABP . , 为反面为反面为正面为正面设设TH,TTHHBTHHTHHA ,43)( AP)(ABP,41 )()()(BPABPBAP 同理可得同理可得 为事件为事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率. 1. 定义定义 ,是是两两个个事事件件设设BA,0)( AP且且称称 )(ABP)()(APABP .发发生生的的条条件件概概率率发发生生条条件件下下事事件件为为在在事事件件BA2. 性质性质 1。非负性非负性: ,B对对于于每每一一事事件件;0)( ABP有有2。规范性规范性: ,S

3、对对于于必必然然事事件件;1)( ASP有有3。可列可加性可列可加性: 是是两两两两互互不不相相容容设设,21BB事件事件, 则有则有 )(1ABPii 1.)(iiABP例例2 一个盒子装有一个盒子装有4只产品只产品, 其中有其中有3只一等品只一等品, 二等品二等品. 从中取产品两次从中取产品两次, 每次任取一只每次任取一只, 作不放作不放回抽样回抽样. ,”“第第一一次次取取到到的的是是一一等等品品为为设设事事件件 A,”“第第二二次次取取到到的的是是一一等等品品为为事事件件B试求条件概试求条件概 . )(ABP率率解解 此为古典概型问题此为古典概型问题. 先将产品编号先将产品编号, 1,

4、2,3号为号为一等品一等品; 4号为二等品号为二等品. ,),(表表示示第第一一次次以以ji,号号分分别别取取到到第第 i第二次第二次 .号产品号产品第第j1 1只只S ),2 , 1(),3 , 1(),4 , 1(),1 , 2(),3 , 2(),4 , 2(,),1 , 4(),2 , 4(,)3 , 4(A ),2 , 1(),3 , 1(),4 , 1(),1 , 2(),3 , 2(),4 , 2(),1 , 3(),2 , 3(,)4 , 3(AB ),2 , 1(),3 , 1(),1 , 2(),3 , 2(),1 , 3(.)2 , 3(由定义由定义, 得条件概率得条件概

5、率 )(ABP)()(APABP 129126 .32 的的样样本本空空间间为为：试试验验E.A就就是是,9个个元元素素中中有有A),1 , 2(),3 , 1(),2 , 1(其其中中只只有有,)2 , 3(),1 , 3(),3 , 2(B属属于于故可得故可得 )(ABP96 .32 ,发发生生以以后后当当事事件件 A所所有有可可能能的的结结果果的的集集合合试试验验E. )(ABP接含义求接含义求也可按照条件概率的直也可按照条件概率的直二、乘法定理二、乘法定理 乘法定理乘法定理 ,0)( AP设设则有则有)(ABP ).()(APABP推广推广 ,为为事事件件设设CBA,0)( ABP且且

6、则有则有 )(ABCP )(ABCP)(ABP. )(AP一般一般, ,21个个事事件件为为设设nAAAn,2 n且且 ,0)(121 nAAAP则有则有 )(21nAAAP )(121 nnAAAAP)(2211 nnAAAAP)(12AAP).(1AP例例3 ,只只红红球球设设袋袋中中装装有有 r.只只白白球球t每次自袋中任每次自袋中任取一只球取一只球, 观察其颜色然后放回观察其颜色然后放回, 只只与与所所并并再再放放入入a取出的那只球同色的球取出的那只球同色的球. 若在袋中连续取球四次若在袋中连续取球四次, 试求第一试求第一、二次取到红球且第三二次取到红球且第三、四次取到白球四次取到白球

7、 的概率的概率. 解解 ,“)4 , 3 , 2 , 1(次取到红球次取到红球第第表示事件表示事件以以iiAi .,43四次取到白球四次取到白球分别表示第三分别表示第三则则AA所求概率为所求概率为 )(4321AAAAP )(3214AAAAP)(213AAAP)(12AAP)(1AP atrat3 atrt2 atrar .trr 此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型. 例例4 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打第一次落下时打 破的概率为破的概率为1/2, 若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次落下第二次

8、落下打破的概率为打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破若前两次落下未打破, 第三次第三次落下打破的概率为落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打试求透镜落下三次而未打 打破的概率打破的概率. 解解 .“)3 , 2 , 1(次次落落下下打打破破”透透镜镜第第表表示示事事件件以以iiAi .”“透透镜镜落落下下三三次次而而未未打打破破表表示示事事件件以以B,321AAAB 因为因为故有故有 )(BP )(321AAAP )(213AAAP)(12AAP)(1AP)(BP )(321AAAP )(213AAAP)(12AAP)(1AP 1091 1071 211 .2003另解另解,

9、 按题意按题意 B .321211AAAAAA,321211是两两互不相容事件是两两互不相容事件而而AAAAAA故有故有 )(BP )(1AP )(21AAP .)(321AAAP更多例题更多例题补充例题补充例题,21)(1 AP已已知知,107)(12 AAP,109)(213 AAAP即有即有 )(21AAP )(12AAP)(1AP 211107 ,207)(321AAAP )(213AAAP)(12AAP)(1AP 109 1071 211 .20027)(BP 21207 20027 ,200197)(BP 2001971 .20031. 样本空间的划分样本空间的划分 1B2B3B1

10、 nBnB三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式 定义定义 ,的的样样本本空空间间为为试试验验设设ES为为nBBB,21,的的一一组组事事件件E若若 ;, 2 , 1,) i (njijiBBji ,)ii(21SBBBn .,21的一个划分的一个划分为样本空间为样本空间则称则称SBBBn定理定理 ,SE的的样样本本空空间间为为设设试试验验,的事件的事件为为EA,21的的一一个个划划分分为为SBBBn, 2 , 1(0)( iBPi且且),n则则 )(AP )()(11BPBAP)()(22BPBAP )()(nnBPBAP 称为称为全概率公式全概率公式. 2.全概率公式全概率公

11、式 ,), 2 , 1(0)(niBPi 由由假假设设,)( jiABAB且且,ji , 2 , 1,nji 得到得到 )(AP )(1ABP)(2ABP )(nABP )()(11BPBAP)()(22BPBAP ).()(nnBPBAP 证证 因为因为 A AS )(21nBBBA ,21nABABAB说明说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题复杂事件的概率计算问题, ,分解为若干个简单事分解为若干个简单事件的概率计算问题件的概率计算问题, ,最后应用概率的可加性求出最后应用概率的可加性求出最终结果最终结果. . 图示图示 A1

12、B2B3B1 nBnB化整为零各个击破化整为零各个击破 例例5 有一批同一型号的产品，有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生已知其中由一厂生产的占产的占 30%， 二厂生产的占二厂生产的占 50%，三厂生产的占三厂生产的占 20%， 又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2%, 1%, 1%, 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少少? 解解 设事件设事件 A 为为“任取一件为次任取一件为次品品”,. 3, 2, 1,”“ iiBi厂厂的的产产品品任任取取一一件件为为为为事事件件321BBB,S jiBB . 3 , 2 , 1,

13、ji,S30%20%50%2%1%1%由全概率公式得由全概率公式得 . )()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAP )(AP ,3 . 0)(1 BP,5 . 0)(2 BP,2 . 0)(3 BP,02. 0)(1 BAP,01. 0)(2 BAP,01. 0)(3 BAP)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP 故故2 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 .013. 0定理定理 .SE的的样样本本空空间间为为设设试试验验,的的事事件件为为EA,21的的一一个个划划分分为为SBBBn,0)( AP且且0)( iB

14、P,), 2 , 1(ni 则则 )(ABPi ,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP., 2 , 1ni 此式称为此式称为贝叶斯公式贝叶斯公式. 3. 贝叶斯公式贝叶斯公式 贝叶斯资料贝叶斯资料)(ABPi )()(APABPi ,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP., 2 , 1ni ,2 n若若在在公公式式中中取取,1BB 记记为为并并将将,2BB 就就是是则则那么那么, 全概率公式和贝叶斯公式变为全概率公式和贝叶斯公式变为 )(AP )()(BPBAP, )()(BPBAP )(ABP )()(APABP .)()()()()()(BPBAPBPBAP

15、BPBAP 证证 由条件概率的定义及全概率公式得由条件概率的定义及全概率公式得 例例6 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件 制造厂提供的制造厂提供的. 根据以往的记录有以下的数据根据以往的记录有以下的数据 元件制造厂元件制造厂次品率次品率提供元件的份额提供元件的份额1230.020.010.030.150.800.05设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的, 且无区且无区 别的标志别的标志. (1) 在仓库中随机地取一只元件在仓库中随机地取一只元件, 求它是求它是 次品的概率次品的概率; (2) 在仓库中随机地取一只元

16、件在仓库中随机地取一只元件, 若已若已 知取到的是次品知取到的是次品, 为分析此次品出自何厂为分析此次品出自何厂, 需求出需求出 此次品由三家工厂生产的概率分别是多少此次品由三家工厂生产的概率分别是多少. 试求这试求这 些概率些概率. 解解 ,“取取到到的的是是一一只只次次品品”表表示示设设 A)3 , 2 , 1( iBi.家家工工厂厂提提供供的的”“所所取取到到的的产产品品是是由由第第表表示示i,321的一个划分的一个划分是样本空间是样本空间 SBBB而且有而且有 易知易知, ,15. 0)(1 BP,80. 0)(2 BP,05. 0)(3 BP,02. 0)(1 BAP,01. 0)(

17、2 BAP.03. 0)(3 BAP(1) 由全概率公式由全概率公式 )(AP)()(11BPBAP )()(22BPBAP )()(33BPBAP .0125. 0(2) 由贝叶斯公式由贝叶斯公式 )(1ABP)()()(11APBPBAP 0125. 015. 002. 0 .24. 0)(2ABP,64. 0 )(3ABP.12. 0 以上结果表明以上结果表明, 这只次品来自第这只次品来自第2家工厂的可能性家工厂的可能性 最大最大. 例例7 对以往数据分析结果表明对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时当机器调整良好时, 产品的合格率为产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时而当

18、机器发生某种故障时, 其合格率为其合格率为55%. 每天早上机器开动时每天早上机器开动时, 机器调整机器调整良好的概率为良好的概率为95%. 试求已知某日早上第一件产品试求已知某日早上第一件产品是合格品时是合格品时, 机器调整良好的概率是多少机器调整良好的概率是多少? 解解 ,“产品合格”“产品合格”为事件为事件设设 A“机机器器调调为为事事件件B整良好整良好”. ,98. 0)( BAP,55. 0)( BAP已知已知 ,95. 0)( BP,05. 0)( BP. )(ABP所求的概率为所求的概率为 由贝叶斯公式由贝叶斯公式 )(ABP)()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAP

19、 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0这就是说这就是说, 当生产出的第一件产品是合格品时当生产出的第一件产品是合格品时, 此此 时机器调整良好的概率为时机器调整良好的概率为0.97. 上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫做叫做先验概率先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后验概率后验概率. 先验概率与后验概率先验概率与后验概率 例例8 根据以往的临床记录根据以往的临床记录, 某种诊断癌症的试验具某种诊断癌症的试验具有如下效果有如下效果: ,”“试试验验反反应应为为阳阳性性表表示示若若以以A,”“被被诊诊断断者者患患有有癌癌症症表表示示事事件件C)(CAP则有则有,95. 0 .95. 0)( CAP现在对自然人群进行普查现在对自然人群进行普查, 设被试验的人患有癌症的概率为设被试验的人患有癌症的概率为0.005, )(CP也就是也就是,005. 0 . )(ACP试求试求解解 ,95. 0)( CAP已已知知)(CAP )(1CAP ,05. 0,005. 0)( CP,995. 0)( CP 由贝叶斯公式由贝叶斯公式 以以)(ACP )()()()