高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角学案新人教A版必修4

1、高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角学案新人教A版必修4r1学习目标导航I1 .掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(重点)2 .会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题.(难点)3 .分清向量平行与垂直的坐标表示.(易混点)阶段1认知预习质疑i基础初探教材整理平面向量数量积的坐标表示、模、夹角阅读教材P106“探究”以下至P107例6以上内容，完成下列问题(1) 面向量数量积的坐标表示：设向量a=(xi,yi),b=(X2,y2),a与b的夹角为0.数量积a , b= xix2+ yiy2向重垂苴a b? xix2+ yiy2= 022xi + yi.2.

2、向量模的公式：设 a=(xi, yi),则| a| =3 .两点间的距离公式：若 A(xi, yi) , B(X2,4 .向量的夹角公式：设两非零向量 a=(xi,y2),则 Xb=:x2xi 2 +y2 yi2.yi) , b= (x2, y2), a 与 b 夹角为 0 ,则cos 0 =X1X2+ yiy2| a| I b|52+ yx2+ y2判断(正确的打，(i)两个非零向量a=(xi,yi),b=(x2,y2),满足xiy2-x2yi=0,则向量a,b的夹角为0.()(2)已知a=(xi,yi),b=(x2,y2),ab?xix2-yiy2=0.()(3)若两个向量的数量积的坐标和

3、小于零，则两个向量的夹角一定为钝角.()【解析】(i)x.因为当xiy2x2yi=0时，向量a,b的夹角也可能为i80.(2) x.ab?xix2+yiy2=0.(3) x.因为两向量的夹角有可能为i80.【答案】(1)X(2)x(3)x阶段2合作探究通关小组合作型71A.23C.2%;鬻7 面*平面向量数量积的坐标运算(1)已知向量a=(1,2),b=(2,x),且ab=1,则x的值等于()1B.-23D.-2(2)已知向量a=(1,2),b=(3,2),则a-b=已知a=(2,1),b=(3,2),右存在向量c,满足a,c=2,b,c=5,则向量c=【精彩点拨】根据题目中已知的条件找出向量

4、坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.【自主解答】因为a=(1,2),b=(2,x),所以ab=(1,2)-(2,x)=1X2+2x=1,一3解得x=-2.(2)a-b=(-1,2)(3,2)=(-1)X3+2X2=1,a-(a-b)=(-1,2)-(-1,2)-(3,2)=(1,2)(4,0)=4.设c=(x,y),因为a,c=2,b,c=5,9 .9 4所以c= 7,-.ccx=2x-y=2,7所以解得3x+2y=5,4y=7,94【答案】(1)D(2)14(3)7,7名师广1 .进行数量积运算时，要正确使用公式a-b=x1x2+v、2,并能灵活运用以下几个关系

5、:|a|2=aa；(a+b)(ab)=|a|2|b|2；(a+b)2=|a|2+2a-b+|b|2.2 .通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系3 .向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充再练一题1.设向量a=(1,-2),向量b=(3,4),向量c=(3,2),则向量(a+2b)c=(A.(15,12)B.0C.3D.11【解析】依题意可知，a+2b=(1,2)+2(3,4)=(5,6),(a+2b)-c=(5,6)(3,2)=-5X3+6X2=-3.【答案】C向量模的坐标表示例国(1)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y

6、),若a/b,则|2ab|等于()A.4B.5C.35D4；5(2)已知向量a=(1,2),b=(3,2),则|a+b|=,|a-b|=.【精彩点拨】(1)两向量a=(X1,y1),b=(x2,y2)共线的坐标表不：X1y2X2y1=0.(2)已知a=(x,y),则|a|=x2+y2.【自主解答】(1)由y+4=0知y=4,b=(2,-4),-2a-b=(4,8),|2ab|=4/.故选D.(2)由题意知，a+b=(2,4),a-b=(4,0),因此|a+b|=/22+42=2/5,|a-b|=4.【答案】(1)D(2)2,154名师向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用间2=a

7、2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算(2)坐标表示下的运算，若a=(x,y),则同=x2+y2.再练一题2.已知向量a=(2x+3,2-x),b=(-3-x,2x)(xR),则|a+b|的取值范围为【导学号：00680057】【解析】a+b=(x,x+2),|a+b|=y/xAx+22=2x2+4x+4=勺2x+1_2+2y2,|a+b|e$,+8).【答案】42,+8)探究共研型向量的夹角与垂直问题探究1设a, b都是非零向量,cos 0如何用坐标表示？a=(xi, yi) , b=(x2, y2), e 是 a 与 b 的夹角，那么【提示】a bcos 9 =|a| b|x1x2+ y

8、1y22 .222.x1+ y1 x2+ y2探究2已知向量a = （1,2）,向量b=（x, 2）,且a，（a b）,则实数x等于?【提示】由已知得ab=(1x,4).-a_l_(ab),a,(ab)=0.a=(1,2),1-x+8=0,.1.x=9.k）,且a与b的夹角为锐角，则实数 k的取值例国(1)已知向量a=(2,1),b=(1,范围是（）11.A.(-2,+8)B.-2,2U+C.(8,2)D.(2,2)(2)已知在ABC43,A(2,1),B(3,2),C(-3,1),AD为BC边上的高，求|而与点D的坐标.a-b0,【精彩点拨】（1）可利用a,b的夹角为锐角？求解.aw入b（2

9、）设出点D的坐标，利用BDfBC共线，AblBC列方程组求解点D的坐标.1【自王解答】（1）当a-b共线时，2k1=0,k=-,此时a,b万向相同，夹角为0,所以要使a与b的夹角为锐角，则有ab0且a,b不同向.由ab=2+k0得k-2,且111、“kw2,即实数k的取值范围是一2,2u万，+8，选b.(2)设点D的坐标为(x,y),贝UKD=(x2,y+1),BC=(6,3),Bb=(x3,y2). ,D在直线BC上，即BDB或线，存在实数入，使Bb=xBC即(x3,y-2)=入(一6,3),x3=6人,y2=3入, ,.x-3=2(y-2),即x-2y+1=0.又ADLBCAD-BC=0,

10、即(x2,y+1)(-6,-3)=0,6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y3=0.由可得y=i,即D点坐标为(1,1),AD=(-1,2), IAD=弋2+22=yJ5,综上，|前=由，中,1).1 .利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积(2)求模.利用|a|=1x2+y2计算两向量的模.(3)求夹角余弦值.由公式cose=x1x2+ yy2求夹角余弦值(4)求角.由向量夹角的范围及cos8求8的值.2.涉及非零向量a, b垂直问题时，一般借助a - b = x1x2 + y/2= 0 来解决.再练一题3.已知a=(

11、1,2),b=(1,入)，分别确定实数入的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角.【解】设a与b的夹角为0,贝Ua-b=(1,2)-(1,入)=1+2入.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos0=0,所以a-b=0,所以1+2入=0,所以、1入=-5(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos80且cos01,所以a-b0且a与b不反向.1由ab0得1+2入0,故入0,且cos0*1,所以ab0且a,b不同向.,.311八由ab0,得入-由a与b同向得入=2,所以入的取值范围为一万，2u(2,+0).:课堂呷情即时足体验落实评价1.已知a=(

12、1,1),b=(2,3),则ab=()A.5B.4C.2D.1【解析】ab=(1,1)(2,3)=1X2+(-1)X3=-1.【答案】D2 .已知a=(2,1),b=(x,2),且ab,则x的值为()A.1B.0C.1D.2【解析】由题意，ab=(2,1)(x,2)=-2x-2=0,解得x=-1.故选A.【答案】A3 .已知a=(3,1),b=(1,2),则a与b的夹角为()7tB.一兀D.万兀A.一6兀C.y#2+2 =邓,故a与b的夹角为【解析】a，b=3xi+(i)x(2)=5,|a|=13?+H之=JT0,|b|=2.又0w9%,9=-4.【答案】B4 .已知a=(3,4),则|a|=.【解析】因为a=(3,4),所以同=J32二二T1=5.【答案】55 .已知向量a=(3,1),b=(1,2),2求：(1)ab;(2)(a+b)；