材料力学 第四章_5

1、梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作可写作 zWMmax 由拉、压许用应力由拉、压许用应力 t和和 c不相等的铸铁等脆不相等的铸铁等脆性材料制成的梁性材料制成的梁 t,max t c,max c 。第第四章四章 弯曲应力弯曲应力 图图a所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心C的位置，如图的位置，如图b所示。已知横截面对于中性轴所示。已知横截面对于中性轴z 的的惯性矩惯性矩Iz=5493104 mm4，b=2 m。铸铁的许用拉应。铸铁的许用拉应力力 t=30 MPa，许

2、用压应力，许用压应力 c=90 MPa 。试求梁。试求梁的许用荷载的许用荷载F。例题例题 4-11第第四章四章 弯曲应力弯曲应力1. 铸铁的拉压强度不等，其强度条件为铸铁的拉压强度不等，其强度条件为 t,max t ， c,max c。2. 由由M图可知，危险截面为图可知，危险截面为C截面。截面。3. B、C截面上正应力的分布规律如图截面上正应力的分布规律如图d所示。所示。862/1max, t zBIFb zCIFb 1344/1max, t 分析分析:Bmax, tmax, t Bmaxc,maxc,第第四章四章 弯曲应力弯曲应力1. 由由 t,max t 确定确定F。Pa1030m105

3、493)m1086)(m22/(648-3max, t F F119200N=19.2kN解解:Bmax, tmax, t Bmaxc,maxc,第第四章四章 弯曲应力弯曲应力F236893N=36.893kN2. 由由 c,max c 确定确定F。Pa1090m105493)m10134)(m22/(648-3maxc, F F=19.2kN，可见梁的强度由拉应力确定。，可见梁的强度由拉应力确定。第第四章四章 弯曲应力弯曲应力y1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力练习：练习： T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的t=30MPa，c=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm

4、， y2=88mm，Iz=763cm4，试画弯矩图并校核此梁的强度。kN5 .10;kN5 . 2BAFF)(kNm5 . 2下拉、上压CM（上拉、下压）kNm4BM画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmMend第第四章四章 弯曲应力弯曲应力校核强度MPa2 .2810763885 . 282 2zCtAIyMMPa2 .271076352481 3zBtAIyMMPa2 .461076388482 4 zBcAIyMLt2 .28max yc2 .46max y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmM第第四章四章 弯曲应力弯曲

5、应力4-5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件I. 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力(1) 横截面上各点处的切应力均与侧边平行；横截面上各点处的切应力均与侧边平行；(2) 横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。zyy从而对于狭长矩形截面可以假设：从而对于狭长矩形截面可以假设：第第四章四章 弯曲应力弯曲应力从发生横力弯曲的梁中取出长为从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图的微段，如图所示。所示。hbzyO第第四章四章 弯曲应力弯曲应力*111*1N*dddzzAzAzASIMAyIMAIMyAF 第第四章四

6、章 弯曲应力弯曲应力*112*N2dddd)d(d*zzAzAzASIMMAyIMMAyIMMAF 第第四章四章 弯曲应力弯曲应力式中，式中， 为面积为面积A*(图图b)对中性轴对中性轴z的静的静矩；矩； *d1*AzAyS第第四章四章 弯曲应力弯曲应力 0 xF*N1*N2SdFFF *SddzzSIMF 即即由于由于 ，故纵截面，故纵截面AA1B1B上有切向内力上有切向内力dFS(图图b)：*1N*2NFF 第第四章四章 弯曲应力弯曲应力xbFddS bISFbISxMzzzz*S*dd 得得第第四章四章 弯曲应力弯曲应力 根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距根据切应力互等定理可知，梁的

7、横截面上距中性轴中性轴z的距离为的距离为y处的切应力处的切应力 必与必与 互等，从互等，从而亦有而亦有bISFzz*S 第第四章四章 弯曲应力弯曲应力矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式FS为横截面上的剪力；为横截面上的剪力；Iz 为整个横截面对于中性轴的惯性矩为整个横截面对于中性轴的惯性矩b为矩形截面的宽度为矩形截面的宽度(与剪力与剪力FS垂直垂直的截面尺寸的截面尺寸)；Sz*为横截面上求切应力为横截面上求切应力 的点处横的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩。线以外部分面积对中性轴的静矩。 *d1*AzAySbISFzz*S zyy第第四章四章 弯曲应力弯曲应

8、力 222111*42dd*yhbybyAySAhyz 22S22S4242yhIFyhbbIFzz bhdy1yyzOy1第第四章四章 弯曲应力弯曲应力 AFbhFbhhFIhFz23231288SS32S2Smax 可见：可见： 1. 沿截面高度系按沿截面高度系按二次抛物线规律变化；二次抛物线规律变化； 2. 同一横截面上的最同一横截面上的最大切应力大切应力 max在中性轴在中性轴处处(y=0): 22S42yhIFz 第第四章四章 弯曲应力弯曲应力2. 工字形截面梁工字形截面梁 22*22222 222yhdhbyyhdyhhbSz (1) 腹板上的切应力腹板上的切应力dISFzz*S

9、其中其中第第四章四章 弯曲应力弯曲应力 可见腹板上的切应力在与中性轴可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向垂直的方向按二次抛物线规律变化。按二次抛物线规律变化。第第四章四章 弯曲应力弯曲应力(2) 在腹板与翼缘交界处：在腹板与翼缘交界处：在中性轴处：在中性轴处： hbdIFz2Smin 2S*max,Smax222 hdhbdIFdISFzzz第第四章四章 弯曲应力弯曲应力(3) 翼缘上的切应力翼缘上的切应力 翼缘横截面上平行于翼缘横截面上平行于剪力剪力FS的切应力在其上、的切应力在其上、下边缘处为零下边缘处为零( (因为翼缘的因为翼缘的上、下表面无切应力上、下表面无切应力) )，可，可见翼

10、缘横截面上其它各处见翼缘横截面上其它各处平行于平行于FS的切应力不可能的切应力不可能大，故不予考虑。分析表大，故不予考虑。分析表明，工字形截面梁的腹板明，工字形截面梁的腹板承担了整个横截面上剪力承担了整个横截面上剪力FS的的90%以上。以上。第第四章四章 弯曲应力弯曲应力 由由56a号工字钢制成的简支梁如图号工字钢制成的简支梁如图a所示，试所示，试求梁的横截面上的最大切应力求梁的横截面上的最大切应力 max和同一横截面上和同一横截面上腹板上腹板上a点处点处( (图图b) )的切应力的切应力 a 。不计梁的自重。不计梁的自重。例题例题 4-13第第四章四章 弯曲应力弯曲应力1. 求求 max 梁

11、的剪力图如图梁的剪力图如图c所示，由图可见所示，由图可见FS,max=75kN。由型钢表查得由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图号工字钢截面的尺寸如图b所示，所示，Iz=65 586 cm4和和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm解解:第第四章四章 弯曲应力弯曲应力 MPa6 .12Pa106 .12m105 .12m1073.47N10756323*max,max,S*max,max,Smax dSIFdISFzzzz 第第四章四章 弯曲应力弯曲应力dISFzzaa*max,S 其中：其中：33*mm109402mm212mm560mm21mm166 zaS于是有：

12、于是有： MPa6 . 8Pa106 . 8m105 .12m1065586m10940N10756348363 a 2. 求求 a和最大切应力相差不大。和最大切应力相差不大。第第四章四章 弯曲应力弯曲应力3. 薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面薄壁环形截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力内弯曲时，其横截面上切应力的特征如图的特征如图a所示：所示： (1) 由于由于d r0，故认为切应，故认为切应力力 的大小和方向沿壁厚的大小和方向沿壁厚 无变无变化；化； (2) 由于梁的内、外壁上无切由于梁的内、外壁上无切应力，故根据切应力互等定理应力，故根据切应力互等定理知，横截

13、面上切应力的方向与知，横截面上切应力的方向与圆周相切；圆周相切；第第四章四章 弯曲应力弯曲应力 (3) 根据与根据与y轴的对称关系轴的对称关系可知：可知： (a) 横截面上与横截面上与y轴相交的轴相交的各点处切应力为零；各点处切应力为零； (b) y轴两侧各点处的切应轴两侧各点处的切应力其大小及指向均与力其大小及指向均与y轴对轴对称。称。AFISFSz*zSmax22第第四章四章 弯曲应力弯曲应力(4) 圆截面梁圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲圆截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力的特征时，其横截面上切应力的特征如图如图a所示：认为离中性轴所示：认为离中性轴z为为任意距离任意距离y的水

14、平直线的水平直线kk上各上各点处的切应力均汇交于点处的切应力均汇交于k点和点和k点处切线的交点点处切线的交点O ，且这些，且这些切应力沿切应力沿y方向的分量方向的分量 y相等。相等。因此可先利用公式因此可先利用公式 求出求出kk上各点的切应上各点的切应力竖向分量力竖向分量 y ，然后求出各点处各自的切应力。，然后求出各点处各自的切应力。kkzzybISF *S 第第四章四章 弯曲应力弯曲应力AFdFddddFdISFzz344346432421S2S42S*Smax 圆截面梁横截面上的圆截面梁横截面上的最大切应力最大切应力 max在中性轴在中性轴z处，其计算公式为处，其计算公式为第第四章四章

15、弯曲应力弯曲应力II. 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件弯矩最大截面的弯矩最大截面的C点和点和D点点处于处于单轴应力状态单轴应力状态(state of uniaxial stress) (图图d及图及图e)，按单轴应力状态建立的正按单轴应力状态建立的正应力强度条件应力强度条件 max第第四章四章 弯曲应力弯曲应力最大剪力所在截面的中性最大剪力所在截面的中性轴上轴上E和和F点，处于点，处于纯剪切纯剪切应力状态应力状态 (shearing state of stress ) (图图f及图及图g)，按，按纯剪切应力状态建立强度纯剪切应力状态建立强度条件为条件为亦即亦即 max bISFzz*ma

16、x,max,S式中，式中， 为材料在横力弯曲时的许用切应力。为材料在横力弯曲时的许用切应力。第第四章四章 弯曲应力弯曲应力 梁在荷载作用下，必须同时满足正应力强度条梁在荷载作用下，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。在选择梁的截面尺寸时，通件和切应力强度条件。在选择梁的截面尺寸时，通常常先按正应力强度条件定出截面尺寸，再按切应力先按正应力强度条件定出截面尺寸，再按切应力强度条件校核强度条件校核。第第四章四章 弯曲应力弯曲应力 图图a所示梁，其既所示梁，其既有剪力又有弯矩的横有剪力又有弯矩的横截面截面m-m上任意点上任意点G和和H处于如图处于如图h及图及图i所示所示的的平面应力状态平面应

17、力状态(state of plane stress)。第第四章四章 弯曲应力弯曲应力工字钢梁如果同一横截面上的弯矩和剪力都是最大或工字钢梁如果同一横截面上的弯矩和剪力都是最大或接近最大的接近最大的(图图a、b、c)，则该截面上腹板与翼缘交，则该截面上腹板与翼缘交界点处由于正应力和切应力均相当大界点处由于正应力和切应力均相当大 (图图d)，这样的，这样的点必须进行强度校核（参见点必须进行强度校核（参见第七章）第七章）。第第四章四章 弯曲应力弯曲应力 一简易吊车的示意图如图一简易吊车的示意图如图a所示，其中所示，其中F=30 kN，跨长跨长 l=5 m。吊车大梁由。吊车大梁由20a号工字钢制成，许

18、用弯号工字钢制成，许用弯曲正应力曲正应力 =170 MPa，许用切应力，许用切应力 =100 MPa。试校核梁的强度。试校核梁的强度。 例题例题 4-14第第四章四章 弯曲应力弯曲应力1. 校核正应力强度。吊车梁可简化为简支梁校核正应力强度。吊车梁可简化为简支梁(图图b)。 荷载移至跨中荷载移至跨中C截面处截面处(图图b)时梁的横截面上的时梁的横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最不利荷载位置时的弯矩图如图最不利荷载位置时的弯矩图如图c所示，所示，mkN5 .374maxFlM解解:第第四章四章 弯曲应力弯曲应力 由型钢规格表查得由

19、型钢规格表查得20a号工字钢的号工字钢的Wz=237cm3。梁的最大弯曲正应力为梁的最大弯曲正应力为MPa158Pa10158m10237mN105 .376363maxmax zWM第第四章四章 弯曲应力弯曲应力mm7 ,cm2 .17*max, dSIzz2. 校核切应力强度。校核切应力强度。 荷载移至紧靠支座荷载移至紧靠支座A处处(图图d)时时梁的剪力为最大。此时的约束力梁的剪力为最大。此时的约束力FAF，相应的剪，相应的剪力图如图力图如图e所示。所示。FS,max=FA=30kN对于对于20a号钢，由型钢规格表查得：号钢，由型钢规格表查得：第第四章四章 弯曲应力弯曲应力于是有于是有 MPa9 .24m107m102 .17N103032