第四章向量组的线性相关性

1、第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1.线性表示线性表示2.线性相关性线性相关性3.向量组的秩，最大无关组向量组的秩，最大无关组4.线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构可到以下公共邮箱下载课件：可到以下公共邮箱下载课件：密码：密码：2013la 定义定义: 给定向量组给定向量组A: 1, 2, , m, 对于任何一组对于任何一组实数实数k1, k2, ,km, 向量向量k1 1 + k2 2 + + km m称为称为向量组向量组A: 1, 2, m一个一个线性组合线性组合, k1, k2, ,km称为这个称为这个线性组合的线性组合的系数系数. 给定向量组给定向量组A: 1,

2、2, , m和和向量向量b, 如果存在一如果存在一组数组数 1, 2, , m, 使使b = 1 1 + 2 2 + + m m则向量则向量b是向量组是向量组A的线性组合的线性组合, 这时称向量这时称向量b能由向能由向量组量组A线性表示线性表示. 定理定理1: 向量向量b能由向量组能由向量组A线性表示的充分必要线性表示的充分必要条件是矩阵条件是矩阵A=( 1, 2, , m)与与B=( 1, 2, , m, b)的的秩相等秩相等. 定义定义: 设有两设有两向量组向量组A: 1, 2, , m 与与 B: 1, 2, , s .若若B组中的每一个向量都能由组中的每一个向量都能由A组线性表示组线性

3、表示, 则称则称向量向量组组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示; 若向量组若向量组B与向量组与向量组A可可以相互线性表示以相互线性表示, 则称这则称这两个向量组等价两个向量组等价. 定理定理2: 向量组向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, m线性表示的充分必要条件是线性表示的充分必要条件是矩阵矩阵A=( 1, 2, , m)的秩与矩阵的秩与矩阵(A|B)=( 1, 2, , m, 1, , s)的秩相的秩相等等, 即即R(A)=R(A|B). 推论推论: 向量组向量组A与与向量组向量组B等价的等价的充分必要条件是充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A|B)

4、. 定理定理3: 若若向量组向量组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示, 则则R(B) R(A). (必要条件必要条件) 定义定义: 给定向量组给定向量组A: 1, 2, , m , 如果存在不全如果存在不全为零的数为零的数 k1, k2, ,km , 使使k1 1 + k2 2 + + km m = O则称向量组则称向量组A是是线性相关线性相关的的, 否则称它是否则称它是线性无关线性无关. 定理定理4: 向量组向量组 1, 2, , m线性相关的充分必要线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵条件是它所构成的矩阵A=( 1, 2, , m)的秩小于向的秩小于向量个数量个数m; 向量组线性无

5、关的充分必要条件是向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m. 定理定理5: (1)若向量组若向量组A: 1, 2, , m线性相关线性相关, 则则向量组向量组B: 1, 2, , m, m+1也线性相关也线性相关; 反言之反言之, 若若向量组向量组B线性无关线性无关, 则向量组则向量组A也线性无关也线性无关. 结论结论: 向量组向量组 1, 2, , m (当当 m 2 时时)线性相关线性相关的的充分必要条件充分必要条件是是 1, 2, , m中中至少有一个至少有一个向量可向量可由其余由其余 m1个向量线性表示个向量线性表示.部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关。部分相关，则整体相关；

6、整体无关，则部分无关。 (3) 设向量组设向量组A: 1, 2, , m线性无关线性无关, 而向量组而向量组B: 1, 2, , m, 线性相关线性相关, 则向量则向量 必能由向量组必能由向量组A线性表示线性表示, 且表示式是唯一的且表示式是唯一的.即即 j 添上一个分量后得向量添上一个分量后得向量 j. 若向量组若向量组A: 1, 2, , m线性无关线性无关, 则向量组则向量组B: 1, 2, , m也线性无关也线性无关; 反反言之言之, 若向量组若向量组B线性相关线性相关, 则向量组则向量组A也线性相关也线性相关.), 2 , 1(, 12121mjaaaaaaajrrjjjjrjjjj

7、 (4)设设 (2) m个个n维向量组成的向量组当维数维向量组成的向量组当维数n小于向量小于向量个数个数m时一定线性相关时一定线性相关 定义定义: 设有向量组设有向量组A, 如果在如果在A中能选出中能选出r 个向量个向量 A0: 1, 2, r, 满足满足 (1)向量组向量组A0: 1, 2, r, 线性无关线性无关; (2)向量组向量组A中任意中任意r+1个向量个向量(如果存在的话如果存在的话)都线都线性相关性相关. 那末称向量组那末称向量组A0是向量组是向量组A的一个的一个最大线性最大线性无关向量组无关向量组(简称简称最大无关组最大无关组). 最大无关组所含向量个数最大无关组所含向量个数r

8、 称为称为向量组的秩向量组的秩.向量组秩的计算方法：写成矩阵形式，求矩阵的秩！向量组秩的计算方法：写成矩阵形式，求矩阵的秩！ 定理定理6: 矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于也等于它的行向量组的秩它的行向量组的秩.求向量组的最大无关组：求向量组的最大无关组：1.变行阶梯形矩阵，找最变行阶梯形矩阵，找最大无关组，大无关组，2.变行最简形矩阵，用最大无关组表示变行最简形矩阵，用最大无关组表示其他向量。其他向量。向量方程向量方程; 解向量解向量.解向量的性质解向量的性质 (1) 若若x = 1, x = 2为为Ax = 0的解的解, 则则 x = 1 + 2也是也是A

9、x = 0的解的解. (2) 若若x = 1为为Ax = 0的解的解, k为数为数, 则则 x = k 1也是也是Ax = 0的解的解.由以上两个性质可知由以上两个性质可知, 方程组的全体解向量所组方程组的全体解向量所组成的集合成的集合, 对于加法和数乘运算是封闭的对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一因此构成一个个向量空间向量空间, 称此向量空间为齐次线性方程组称此向量空间为齐次线性方程组 Ax = 0的的解空间解空间. 定义定义: 如果向量组如果向量组 1, 2, , t 为齐次线性方程组为齐次线性方程组Ax = 0的的解空间解空间的一组的一组基基, 则向量组则向量组 1, 2, , t

10、 称为称为齐次线性方程组齐次线性方程组Ax = 0的的基础解系基础解系.方程组方程组Ax = 0的基础解系是不唯一的的基础解系是不唯一的. 定理定理: 设设m n矩阵矩阵A的秩的秩R(A)=r，则，则n元齐次线性元齐次线性方程组方程组 Ax = 0 解集解集S的秩的秩RS= nr . 当当R(A)=n时时, 方程组方程组Ax = 0只有零解只有零解, 故没有基础故没有基础解系解系(此时解空间只含一个零向量此时解空间只含一个零向量, 为为0维向量空间维向量空间). 当当R(A)=r n时时, 方程组方程组Ax=0必有含必有含nr个向量的个向量的基础解系基础解系 1, 2, , n-r . 此时的

11、任意解可表示为此时的任意解可表示为:x = k1 1 + k2 2 + + kn-r n-r其中其中k1, k2, , kn-r为任意常数为任意常数.求齐次线性方程组的基础解系求齐次线性方程组的基础解系 000000001001,1, 111rnrrrnbbbbA1. 用初等行变换将系数矩阵用初等行变换将系数矩阵A化为最简行阶梯形化为最简行阶梯形:;,2, 1222122121111 rnrrnrnrnrrbbbbbbbbb 2. 将第将第r+1, r+2, , n列的前列的前r个分量反号个分量反号, 得解得解 1, 2, , n-r的前的前r个分量个分量:.100,010,001,2, 12

12、22122121111 rnrrnrnrnrrbbbbbbbbb 3. 将其余将其余nr个分量依次组成个分量依次组成 nr 阶单位矩阵阶单位矩阵, 于于是得齐次线性方程组的一个是得齐次线性方程组的一个基础解系基础解系: (1) 设设 x= 1 及及 x= 2 都是方程组都是方程组 Ax=b 的解的解, 则则 x= 1 2为对应齐次方程组为对应齐次方程组Ax=0的解的解. (2) 设设 x= 是方程组是方程组 Ax=b 的解的解, x= 是方程组是方程组 Ax=0 的解的解, 则则 x= + 仍仍为方程组为方程组 Ax=b 的解的解.解向量的性质解向量的性质求非齐次线性方程组的特解求非齐次线性方

13、程组的特解用初等行变换将增广矩阵用初等行变换将增广矩阵B化为最简行阶梯形化为最简行阶梯形:11,11,22,12,1,100010,001000000000000n rn rrrr n rdddbbbbbb 齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0的基础解系的基础解系 1, 2, , n-r和非和非齐次齐次线性方程组线性方程组Ax=b的一个特解的一个特解: *=(d1, d2, , dr , 0, , 0)T.非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为:x = k1 1 + k2 2 + + kn-r n-r + *. 如无特殊要求，建议用第三章的方法求解线性方程组！如无特殊要求，建

14、议用第三章的方法求解线性方程组！方法方法1. 从定义出发从定义出发令令 k1 1 + k2 2 + + km m = 0, 即即 若只有零解若只有零解, 则则 1, 2, , m线性无关线性无关; 否则否则, 1, 2, , m线性相关线性相关.方法方法2. 利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系 给出一组给出一组n维向量维向量 1, 2, , m, 就得到一个相应就得到一个相应的矩阵的矩阵A=( 1, 2, , m), 求求R(A), 则则 若若R(A)=m, 则则 1, 2, , m线性无关线性无关; 若若R(A)m, 则则 1, 2, , m线性相关线性相关

15、.利用相关定理利用相关定理(秩的相关性质秩的相关性质)九、九、(12(12分分) )设设,2121211rr 且向量组且向量组 线性无关，证明向量组线性无关，证明向量组线性无关。线性无关。r ,21r ,212009期末考题期末考题(II) 课后题课后题10.2008期末考题期末考题(II)八、八、(6分分)已知向量组已知向量组 1, 2, , s(s 2)线性无关线性无关, 向量组向量组 1 = 1 + 2, 2 = 2 + 3, , s = s + 1, 试讨论试讨论 1, 2, , s的线性相关性的线性相关性.当当s为奇数时为奇数时, 向量组向量组 1, 2, , s线性无关线性无关.

16、当当s为偶数时为偶数时, 向量组向量组 1, 2, , s线性相关线性相关. 提示：提示：可用方法可用方法1 1和方法和方法2 2证明！证明！提示：提示：可用方法可用方法2 2证明！证明！线线性性无无关关；）（线线性性无无关关；）（线线性性无无关关；）（线线性性无无关关；）（）线线性性无无关关，则则向向量量组组（、设设向向量量组组32132212132132132132211332213212,32 ,24,32 ,2,1 DCBAD2011期选考题期选考题课后题课后题9设设,144433322211aabaabaabaab 4321,bbbb证明向量组证明向量组 线性相关线性相关.2设设A=

17、(aij)m n，若，若mn, 则（则（ ）(A)A的行向量组线性相关的行向量组线性相关; (B) A的列向量组线性相关的列向量组线性相关;(C)A的行向量组线性无关的行向量组线性无关; (D)A的列向量组线性无关的列向量组线性无关.2008期末考题期末考题(I)1设设 1=( t, 1, 1)T, 2=(1, t, 1)T, 3=(1, 1, t)T, t是是( )时时, 1, 2, 3线性相关线性相关.2008期选考题期选考题2或或-1B求一个向量组的秩求一个向量组的秩, 转化为求矩阵的秩，转化为求矩阵的秩，通过做通过做行初等变换行初等变换变为变为行阶梯形行阶梯形矩阵，求出最大线性无关组；

18、矩阵，求出最大线性无关组；进一步变为进一步变为行最简形行最简形矩阵可以求出其他向量的最大无矩阵可以求出其他向量的最大无关组表示。关组表示。 关组线性表出。向量用这个极大线性无余大线性无关组，并将其求向量组的秩及一个最，）（）（）（）（）（设向量组分六、T5T4T3T2T110, 5 , 2 , 1,0 , 2 , 1 , 2-,14, 7 , 3 , 0,2 , 1 , 0 , 3,4 , 2 , 1 , 1-)12( 2011年期末考试题年期末考试题21521342123, ，线性表示，答案：极大无关组：四、（四、（8 8分分) ) 设向量设向量),2, 1, 1 , 1(1 ),1 , 3

19、, 2 , 5(2 ),3 , 2, 1 , 4(3 ),2 , 1, 4 , 3(4 （1 1）求向量组）求向量组 的秩的秩；4321, （2 2）试问：该向量组是线性相关，还是线性无关？）试问：该向量组是线性相关，还是线性无关？（3 3）求向量组的一个极大无关组）求向量组的一个极大无关组。2009期末考题期末考题(II)3线性相关421, 线性表出。用这个极大线性无关组无关组，并将其余向量最大线性，求向量组的秩及一个）（）（）（）（）（设向量组分六、T5T4T3T2T11, 3 , 1, 1,4 , 1, 5 , 2,0 , 3 , 1 , 2,1 , 0 , 2 , 1,1 , 2 ,

20、0 , 1)12( 3253214321,3, 最大无关组：2011年选考题年选考题.?p)p,10, 6, 2()2p, 1, 2 , 3()1 , 5 , 3, 1()3 , 1 , 1 , 1()10.(T4T3T2T1个极大无关组并在此时求它的秩和一性相关为何值时，该向量组线，问，设向量组分四 321,:3, 2p ，极大无关组秩为答案：2012年选考题年选考题一个最大无关组。求该向量组的秩，并求，已知向量组分四T3T2T1)7, 4, 3, 1()6 , 5, 1, 4()3 , 1 , 2 , 1()10.( 321,:3 ，极大无关组秩为答案：2012年期末考试题年期末考试题2、

21、设向量组、设向量组 10512,0221,14703,2130,421154321 则该向量组的最大线性无关组为（则该向量组的最大线性无关组为（ ） 1, 2, 3 ; B. 1, 2, 4 ; C. 1, 2, 5 ; D. 1, 2, 4 , 5;B2010选考题选考题B3.设向量组设向量组 1=(1,-1,2,4), 2=(0,3,1,2), 3=(3,0,7,14) 4=(1,-2,2,0), 5=(2,1,5,10),则该向量组的最大线性无则该向量组的最大线性无关组为（关组为（ ） 1, 2, 3 ; B. 1, 2, 4 ; C. 1, 2, 5 ; D. 1, 2, 4 , 5;

22、2010期末考题期末考题(I)相同的相同的2.已知向量组已知向量组 所生成的所生成的 向量空间的维数是向量空间的维数是2，则，则k=_)k, 1 , 2 , 3(),4 , 4 , 3 , 2(),1 , 1 , 1 , 1(321 2010期末考题期末考题(II)-13.3.一个向量组可能有多个极大无关组，它们所含向量的个一个向量组可能有多个极大无关组，它们所含向量的个数是数是 2009期末考题期末考题2 2、已知向量组已知向量组 1=(1,2,-1,1), 2=(2,0,t,0), 3=(0,-4,5,-2)的秩为的秩为2,则则t= .32010期末考题期末考题(I)-32 2、已知向量组

23、已知向量组 1=(1,4,3)T, 2=(2,t,-1)T, 3=(-2,3,1)T的秩为的秩为2,则则t= .2010选考选考(I) 104743,012323,00414521* 答案：答案： 0895443313)12.(432143214321xxxxxxxxxxxx：齐次方程组的基础解系齐次方程组的基础解系一个解及对应的一个解及对应的求下列非齐次方程组的求下列非齐次方程组的分分四四2010选考题选考题 002120110719214321ccxxxx答答案案： 6242163511325)12.(432143214321xxxxxxxxxxxx通通解解：求求下下列列非非齐齐次次方方程

24、程组组的的分分四四2010期末考题期末考题(I)提示提示：利用非齐次线性方程组解的性质：利用非齐次线性方程组解的性质课后题课后题30.2,),(43213214324321的通解，求方程组，向量线性无关，其中设矩阵bAxaaaabaaaaaaaaaaA 2008年期末考题年期末考题(I) 11110121cx- -答案：七七、(8分分)设设n阶矩阵阶矩阵A的行列式的行列式|A|= 0 0, 且有某一元素且有某一元素akl代数余子式代数余子式Akl 0,证明齐次线性方程组证明齐次线性方程组Ax=0的通解为的通解为 x=c(Ak1, Ak2 , Akl , Akn )T。证明：证明：由由Akl 0

25、 及及|A|= 0 0得得r(A) =n-1,齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0的基的基础解系只含有一个线性无关的向量。由础解系只含有一个线性无关的向量。由AA*=0可知可知A*的列向的列向量为量为Ax=0的解向量，的解向量， =(Ak1, Ak2 , Akl , Akn )T为为A*的第的第k个列向量，且非零，即个列向量，且非零，即 为为Ax=0 的一个非零解向量的一个非零解向量。即可证。即可证得结论。得结论。2010年期末考题年期末考题课后题课后题27.432154323321321求该方程组的通解，是它的三个解向量，且，已知组的系数矩阵秩为设四元非齐次线性方程 提示提示：利用非齐次线性方程组解的性质：利用非齐次线性方程组解的性质 543