线性代数总复习(有试题_有讲解)

1、上页下页结束返回首页线线 性性 代代 数数 复复 习习 课课 一、内一、内 容容 提提 要要 二、典二、典 型型 例例 题题 上页下页结束返回首页一、内一、内 容容 提提 要要 v行列式的性质行列式的性质性质性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面式记号的外面.性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.性质性质4 对换两行对换两行, 行列式值反号行列式值反号. 性质性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和若行列式某一行的元素都是两数之和, 则该行拆开则该行拆开, 原行列式可以表为相应的两个行列式之和原行

2、列式可以表为相应的两个行列式之和.性质性质6 把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去应的元素上去, 行列式的值不变行列式的值不变.性质性质5 若有两行元素对应成比例若有两行元素对应成比例, 则行列式值为零则行列式值为零. 设设 A, B 为为 n 阶矩阵阶矩阵, 则有则有 | AB | = = | A | | B | . 上页下页结束返回首页一、内一、内 容容 提提 要要 vLaplace 按行列展开按行列展开定理定理 行列式等于某一行行列式等于某一行(列列)的元素与其对应的代数余的元素与其对应的代数余子式乘积之和子式乘积之和. 即

3、即 1122|, (1,2, )iiiiininAa Aa Aa Ain=1122|, (1,2, )jjjjnjnjAa AaAa Ajn= = = = 设设 A = = (aij)为为 n 阶方阵阶方阵, 则有则有111,11,111,1,11jjnnn jn jnnnaaaaaaabba 1212jjjnnAbAAbb= = 上页下页结束返回首页一、内一、内 容容 提提 要要 v伴随阵伴随阵 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵, Aij 为为(i, j)元的代数余子式元的代数余子式, 记记112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA = =称称 A 为方阵为方阵 A 的的转置转

4、置伴随阵伴随阵.v伴随阵的性质伴随阵的性质(1)|;nAAA AA E = = =1(2)|.nAA= = 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵 A 的伴随阵的伴随阵, 则有则有上页下页结束返回首页 如果如果 | A | 0, 那么那么, 称方阵称方阵 A 为为非奇异矩阵非奇异矩阵.v逆阵计算公式逆阵计算公式 非奇异矩阵非奇异矩阵 A 的逆阵为的逆阵为11|AAA= =v逆矩阵逆矩阵 如果存在矩阵如果存在矩阵 B, 使使 AB = = BA = = E那么那么, 称方阵称方阵 A 为为可逆的可逆的, 并称并称 B 为为 A 的逆矩阵的逆矩阵.v定理定理 设设 A, B 为为 n 阶方阵阶方阵, 若

5、若 AB = = E, 则则 A, B 可逆可逆, 且有且有11,.AB BA = = =一、内一、内 容容 提提 要要 上页下页结束返回首页v逆矩阵的性质逆矩阵的性质 设设 A, B 为为 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵, 则有则有11(1)|;|AA = =11(2)();AA = =111(3)()(0);kAkAk = = 111(4)();ABBA = =T11 T(5)()() ;AA = =111(6)()().|AAAA =一、内一、内 容容 提提 要要 上页下页结束返回首页v分块对角阵的性质分块对角阵的性质1diag(,).sAAA= =1(1)|;sAAA= =(3) A 可逆的

6、充分必要条件是可逆的充分必要条件是 Ai(i=1,s)都可逆都可逆, 且有且有1111diag(,)sAAA = =一、内一、内 容容 提提 要要 1(2)diag(,);nsAAA= = 设设 Ai(i= =1,s)都是方阵都是方阵, 设设 A, B 都是方阵都是方阵, 则有则有| |AAOABOBB = 上页下页结束返回首页 矩阵矩阵 A 与与 B 行等价的充要条件是行等价的充要条件是: 存在可逆矩阵存在可逆矩阵 P, 使使 B = = PA. 矩阵矩阵 A 与与 B 列等价的充要条件是列等价的充要条件是: 存在可逆矩阵存在可逆矩阵 Q, 使使 B = = AQ. 具体地有具体地有( ,)

7、(,),rPEPAAcQQAAE一、内一、内 容容 提提 要要 v等价矩阵等价矩阵 如果矩阵如果矩阵 A 经过有限次初等经过有限次初等(行行, 列列)变换变换, 化为矩化为矩阵阵 B, 就称矩阵就称矩阵 A 与与 B (行行, 列列)等价等价, 记为记为 AB.上页下页结束返回首页v行最简形矩阵行最简形矩阵 1 2(0)ra aa v行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 一、内一、内 容容 提提 要要 12000000000000raaa000000000000012000000000000raaa00000000000001110000上页下页结束返回首页v矩阵的秩矩阵的秩 一、内一、内 容容 提提 要

8、要 如果矩阵如果矩阵 A 的等价标准形为的等价标准形为 rEOFOO = = 那么称那么称 F 中单位阵的阶数中单位阵的阶数 r 为矩阵为矩阵 A 的秩的秩, 记为记为 R(A). 性质性质1 等价矩阵有相等的秩等价矩阵有相等的秩.性质性质2 性质性质4 ()min, .m nR Am n 性质性质3 n 阶方阵阶方阵 A 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 R(A) = = n. 行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.性质性质5 T()( ).R AR A= =上页下页结束返回首页v矩阵的秩矩阵的秩 一、内一、内 容容 提提 要要 如果矩阵如果矩阵 A 的等价标

9、准形为的等价标准形为 rEOFOO = = 那么称那么称 F 中单位阵的阶数中单位阵的阶数 r 为矩阵为矩阵 A 的秩的秩, 记为记为 R(A). 性质性质7 性质性质8 性质性质9 ()( )( ).R ABR AR B ()min (),().R ABR A R B 若若 ,nnmlABO = =则则 ( )( ).R AR Bn性质性质6 1234().iAAR ARAA 上页下页结束返回首页 逆矩阵的初等变换求法逆矩阵的初等变换求法1()()rA EE A v矩阵初等变换的应用矩阵初等变换的应用 线性方程组的最简形解法线性方程组的最简形解法 将线性方程组的增广矩阵化为行最简形将线性方程

10、组的增广矩阵化为行最简形, 写出同解写出同解方程组方程组, 解便一目了然解便一目了然. 矩阵方程矩阵方程 AX = = B, XA = = B 的初等变换解法的初等变换解法1()()rA BA BE 1cEABBA 一、内一、内 容容 提提 要要 上页下页结束返回首页(1) 当当 R(A, b) R(A) 时时, 方程组无解方程组无解;(2) 当当 R(A, b)= =R(A) = = n 时时, 方程组有唯一解方程组有唯一解; (3) 当当 R(A, b)= =R(A) n 时时, 方程组有无穷多解方程组有无穷多解. 设设 n 元线性方程组元线性方程组 Ax = = b. n 元方程组元方程

11、组 Ax = = 0 有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是 R(A) r, 则向量组则向量组 b1, bs 线性相关线性相关. 设向量设向量 b1, , bs 可由向量组可由向量组 a1, ar 线性表示线性表示, 定理定理 设向量组设向量组 线性无关线性无关, 1,raa若若 线性相关线性相关,1,raa b则向量则向量 b 可由可由 线性表示线性表示.1,raa而而 x x1 1, , , , x xn r 线性无关线性无关,所以所以 h h, , h h x x1 1, , , , h h x xn r 线性无关线性无关. 因因 x x1 1, , , , x xn r 的线性组合也

12、是的线性组合也是 Ax = = 0 的解的解, h h 不可由不可由 x x1 1, , , , x xn r 线性表示线性表示, 证证2 由定理知由定理知h h, x x1, x xn r 线性无关线性无关, 从而从而1( ,)1n rRnrh h x xx x = = 易知易知 h h, h h x x1, , h h x xn r 与与 h h, x x1, x xn r 等价等价, 因此因此1( ,)1n rRnrh h x xx x = = = 1( ,)n rRh h h hx xh hx x 所以所以例例11 设设x x1, , x xn r 是是 Ax = = 0 的一个基础解

13、系的一个基础解系, 而而h h不不是是 Ax = = 0 的解的解, 证明证明 h h, h h x x1, , h h x xn r 线性无关线性无关. 知识点上页下页结束返回首页()()R ABR B= =证证1 例例12 设设 m n 矩阵矩阵 A 的秩的秩 R(A) = = n, 证明证明 于是存在于是存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P, 使使 A = = PF. 因此因此()()R ABR PFB= =因因 R(A) = = n, 可知可知 A 的等价标准形为的等价标准形为BRO= =( )R B= =nEFO= =()R FB= =(也是行最简形也是行最简形)知识点上页下页结束返回

14、首页()()R ABR B= =证证2 若若 x 满足满足 Bx = = 0, 则有则有 A(Bx) = = 0, 即即 (AB)x = = 0;若若 x 满足满足 (AB)x = = 0, 则有则有 A(Bx) = = 0, 因为因为 R(A) = = n, 综上可知综上可知 (AB)x = = 0 与与 Bx = = 0 同解同解, 所以所以 Bx = = 0.()()dim( )R ABR BnS= = = 设解空间为设解空间为 S, 则有则有 n 元方程组元方程组 Ax = = 0 有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是 R(A) n. n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax =

15、 = 0 的基础解系为解空间的基础解系为解空间S 的的一个基一个基, dim S = = n R(A).例例12 设设 m n 矩阵矩阵 A 的秩的秩 R(A) = = n, 证明证明 上页下页结束返回首页解解 1234(,)a a a a1013 01220000 例例13 设设12341237(,)12372108a aaa= = (1) 求求(2) 说明说明 a1, a2 和和 a3, a4 为为V 的两个基的两个基, 并求从基并求从基 a1, a2 到基到基 a3, a4 的过渡矩阵的过渡矩阵.1234dim,:(,);V VL a a a a= =dim(,)VR=12342a a

16、a a(,)(,),RR=12342a aa a易知易知故故a1,a2 和和a3,a4都是都是V 的基的基.从基从基 a1, a2 到基到基 a3, a4 的过渡矩阵为的过渡矩阵为13.22= = P1237 00000366 知识点上页下页结束返回首页2222|2(| )ababab = = 证明证明 例例14 设设 a, b 为为 n 维维(列列)向量向量, 证明证明 并说明其几何意义并说明其几何意义. 2T|() ()ababab = = TT()()abab= = TTTTa aa bb ab b= = 22|2 , |aa bb=以以 b 代换代换 b, 得得 2|ab=22|2 ,

17、 |aa bb 因此因此 2222|2(| )ababab = = 其几何意义是其几何意义是: 平行四边形两对角线的平方和等于四边的平方和平行四边形两对角线的平方和等于四边的平方和.baBACOOCab= = BAab=上页下页结束返回首页0111101111011110A = = 解解 方阵方阵 A 的特征多项式为的特征多项式为111111|111111EA = = l ll ll ll ll l例例15 求方阵求方阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.2011101010011111= =lllllllllllllll l3111(1) 101011 = = l ll l3111(1)

18、012003 = = l llllll l3(1) (3)= = l ll l方阵方阵 A 的特征值为的特征值为12343,1.= = = = = =l ll ll ll l上页下页结束返回首页解解0111101111011110A = = 例例15 求方阵求方阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.当当 l l1 = = 3 时时, 解方程组解方程组 ( 3). 0EA x = =由由 31111311311311113EA=1113131111313111111304040044044810120101004400441001010100110000 得基础解系得基础解系T1(1, 1,

19、1,1) ,p =方阵方阵 A 对应于对应于 l l1 = = 3 的全部特征向量为的全部特征向量为111(0).k pk 上页下页结束返回首页解解0111101111011110A = = 例例15 求方阵求方阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.当当 l l2 = = l l3 3 = = l l4 4 = = 1 时时, 解方程组解方程组 ()0.EA x=由由 1111111111111111EA = = 1111000000000000得基础解系得基础解系211,00p = = 310,10p = = 410,01p = =方阵方阵 A 对应于对应于 l l2 = = l l3 3

20、 = = l l4 4 = = 1 的全部特征向量为的全部特征向量为223344k pk pk p ( k2, k3, k4 不同时为零不同时为零)上页下页结束返回首页20002000Bb= =111242 ,33Aa = = 解解例例16 设矩阵设矩阵 A 与与 B 相似相似, 其中其中(1) 因因 A 与对角阵与对角阵 B 相似相似, 知知 A 的特征值为的特征值为 2, 2, b.由特征值的性质得由特征值的性质得111|24233Aa =6(1)a= = 4b= =tr( )5Aa= = 4b= = 求得求得5,a = =6.b = =知识点(1) 求常数求常数 a, b; (2) 求可

21、逆矩阵求可逆矩阵 P, 使使 P 1AP = = B. (3) 求求 An.上页下页结束返回首页111242 ,33Aa = = 20002000Bb= =解解例例16 设矩阵设矩阵 A 与与 B 相似相似, 其中其中(1) 求常数求常数 a, b; (2) 求可逆矩阵求可逆矩阵 P, 使使 P 1AP = = B. (3) 求求 An.T1( 1,1,0) ,p = = (2) 当当 l l = = 2 时时, 解方程组解方程组 (2E A)x = = 0, 得基础解系得基础解系当当 l l = = 6 时时, 解方程组解方程组 (6E A)x = = 0, 得基础解系得基础解系T2(1,0

22、,1)p = =T3(1, 2,3)p = = 取可逆矩阵取可逆矩阵123111(,)102013Pppp = = = 则有则有 P 1AP = = B.知识点上页下页结束返回首页111242 ,33Aa = = 20002000Bb= =解解例例16 设矩阵设矩阵 A 与与 B 相似相似, 其中其中(1) 求常数求常数 a, b; (2) 求可逆矩阵求可逆矩阵 P, 使使 P 1AP = = B. (3) 求求 An.222331111P = = (3) A = = PBP 1, An = = PBnP 1. |1 2( 1) ( 3)1 14P = = = = 122211331|4111

23、PPP = = = 上页下页结束返回首页111242 ,33Aa = = 20002000Bb= =解解例例16 设矩阵设矩阵 A 与与 B 相似相似, 其中其中(1) 求常数求常数 a, b; (2) 求可逆矩阵求可逆矩阵 P, 使使 P 1AP = = B. (3) 求求 An.(3) A = = PBP 1, An = = PBnP 1. 20011122211020203314013111006nnnnA = = 211135311322(13 )2(31)2(31)333331nnnnnnnnnn = = 上页下页结束返回首页证明证明例例17 设设 A, B为为n阶矩阵阶矩阵, l l 为为AB的非零特征值的非零特征值, 证明证明l l 也也为为 BA 的特征值的特征值.存在非零向量存在非零向量 p, 使使 ABp = = l l p. 于是于是()()()()= = = =BA BpB ABpBpBpl ll l由由 l l 0, , p 0, 可知可知 Bp 0.(而而 Bp 为对应的特征向量为对应的特征向量)因此因此 l l 为为 BA 的特征值的特征值.上页下页结束返回首页例例18 设矩阵设矩阵求求 a 的值的