函数的单调性凹凸性与极值

1、关于函数的单调性凹凸性与极关于函数的单调性凹凸性与极值值现在学习的是第一页，共111页 在第一章在第一章, 函数在区间上单调增加函数在区间上单调增加(或减少或减少)的几何解释的几何解释: : 在某个区在某个区间上对应曲线是上升或下降的间上对应曲线是上升或下降的. . 如如 单调性是函数的重要性态之一单调性是函数的重要性态之一. 它既决定着函数递增和递减的它既决定着函数递增和递减的状况状况, 又有助于我们研究函数的极值又有助于我们研究函数的极值、证明某些不等式证明某些不等式、分析描绘分析描绘函数的图形等函数的图形等. .2x1()f x2()f xy= (x)oxxyyo1x1x2x1()f x

2、2()f xy= (x)一、函数单调性的判别法现在学习的是第二页，共111页 用定义来判断函数的单调性常用的有比较法、比值法等用定义来判断函数的单调性常用的有比较法、比值法等. .但繁但繁! ! 下面讨论如何用导数来判断函数的单调性下面讨论如何用导数来判断函数的单调性. .xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA( )0fx 若若 y = f (x)在区间在区间(a, b)上单调递增上单调递增若若y = f (x)在区间在区间(a, b)上单调递减上单调递减( )0fx 各点处切线的斜率为正各点处切线的斜率为正各点处切线的斜率为负各点处切线的斜率为负现在学习

3、的是第三页，共111页 定理定理1 (函数单调性的判定方法函数单调性的判定方法) 设设 y =(x) 在区间在区间a, b上上连续连续, 在区间在区间(a, b)内可导内可导, 则对则对( , ),xa b (1) ( )0fx 若若, ,(2) ( )0fx 若若，即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调. .1212 ,( , ),x xa b xx 12( ),f xxx由由已已知知在在上上连连续续, ,证证则则 (x) 在区间在区间a, b内单调递增加内单调递增加;则则 (x) 在区间在区间a, b内单调递减少内单调递减少. .根

4、据拉根据拉格朗日中值定理格朗日中值定理, 有有211221()()( ) ( (,) )f xf xfx xxx 其其中中12(,),xx在在内内可可导导现在学习的是第四页，共111页( )0 ( )0f xf ，有有, ,21 ()()f xf x 则则( ) 0 , ( ) 0,f xf 有有21 ()()f xf x 则则12, ,( ) ( , )xxf xa b故故由由的的任任意意性性 在在 内单调递增内单调递增;2121()()0f xf xxx 2121()()0f xf xxx 12 , ( ) ( , )xxf xa b故故由由的的任任意意性性，在在内单调递减内单调递减. .

5、现在学习的是第五页，共111页注注1 研究函数的单调性研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增就是判断它在哪些区间内递增, 哪些区间哪些区间内递减内递减. 由定理由定理 1 对可导函数的单调性对可导函数的单调性, 可根据导数的正负情况予可根据导数的正负情况予以确定以确定. 注注2 定理定理 1 的结论对其他各种区间的结论对其他各种区间 (包括无穷区间包括无穷区间) 也成立也成立.解解例例1.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函数单调增加函数单调增加).,(: D又又现在学习

6、的是第六页，共111页注注 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性上的单调性注注 如果函数如果函数( )0( ( )0)fxfx 或或且等号仅在个别点处且等号仅在个别点处成立成立, 则定理则定理1仍成立仍成立. 如如oxy3yx 32( )( )30(0)0)yf xxfxxf注注 反过来反过来, 若若(x)在在(a, b)内可导且单调增内可导且单调增加加(或减少或减少), 则则(x)在在(a, b)内必有内必有(

7、)0 ( ( )0)fxfx 或或单调增加单调增加. .3 (,)yx 但但在在若若0()0fx ，则称点则称点 x0 为函数为函数 f(x) 的的驻点驻点.现在学习的是第七页，共111页利用定理利用定理1可以讨论函数的单调区间可以讨论函数的单调区间.问题问题 一般地一般地, ,函数函数在定义区间上不是单调的，如何判断函在定义区间上不是单调的，如何判断函数在各个部分区间上的单调性数在各个部分区间上的单调性?若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点是单调区间的

8、是单调区间的分界点分界点方法方法( )0( )( ),.fxfxf x 用用方方程程的的根根及及不不存存在在的的点点来来划划分分函函数数的的定定义义区区间间 然然后后判判断断各各区区间间内内导导数数的的符符号号( )fx 注注 不存在的点就是使导数不存在的点就是使导数 没意义的点没意义的点.( )fx 现在学习的是第八页，共111页(1) 确定函数定义域确定函数定义域; (2) 确定函数的驻点确定函数的驻点 的点的点, 以这些点为分界以这些点为分界点划分定义域为多个子区间点划分定义域为多个子区间; ( ) fx 及及不不存存在在 (3)确定确定 在各子区间内的符号在各子区间内的符号, 从而定出

9、从而定出(x)在各子在各子区间的单调性区间的单调性. .( ) f x (,) 解解 函数函数 f(x) 定义域为定义域为2( )618126(1)(2)f xxxxx 12 ( )0 1,2f xxx 由由解解得得 例例2 求函数求函数32( ) 29123f xxxx 的单调区间的单调区间. .确定函数确定函数 y = (x) 的单调性的的单调性的一般一般步骤步骤是是:现在学习的是第九页，共111页x (,1)(2,) ( )fx 列表讨论如下列表讨论如下: : 故故 是是(x)的递增区间的递增区间. 1, 2 是递减区间是递减区间. . (端点可包括也可不包括端点可包括也可不包括) (,

10、1,2,) (,1,1, 2,2,) 将将 分成分成() - - , ,+ + ( )f x1(1,2)2 讨论函数讨论函数 的单调性的单调性. .23( )(1)f xxx 解解 函数定义域为函数定义域为(,) 现在学习的是第十页，共111页21333252( )(1)33xfxxxxx x(,0)2(,)5 ( )fx 故在故在 内内(x)是递增的是递增的, , 在在 内递减内递减. .2 (,0),(,)5 2( 0 ,)5列表讨论如下列表讨论如下: :22 (,) (,0 , 0,)55 这这两两个个点点将将分分为为三三个个子子区区间间） （） （2(0,)5252 0 ( ) .xf

11、 x 而而是是的的12 ( )0 5fxx 由由有有不可导点不可导点. .( )f x 0现在学习的是第十一页，共111页例例3 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(: D)0(,32)(3 xxxf.,0导导数数不不存存在在时时当当 x时时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(单调区间为单调区间为，0 ,()., 0 32xy 现在学习的是第十二页，共111页例例4 4证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxx

12、f 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可可导导，且且上上连连续续在在上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f时，时，当当0 x, 0)0()()1ln( fxfxx).1ln(xx 即即注意注意: 区间内个别点导数为零不影响区间的单调性区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上上单单调调增增加加但但在在 现在学习的是第十三页，共111页小结与思考题小结与思考题1单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍

13、然成立成立.利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式数和证明不等式.现在学习的是第十四页，共111页思考题思考题 若若0)0( f，是是否否能能断断定定)(xf在在原原点点的的充充分分小小的的邻邻域域内内单单调调递递增增？现在学习的是第十五页，共111页思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)( xxxxxf现在学习的是第十六页，共111页 )212(1 kxk当当 时，时，0)212(41)( kxfk kxk2

14、1 当当 时，时，01)( kxf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内， 都不单调递增都不单调递增k00 x)(xf现在学习的是第十七页，共111页课堂练习题课堂练习题现在学习的是第十八页，共111页现在学习的是第十九页，共111页课堂练习题答案课堂练习题答案现在学习的是第二十页，共111页现在学习的是第二十一页，共111页三、函数的凹凸性与拐点 函数函数(x)的单调性与极值是函数的重要性态的单调性与极值是函数的重要性态. .在研究了函数在研究了函数的单调性后的单调性后, 若不知道曲线的弯曲方向若不知道曲线的弯曲方向, 仍不能准确描绘曲线变仍不能准确描绘曲

15、线变化的特点化的特点. 一般地一般地, 函数单调增加或单调减少都有两种方式函数单调增加或单调减少都有两种方式, 所所以只讨论函数的单调性是不够的以只讨论函数的单调性是不够的, 还必须讨论它的还必须讨论它的凹凸性凹凸性.xyoxyo现在学习的是第二十二页，共111页BAC如图中如图中曲线弧曲线弧AB是单增的曲线是单增的曲线. 但从但从A 到到 C 的曲线是向上凸的的曲线是向上凸的; 从从 C 到到 B 的曲的曲线是向下凸的线是向下凸的. C 恰好是上凸和下凸的恰好是上凸和下凸的分界点分界点, 我们称为我们称为拐点拐点.显然显然, 曲线的弯曲方向和弯曲方向曲线的弯曲方向和弯曲方向(上凸和下凸上凸和

16、下凸)的分界点对我们研的分界点对我们研究函数的性态是十分重要的究函数的性态是十分重要的. 这就是下面讨论的凸性与拐点这就是下面讨论的凸性与拐点.1. 曲线的凸性曲线的凸性现在学习的是第二十三页，共111页问题问题: 如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方现在学习的是第二十四页，共111页12121212 11() ()()() ()()2222 xxxxff xf xff xf x 或或 定义定义 若曲线若曲线y =

17、 (x)在区间在区间 I 内连续内连续,112,xxI 均均有有则称曲线在该区间内是则称曲线在该区间内是向上凹向上凹(或凸或凸)的的. .oxyABy = (x)121 ( )( )2f xf x 1x2x122xx oxyAB1x2xy = (x)121 ( )( )2f xf x 122xx 将曲线具有的向上凹或向上凸的性质称为将曲线具有的向上凹或向上凸的性质称为曲线的凹凸性曲线的凹凸性. .现在学习的是第二十五页，共111页 定义定义2 设函数设函数 y = (x) 在区间在区间 I 内可导内可导. .若该函数曲线在若该函数曲线在 I 内总是位于其上任意一内总是位于其上任意一点的切线上方

18、点的切线上方 (即曲线向下弯曲即曲线向下弯曲), 则称该则称该曲线在曲线在 I 内是内是向上凹的向上凹的; 区间区间 I 为该曲线的为该曲线的向向上凹区间上凹区间. .用符号用符号表示表示 . .称函数称函数 y = (x) 为为在区间在区间 I 内的内的凸函数凸函数. .oxyy =(x)向上凹（或向上凹（或 凸）的另一种定义：凸）的另一种定义： 若该函数曲线在若该函数曲线在 I 内总是位于其任意内总是位于其任意一点的切线下方一点的切线下方(即曲线向上弯曲即曲线向上弯曲), 则称则称该曲线在该曲线在I 内是内是向上凸的向上凸的; 区间区间 I 为该曲线的为该曲线的向上凸区间向上凸区间. .

19、用符号用符号表示表示 . 称函数称函数 y = (x) 为为在区间在区间 I 内的内的凹函数凹函数. .oxyy=(x)现在学习的是第二十六页，共111页2. 曲线凸性的判定曲线凸性的判定AB 显然显然, 用定义来判别曲线的凸性是极用定义来判别曲线的凸性是极不方便的不方便的. .由由定义定义2知向上凸曲线从点知向上凸曲线从点A移移到点到点B 时时, 对应的切线斜率对应的切线斜率 单调减单调减少的少的. .( )fx 注注 向上凹向上凹凹凹向上凸向上凸凸凸AB向上凹曲线从点向上凹曲线从点A移到点移到点B时时, 对应的对应的( )fx 切线斜率切线斜率 单调增加的单调增加的. . 现在学习的是第二

20、十七页，共111页( )fx 从而从而, 当当存在时存在时, 则可用二阶导数的符号来判别则可用二阶导数的符号来判别曲线的凹凸性曲线的凹凸性. .xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA( )fx 切切线线的的斜斜率率递递增增0y 0y ( )fx 切切线线的的斜斜率率递递减减于是利用二阶导数可以判定函数的凹凸性于是利用二阶导数可以判定函数的凹凸性.现在学习的是第二十八页，共111页(1)( , ), ( )0,xa bfx 均均有有(2)( , ), ( )0,xa bfx 均均有有定理定理1 设函数设函数 y = (x)在在 I 内有二阶导数内有二阶导数, 则则( )( , )y

21、f xa b 在在上上是是向向上上凹凹的的；( ) ( , )yf xa b 在在上上是是向向上上凸凸的的. .例例1.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y(,0 曲曲线线 在在为为向向上上凸凸的的；时，时，当当0 x, 0 y0,) 曲曲线线在在为为向向上上凹凹的的；(0,0).点点是是曲曲线线由由向向上上凸凸变变向向上上凹凹的的分分界界点点注注现在学习的是第二十九页，共111页( )arctan.f xx 讨讨论论函函数数的的凸凸性性区区间间0,( )0;xfx 当当时时222( ),(1)xfxx 由由于于因而因而(,0从从而而在

22、在上上, ,f(x)为向上凹的函数为向上凹的函数;0 ( )0.xfx 当当时时, ,0,)从从而而在在上上, ,f(x)为向上凸的函数为向上凸的函数.解解光滑曲线光滑曲线是指曲线上每一点都有切线且切线随切点的移是指曲线上每一点都有切线且切线随切点的移动连续移动动连续移动, 即若即若 在在a, b上上连续连续, 则曲线则曲线 在在a, b上就是光滑曲线上就是光滑曲线.( )fx ( )yf x 现在学习的是第三十页，共111页oxyy= (x)aABbcC定义定义3 设函数设函数 y = (x)在区间在区间(a, b)内内连续连续, 则曲线则曲线 y = (x) 在该区间内向上凹在该区间内向上

23、凹部分与向上凸部分与向上凸 部分的分界点部分的分界点C(c, (c)称为称为曲线的拐点曲线的拐点. .C(c, (c)就是曲线的拐点就是曲线的拐点.如右图如右图, 从从 A到到 C与从与从C到到B的分界点的分界点3. 曲线拐点的定义曲线拐点的定义 注注 拐点是曲线上的点拐点是曲线上的点, 从而拐点的坐标需用横坐标与纵从而拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表示坐标同时表示, 不能仅用横坐标表示不能仅用横坐标表示. .这与驻点及极值点的表这与驻点及极值点的表示方法不一样示方法不一样. .现在学习的是第三十一页，共111页例例2 判断曲线判断曲线 的凸性的凸性, 并求其拐点并求其拐点. .23,yxy

24、x22 ()2 , ()20 xxx 因因为为oxy2yx 32 ( )3,xx 因因为为30, 0 ()60, 0 xxxx oxy3yx 解解2(,)yx 则则曲曲线线 在在内内向向上上凹凹. .曲线曲线3 (,0),yx 在在内内向向上上凸凸(0,)在在内内向向上上凹凹. .3 yx 故点故点(0, 0)是曲线的是曲线的拐点的拐点的. .4. 拐点的求法拐点的求法现在学习的是第三十二页，共111页证证 因为点因为点00(,() )xf x是曲线的拐点是曲线的拐点, 则点则点 x0 的两侧的两侧0() 0fx 0( )f x 0()fx 异号异号, 且由已知且由已知 存在存在, 则则定理定

25、理2 (拐点的必要条件拐点的必要条件)若函数若函数 y = (x)在在 x0 处的二阶导处的二阶导0()0fx 0()fx 数数00(,()xf x存在存在, 且点且点为曲线为曲线 y = (x) 的拐点的拐点, 则则条件而非充分条件条件而非充分条件. . 0()0fx 仅仅是是拐拐点点存在的必要存在的必要注注在在 存在时存在时,0()fx 4yx 如如有有 , 但点但点 (0, 0) 不是该曲线的拐点不是该曲线的拐点.(0)0f 现在学习的是第三十三页，共111页注注 不存在的点也有可能成为拐点不存在的点也有可能成为拐点. 例如例如( )fx 3yx 函函数数的二阶导数在的二阶导数在 x =

26、 0不可导不可导, 但但 (0, 0) 是该曲是该曲线的拐点线的拐点.0()0fx 0()fx 或或 不存在不存在. . 综上所述综上所述,00(,()xf x若点若点( )yf x 是曲线是曲线 的拐点的拐点, 则必有则必有0()0fx 0()fx 或或 不存在时不存在时,但是但是, 若若曲线曲线( )yf x 00(,()xf x上的点上的点不一定是拐点不一定是拐点, ()0fx ( )fx 或或 不存在的点不存在的点可能成为可能成为曲线曲线所以所以 的拐点的拐点, 须用须用下面的定理进一步判断下面的定理进一步判断. .( )yf x 现在学习的是第三十四页，共111页曲线曲线 y = (

27、x) 的拐点的拐点. (1) 若在点若在点 x = = x0 0 的两侧的两侧, 00(,()xf x( )fx 异号异号, 则点则点为为线线 y = (x)的拐点的拐点.00(,()xf x(2)若在点若在点 x0 两侧两侧, 二阶导数同号二阶导数同号, 则点则点不为曲不为曲利用二阶导数的符号可以判别曲线的拐点利用二阶导数的符号可以判别曲线的拐点.定理定理2(拐点第一判别定理拐点第一判别定理) 设函数设函数 y = (x)在在 x0 的某邻域内的某邻域内0()0fx 且且 0()fx 可可以以不不存存在在 , ,0()fx 或或 不不存存在在, ,二二阶可导阶可导现在学习的是第三十五页，共1

28、11页综上所述综上所述, 确定曲线确定曲线 y = f(x) 的拐点的一般的拐点的一般步骤步骤是是:(1) 确定函数确定函数的定义域的定义域;(2) 求二阶导数求二阶导数, 在定义域内求出使二阶导数等于零的点在定义域内求出使二阶导数等于零的点和和二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点;(3) 用用(2)中求出的点将函数定义域分成若干个部分区间中求出的点将函数定义域分成若干个部分区间,在各个部分区间内讨论二阶导数的符号在各个部分区间内讨论二阶导数的符号, 确定曲线是否存在确定曲线是否存在拐点拐点, 若在拐点若在拐点, 求出拐点求出拐点. . (- ,) 定定义义域域为为例例3 判断曲线判断曲线35

29、(1)yxx 的凸性的凸性, 并求其拐点并求其拐点. .解解现在学习的是第三十六页，共111页52338533yxx 而而 , , 310 419xyx 10;4xy 当当时时, ,0, . :xy 当当时时不不存存在在列列表表如如下下x y (, 0)1(,)4 1411( ,( )44f拐拐点点1( 0 ,)40不不存存在在(0,0)拐拐点点y结论结论: : 曲线在曲线在1(,0)(,)4 313( ,).416 16 拐点为拐点为(0, 0)和和1(0 ,)4 内是上凸的内是上凸的; 内是下凸的内是下凸的; 曲线在曲线在0现在学习的是第三十七页，共111页43341.yxx 求求曲曲线线

30、的的拐拐点点及及凹凹、凸凸的的区区间间解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00下凸下凸上凸上凸下凸下凸拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,( 凹凹凸凸区区间间为为现在学习的是第三十八页，共111页定理定理3(拐点第二判别定理拐点第二判别定理) 设函数设函数 y = (x)在在 x0 的某邻域内的某邻域内0000, ()0, ()0,(,()( ).fxfxxf xyf x 三三阶阶可可导导 且且 而而那那末末 是是曲曲线线的的拐

31、拐点点注注 拐点第二判别定理对于拐点第二判别定理对于 的点不适用的点不适用.( )fx 不不存存在在例例3.)2 , 0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得现在学习的是第三十九页，共111页内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 2)43( f, 0 2)47( f, 0 现在学习的是第四十页，共111页设三次函数设三次函数 在在 x=-1 处取极处取极大值大值, 点点(0, 3)是是拐点拐点, 则求则求a, b, c的的值值.323

32、3yxaxbxc 略解略解2363 , 66yxaxbyxa 由极值的必要条件由极值的必要条件211(363 )03630 xxyxaxbab 由拐点的必要条件由拐点的必要条件00(66 )060 xxyxaa 32(0)3333yxaxbxcc 现在学习的是第四十一页，共111页思考题解答思考题解答例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并并不不是是曲曲线线)(xf的的拐拐点点.现在学习的是第四十二页，共111页课堂练习题课堂练习题现在学习的是第四十三页，共111页三三 函数的极值及求法函数的极值及求法oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x现

33、在学习的是第四十四页，共111页.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的的一一个个极极小小值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点内内的的一一个个点点是是内内有有定定义义在在区区间间设设函函数数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 极值的定义：极值的定义：现在学习的是第四十五页，共1

34、11页函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值使函数取得极值的点称为的点称为极值点极值点.函数极值的求法： 设设)(xf在在点点0 x处处具具有有导导数数, ,且且在在0 x处处取取得得极极值值, ,那那末末必必定定0)(0 xf. .定理定理( (必要条件必要条件) ).)()0)(的的驻驻点点做做函函数数叫叫的的实实根根即即方方程程使使导导数数为为零零的的点点xfxf 注意注意:.,)(是是极极值值点点但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定点点的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻可可导导函函数数xf现在学习的是第四十六页，共111页例如例如,3xy

35、 , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x定理定理 ( (第一充分条件第一充分条件) )现在学习的是第四十七页，共111页xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)xyoxyo0 x0 x (非极值点情形非极值点情形)如图所示：现在学习的是第四十八页，共111页求可导函数极值的步骤求可导函数极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值现在学习的是第四十九页，共111页例例 9 9解解.593)(23的的极极值值求求出

36、出函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx现在学习的是第五十页，共111页593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下现在学习的是第五十一页，共111页定理定理( (第二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异异号号，与与故故xxfxxf )()(00现在学习的是第五十二页，共111页时，时，当当0 x

37、)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 现在学习的是第五十三页，共111页例例1010解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得驻驻点点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故极极大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故极极小小值值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下现在学习的是第五十四页，共111页Mm注意注意: :现在学习的是第五十五页，共111页例例1111解解.)2(1)(32的的极

38、极值值求求出出函函数数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的的极极大大值值为为xff .)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf注意注意: : 函数的不可导点也可能是函数的极值点函数的不可导点也可能是函数的极值点.M现在学习的是第五十六页，共111页求函数极值的步骤：求函数极值的步骤：);()1(xf 求导数求导数.)4(求极值求极值函数的驻点和不可导点同称为函数的函数的驻点和不可导点同称为函数的临界点临界点.(2)(2)求函数的临界点；求函数的临界点；现在学习的是第五

39、十七页，共111页极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件.(注意使用条件注意使用条件) 小结与思考题小结与思考题3现在学习的是第五十八页，共111页思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？现在学习的是第五十九页，共111页思考题解答思考题解答不正确不正确例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf当当0 x时，时， )0()

40、(fxf)1sin2(2xx 0 现在学习的是第六十页，共111页当当0 x时，时，当当0 x时时，, 0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因因而而)(xf在在0 x的的两两侧侧都都不不单单调调.故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)( 现在学习的是第六十一页，共111页课堂练习题课堂练习题现在学习的是第六十二页，共111页现在学习的是第六十三页，共111页课堂练习题答案课堂练习题答案现在学习的是第六十四页，共111页 定义定义3 当曲线当曲线 y = (x)上上动点动点M沿着曲线无限远离原沿着曲线无限远离原点移动时点移动时, 若该动点若该动点M

41、到某到某直线直线L的距离无限趋近于零的距离无限趋近于零 (如右图如右图), 则称此则称此直线直线L是曲是曲线线 y = (x) 的渐近线的渐近线.oxyy=(x)MQL: y=ax+b 曲线曲线 y = (x) 的渐近线按其与的渐近线按其与 x 轴的位置关系轴的位置关系, 可分为以下三可分为以下三种种: :四 函数的渐近线现在学习的是第六十五页，共111页则称直线则称直线 y = c 为曲线为曲线 y = (x)的的水平渐近线水平渐近线 (c为常数为常数) .lim( ) lim( ) xxf xcf xc 或或lim arctan, lim arctan22xxxx 因为因为1. 水平渐近线

42、水平渐近线如果曲线如果曲线 y = (x)的定义域是无限区间的定义域是无限区间, 且有且有 问题问题: :曲线曲线11,xxxyyeyeyex 是否有水平渐近线？是否有水平渐近线？分别是什么？分别是什么？所以曲线所以曲线 y = arctan x有水平渐近线有水平渐近线.2,2 yy现在学习的是第六十六页，共111页2.垂直垂直(铅垂铅垂)渐近线渐近线如果曲线如果曲线 y = (x) 在在 x0 处无定义处无定义(或不连续或不连续), 且且00lim( ) lim( )xxxxf xf x 或或则称直线则称直线 x = x0 为曲线为曲线 y = (x) 的垂直渐近线的垂直渐近线. .因为因为

43、0011lim,limxxxx oxy1yx 1yx 所以曲线所以曲线有一条垂直渐近线有一条垂直渐近线 x = 0. 问题问题: :曲线曲线1,ln2yyxx 是否有垂直渐近线？是否有垂直渐近线？分别是什么？分别是什么？现在学习的是第六十七页，共111页3. 斜渐近线斜渐近线- lim ( )()0 xf xaxb 若若或或则称直线则称直线 y = ax + b为曲线为曲线 y =(x) 的的斜渐近线斜渐近线. . (如图如图)lim ( ) () 0 xf xax b 0aba 其其中中 和和 为为常常数数, ,且且, ,oxyy=(x)MQL:y=ax+b现在学习的是第六十八页，共111页

44、斜渐近线求法斜渐近线求法:.)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy 注注1( )(1) lim;xf xx 如如果果 不不存存在在( )(2) lim ,lim ( ),xxf xaf xaxx 存存在在 但但 不不存存在在.)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy ( ) lim lim( )xxf xaxbf xax 或或( ) lim lim ( )xxf xaxbf xax 注注2 注注1中两种情况只能得到不存在斜渐近线中两种情况只能得到不存在斜渐近线, 但不能排除有但不能排除有水平或水平或垂直渐近线垂直渐近线. 现在学习的是第六十九页，共

45、111页例例1.1)3)(2(2)(的的渐渐近近线线求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(: D1lim( ),xf x 1lim( ),xf x .1是是曲曲线线的的铅铅直直渐渐近近线线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 2(2)(3)lim2 1xxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 .42是是曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线 xy现在学习的是第七十页，共111页 求下列函数的渐近线求下列函数的渐近线: :221(1) ( );xxf xx 故垂直渐近线故垂直渐近线: x = 0 20021lim ( )l im xxx

46、xf xx 且且x()lim1fxax 斜渐近线斜渐近线: y = x +2 xlim ( )2bf xx解解 因为因为现在学习的是第七十一页，共111页故斜渐近线故斜渐近线: :(2) ( )arctanf xxx ()limxfxax 1lim ( )2xbf xx 2lim ( )2xbf xx y = x + / 2 及及 y = x / 2arctanlim1xxxx 解解 因为因为现在学习的是第七十二页，共111页(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4.B曲线曲线 有有( )渐渐近线近线.2122( )arctan2xxf xexx 22112222limarctan

47、limlimarctan224xxxxxxxeexxxx 解解4y 为水平渐近线为水平渐近线.221lim12ttett 令令1tx 22112202200limarctanlim22xxxxxxeexxxx 21021lim121xxexx 22lim14tttet 22224lim4tttet e 现在学习的是第七十三页，共111页0 x 为垂直渐近线为垂直渐近线.2212122arctan2limlim2xxxxxexxxaexxx 212limlim02xxxxexx 函数没有斜渐近线函数没有斜渐近线.现在学习的是第七十四页，共111页思考题思考题 两两坐坐标标轴轴0 x，0 y是是否

48、否都都是是函函数数xxxfsin)( 的的渐渐近近线线？现在学习的是第七十五页，共111页思考题解答思考题解答0sinlim xxx0 y是是其其图图象象的的渐渐近近线线.0 x不不是是其其图图象象的的渐渐近近线线. 1sinlim0 xxxxxysin 现在学习的是第七十六页，共111页 五五 函数图形的描绘函数图形的描绘利用函数特性描绘函数图形，利用函数特性描绘函数图形，步骤如下步骤如下：第一步第一步第二步第二步现在学习的是第七十七页，共111页第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势近线以及其他变化趋势;第五步

49、第五步现在学习的是第七十八页，共111页作图举例：作图举例：例例1313.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解, 0: xD非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得得驻驻点点, 0)( xf令令. 3 x得特殊点得特殊点2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y得水平渐近线得水平渐近线现在学习的是第七十九页，共111页2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得铅直渐近线得铅直渐近线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸

50、区间及极值点和拐点:x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极小值极小值间间断断点点3 )926, 3( 现在学习的是第八十页，共111页:补补充充点点);0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C作图作图xyo2 3 2111 2 3 6ABC现在学习的是第八十一页，共111页2)1(4)(2 xxxf现在学习的是第八十二页，共111页例例1414解解),(: D偶函数偶函数, 图形关于图形关于y轴对称轴对称.22( )e,2xxx ( )0,x 令令, 0 x得驻点

51、得驻点( )0,x 令令. 1, 1 xx得得特特殊殊点点1:0( )0.4.2Wx 22(1)(1)( )e.2xxxx 221lim( )lime2xxxx , 0 . 0 y得水平渐近线得水平渐近线现在学习的是第八十三页，共111页x)1,( ), 1( )0 , 1( 1 )1 , 0()(x )(x 00)(x 01 拐点拐点极大值极大值 21)21, 1(e 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:0拐点拐点)21, 1(e xyo11 21 现在学习的是第八十四页，共111页221( )e2xx 现在学习的是第八十五页，共111页例

52、例1515.1)(23的的图图形形作作函函数数 xxxxf解解),(: D无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 xx得得驻驻点点, 0)( xf令令.31 x得得特特殊殊点点:补补充充点点),0 , 1( A),1 , 0(B).85,23(C列表确定函数升降、列表确定函数升降、 凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:现在学习的是第八十六页，共111页x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 极小

53、值极小值0 xyo)0 , 1( A)1 , 0(B)85,23(C11 3131 现在学习的是第八十七页，共111页123 xxxy现在学习的是第八十八页，共111页函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导是导数应用的综合考察数应用的综合考察.xyoab最大值最大值最小值最小值极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减)(xfy 小结与思考题小结与思考题5 5现在学习的是第八十九页，共111页思考题思考题 两两坐坐标标轴轴0 x，0 y是是否否都都是是函函数数xxxfsin)( 的的渐渐近近线线？现在学习的是第九十页，共111页思考

54、题解答思考题解答0sinlim xxx0 x不不是是其其图图象象的的渐渐近近线线. 1sinlim0 xxxxxysin 现在学习的是第九十一页，共111页课堂练习题课堂练习题现在学习的是第九十二页，共111页课堂练习题答案课堂练习题答案现在学习的是第九十三页，共111页现在学习的是第九十四页，共111页* *补充补充1 1：最值的求法：最值的求法oxyoxybaoxyabab.,)(,)(方法求得方法求得用本节的用本节的上的最大值与最小值可上的最大值与最小值可在在点，则点，则限个临界限个临界上连续，并且至多有有上连续，并且至多有有在在若函数若函数baxfbaxf现在学习的是第九十五页，共11

55、1页求最值的步骤求最值的步骤: :1. 求函数的临界点求函数的临界点;2. 求区间端点及临界点的函数值求区间端点及临界点的函数值,比较大小比较大小,最大者最大者即最大值即最大值,最小者即最小值最小者即最小值 .注意注意: :如果区间内只有一个极如果区间内只有一个极(大或小大或小)值值,则这个则这个极极(大或小大或小)值就是最值就是最(大或小大或小)值。值。现在学习的是第九十六页，共111页应用举例：应用举例：例例1616解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解解方方程程, 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f; 7;142 )4(f现在学习的是第九十七页，共11