材料力学第7章-弯曲刚度_712601424

1、返回返回返回总目录返回总目录xCx在平面弯曲的情形下，梁上的在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕中性轴任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲轴线弯曲成平面曲线，这一曲线 称 为 梁 的 挠 度 曲 线线 称 为 梁 的 挠 度 曲 线（deflection curve）。）。 MeMe xw xC弯曲后轴线的曲率中心MeMeCMeMe xw xC弯曲后轴线的曲率中心C xx xxw(x)wMeMe弯曲后轴线的曲率中心根据上一章所得到的结果，根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与

2、这一点处横一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：之间存在下列关系： EIM1 xx xxw(x)wMeMe弯曲后轴线的曲率中心MeMe xwCC横截面形心处的铅垂位移，横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（称为挠度（deflectiondeflection），用），用w w表示；表示；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角（转角（slopeslope），用），用 表示；表示；横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移（ho

3、rizontal displacementhorizontal displacement），用），用u u表示。表示。在在Oxw坐标系中，挠度与转角存坐标系中，挠度与转角存在下列关系：在下列关系： 在小变形条件下，挠度曲线较在小变形条件下，挠度曲线较为平坦，即为平坦，即 很小，因而上式中很小，因而上式中tan。于是有。于是有tanddxwxwddw w（x），），称为挠度方程称为挠度方程（deflection equation）。）。 xxxw(x)wMeMe x返回返回返回总目录返回总目录 x xx弯曲后轴线的曲率中心 x xx弯曲后轴线的曲率中心EIMxw22ddEIMxw22dd00dd

4、22Mxw,00dd22Mxw, 采用向下的采用向下的w坐标系，有坐标系，有EIMxw22dd在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：零：w=0; ; 小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定 BAFPC4lEI34lxww=0w=0ABql 小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定 在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，0。w=0=0 小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定 BAFPC4lEI34lxw连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其

5、轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：两侧的挠度、转角对应相等：w1= w2，12等等。等等。 w1=w21= 2梁的弯曲挠度与转角梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最方程，以及最大挠度和最大转角。大转角。 左端固定、右端左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为载荷。均布载荷集度为q ，梁的弯曲刚度为，梁的弯曲刚度为EI 、长度为长度为l。q、EI 、l均已均已知。知。ABql建立建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分坐标系（如

6、图所示）。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。即无需分段。 ABqlOxw从坐标为从坐标为x x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力，考虑截面的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：得到弯矩方程： 21( )02M xq lxxl ABqlOxwM（x）FQlxx21( )02M xq lxxl 将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得将上述弯矩方程代入小挠

7、度微分方程，得 212EIwMq lx ABqlOxw积分后，得到积分后，得到 212EIwMq lx 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxDABqlOxw固定端处的约束条件为：固定端处的约束条件为： 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD00 xw，d00dwxx， =33,624qlCqlD ABqlOxw316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD33,624qlCqlD 336qlxlEI 434424qwlxl xlEI336qlxlEI 434424qwlxl xlEI将将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：分别代入挠度方

8、程与转角方程，得到： 3max6BqlEI4max8BqlwwEIxOqwABlwmaxmax加力点加力点B的挠度和支承的挠度和支承A、C处的转角。处的转角。简支梁受力如图所示。简支梁受力如图所示。FP、EI、l均为已知。均为已知。BAFPC4lEI34l因为因为B B处作用有集中力处作用有集中力F FP P，所以需要分为，所以需要分为ABAB和和BCBC两段建立弯两段建立弯矩方程。矩方程。首先，应用静力学方法求得梁首先，应用静力学方法求得梁在支承在支承A A、C C二处的约束力分别二处的约束力分别如图中所示。如图中所示。 在图示坐标系中，为确定梁在在图示坐标系中，为确定梁在0 0l l/4/

9、4范围内各截面上的弯矩，范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端只需要考虑左端A A处的约束力处的约束力3 3F FP P/4/4；而确定梁在；而确定梁在l l/4/4l l范围范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A A处的约束力处的约束力3 3F FP P/4/4和荷和荷载载F FP P。BAFPC4lEI34lP34FP14F 于是，于是，ABAB和和BCBC两段的弯矩方程分别为两段的弯矩方程分别为 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxlBAFPCP34FP14F3 / 4l/ 4lEIOw 211P2d30d44wlEIMxF xxx

10、 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlxBAFPCP34FP14F3 / 4l/ 4lEIOw积分后，得积分后，得 12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw332PP2211864lEIwF xFxxCDBAFPCP34FP14F3 / 4l/ 4lEIOw21P2d30d44wlEIF xxx 22PP2d3d444wllEIF xFxxlxx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ， 1 1= = 2积分后，得积分后，得 12P183CxFEI2

11、2P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw332PP22118644lEIwF xFxCDlxBAFPCP34FP14F3 / 4l/ 4lEIOw21P2d30d44wlEIF xxx 22PP2d3d444wllEIF xFxxlxx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ， 1 1= = 2 在支座在支座A A、C C两处挠度应为零，即两处挠度应为零，即x0， w10; xl， w20 因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以ABAB段与段与BCBC段段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即梁交界处的挠度和转

12、角必须分别相等，即 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 2BAFPOwCP34FP14F3 /4l/4lwBCAEI12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIwx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 2D1D2 =02P211287lFCC 将所得的积分常数代入将所得的积分常数代入后后, ,得到梁的转角和挠度方得到梁的转角和挠度方程为：程为： 22P378128FxxlEI xlxEIFxw23P128781 222P317824128Flx

13、xxlEI xllxxEIFxw233P128746181据此，可以算得加力点据此，可以算得加力点B B处的挠度和支承处处的挠度和支承处A A和和C C的转角分别为的转角分别为 EIlFwB3P25632P7128AF lEI2P5128BF lEIBAFPOwCP34FP14F3 /4l/4lwBCAEIM0ACBll 确定约束力确定约束力, ,判断是否需要分段以及分几段判断是否需要分段以及分几段 分段建立挠度微分方程分段建立挠度微分方程 微分方程的积分微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度挠度与转角方程

14、以及指定截面的挠度 与转角与转角 分段写出弯矩方程分段写出弯矩方程返回返回返回总目录返回总目录 x xx弯曲后轴线的曲率中心简支梁受力如图所示，简支梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。均为已知。C截面的挠度截面的挠度wC ；B截面的转角截面的转角 B。BAFP=qlOwCEIl/2l/2qM=ql2321CCCCwwww1.1.将梁上的载荷变将梁上的载荷变为三种简单的情形。为三种简单的情形。123BBBBBAFP=qlxOwCEIl/2l/2qM=ql2wOBEIlqAwC1CB1wxOFPBACEIl/2l/2B2wC2wxOBACEIl/2l/2M=ql2B3wC32.2.由挠度表查得三

15、种情形由挠度表查得三种情形下下C C截面的挠度和截面的挠度和B B截面的转角截面的转角。415,384CqlwEI311,24BqlEI wOBEIlqAwC1CB1wxOFPBACEIl/2l/2B2wC2wxOBACEIl/2l/2M=ql2B3wC3421,48CqlwEI321,16BqlEI 43116CqlwEI 331,3BqlEI3. 3. 应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加作用时的结果分别叠加 将上述结果按代数值相加，分将上述结果按代数值相加，分别得到梁别得到梁C C截面的挠度和支座截面的挠度和支座B B处的转角处的转角: : ,EIqlwwiC

16、iC43138411EIqliBiB3314811BAFP=qlxOwCEIl/2l/2qM=ql2悬臂梁受力如图所示，悬臂梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。均为已知。C截面的挠度截面的挠度wC和转角和转角C。wCCCxOwABEIl/2l/2q1. 1. 首先，将梁上的首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形载荷变成有表可查的情形 为了利用挠度表中关为了利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端计算结果，计算自由端C C处处的挠度和转角，先将均布的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的了不改变原来载荷作用的效

17、果，在效果，在ABAB段还需再加上段还需再加上集度相同、方向相反的均集度相同、方向相反的均布载荷。布载荷。 CxOwABEIl/2l/2qqq分别画出这两种情形下分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。的挠度曲线大致形状。于是，由挠度表中关于于是，由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情计算结果，上述两种情形下自由端的挠度和转形下自由端的挠度和转角分别为角分别为 再将处理后的再将处理后的梁分解为简单载荷作用梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角载荷引起的挠度和转角 CxOwABEIl/2l/2qqqxwAClEIqOw

18、C11CxOwABCEIl/2l/2wB22BwC22C两种情形下自由端的挠度和两种情形下自由端的挠度和转角分别为转角分别为再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角各个简单载荷引起的挠度和转角414322218112128482,CCBBqlwEIlqlqllwwEIEI EIqlEIqlCC323148161,xwAClEIqOwC11CxOwABCEIl/2l/2wB22BwC22C将简单载荷作用将简单载荷作用的结果叠加的结果叠加 ,EIqlwwiCiC42138441EIqliCiC321487xwAClEIqO

19、wC11CxOwABCEIl/2l/2wB22BwC22CCxOwABEIl/2l/2qql/2ql/2l/2ACBl/2l/2ACB111+2CBBlwwwC1C111CBq2l/4ql/2l/2ACBql/2q2l/8l/2l/2ACBwC2C2wC1C1121212+CCCCCCBCwww逐段刚化法逐段刚化法应用于弹性支承与简单刚架应用于弹性支承与简单刚架用用叠加法求叠加法求AB梁上梁上E E处的处的挠度挠度 w wE EwE 1wE 2BwB=?wE = wE 1+ wE 2= wE 1+ wB/ 2xyzOyzOFPFPFPyFPzFPyFPzwwwywywzwzxyzOyzOFPF

20、PFPyFPzFPyFPzwwwywywzwz22ddwMxEI 弯矩方程的奇异函数表示弯矩方程的奇异函数表示1q2qP1FP2FP3FM1M2集中力偶作用的情形集中力偶作用的情形1q2qP1FP2FP3FM1M2弯矩方程的奇异函数表示弯矩方程的奇异函数表示集中力作用的情形集中力作用的情形j1PP()jjjM FFxb1q2qP1FP2FP3FM1M2弯矩方程的奇异函数表示弯矩方程的奇异函数表示均布力作用的情形均布力作用的情形21()2kkkM qxcq1q2qP1FP2FP3FM1M2弯矩方程的奇异函数表示弯矩方程的奇异函数表示一般情形一般情形例题例题用奇异函数确定加力点的挠度和支承处的转角

21、用奇异函数确定加力点的挠度和支承处的转角已知已知：FP、EI、l11PP3( )044lM xFxFx(0)xl问题问题: :为什么没有涉及集中为什么没有涉及集中载荷作用点的连续性条件载荷作用点的连续性条件? ?返回返回返回总目录返回总目录对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过

22、大会增加加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。轴承的磨损等等。 AClBdaFP max钢制圆轴，左端受力为钢制圆轴，左端受力为F FP P，F FP P20 kN20 kN，a al ml m，l l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承，其他尺寸如图所示。规定轴承B B处的许用转角处的许用转角 =0.5 =0.5。根据刚度要求确定该轴的直径根据刚度要求确定该轴的直径d d。 AClBdaFP根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承以保证轴承B B处的转角

23、不超过许用数值。为此，需按下列步处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。骤计算。EIlaFB3P由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B B处的转角为处的转角为 AClBdaFP由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B B处的转角为处的转角为 EIlaFB3P B根据设计要求，有根据设计要求，有 AClBdaFP根据设计要求，有根据设计要求，有 B其中，其中， 的单位为的单位为radrad（弧度），而（弧度），而 的单位为（的单位为（）（度），）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径考虑到单位的一致性，将有

24、关数据代入后，得到轴的直径 111mmm10111m100.52063101802120643-493dAClBdaFP返回返回返回总目录返回总目录lMA ABFAyFAxql ABMAFAyFAxFB3-3=04-3=1532633FBxMBBl AMAFAyFAxFByBl AMAFAyFAxFBxFByFBxBl AMAFAyFAxFByBl AMAFAyFByMBBl AMAFAyFAxFBxFByMBBl AMAMBBl AMAB AlFAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0Bl AMAFAyFAxFBwB=wB(q)+w

25、B(FBy)=0wB(q)wB(FBy)Bl AMAFAyFAxlB AMAFAyFAxFBFAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)= - Fbyl 3 /3EIBl AMAFAyFAxFB返回返回返回总目录返回总目录二梁的受力二梁的受力( (包括载荷与约束力包括载荷与约束力) )是否相同？是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的位移是否相同？二梁的位移是否相同？ 正确回答这些问题，有利于理解位移与变形之间的正确回答这些问题，有利于理解位移与变形之间的相互关系。相互关系。FPABC 试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状的挠度曲线的大致形状Bl AMBFByMAFAyBl AMAFAyMBFByBl Al AB