一些特殊曲线

1、精选ppt5 旋轮线 6 旋轮线也叫摆线7 旋轮线是最速降线 8 心形线 9 星形线 10 圆的渐伸线 11 笛卡儿叶形线 12 双纽线13 阿基米德螺线 14 双曲螺线1516 面积 共部分的分别所围成的图形的公cos1及cos 求曲线 rr 3 积 公共部分的面 分别所围成的图形的cos及sin 求曲线 rr2222 围成的面积 与 求曲线422xyxy3 成图形的面积 切线所围 ,0)处的)和点(0, 与其在点 求抛物线33342 xxy1 曲边梯形的面积4 曲边扇形的面积精选ppt19 平行截面面积为已知的立体的体积。20 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得

2、一圆柱楔。求其体积。21 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正 劈锥体的体积。22 旋转体体积(y =f(x)绕x轴) 23 旋转体体积(x =g(y)绕y轴） 24 旋转体体积（柱壳法） 25 旋转体的侧面积1817 部分的面积。分割为两部分，求这两 cos1 1被心形线圆 求由双纽线 )()(222222222 2 2 2ayxyxayx所围而且在圆周内部的面积。.精选pptix1 ix1xi 2x1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代变以常代变) )iiixfS )( 3 3 积零为整积零为整yxoy=f (x)1nx niiixfS1)

3、( ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1.1. f ( i).精选pptix1 ixi 4 4 取极限取极限yxoy=f (x)令分法无限变细令分法无限变细.ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代变以常代变) )3 3 积零为整积零为整 niiixfS1)( iiixfS )( 1.1. .f ( i)精选pptix1 ixi 4 4 取极限取极限yxoy=f (x)令分法无限变细令分法无限变细.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代变以

4、常代变) )3 3 积零为整积零为整 niiixfS1)( iiixfS )( 1.1. .f ( i) niiixf1)(lim 记记S =. baxxfd )( S.ab精选ppt 围围成成的的面面积积与与 求求曲曲线线 4 4 xyxy 2。0y x2.2.444解方程组：解方程组： xyxy得交点：得交点：(8, 4)， (2,2)问题：选谁为积分变量？问题：选谁为积分变量？ d) (yyyS 18 精选ppt 切切线线所所围围成成图图形形的的面面积积 和和点点( (3 3, ,0 0) )处处的的 与与其其在在点点 求求抛抛物物线线)(0, xxy。3.3.xyo3 3 xy 由由得

5、两切线的斜率为得两切线的斜率为 , k故两切线为故两切线为 , : xyl其交点的横坐标为其交点的横坐标为 x d)(xxxx 。 k xyl : d)34(342230 xxxx。S =l1l2精选ppt ( )d o +d r = ( )1 1 取极角取极角 为积分变量，为积分变量， 其变化区间为其变化区间为 , , d)(d S以圆扇形面积近似小以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到曲边扇形面积，得到面积元素：面积元素： , . d)(S. 4. 4. dSS3 作定积分作定积分.r 精选pptxa圆上任一点所画出的曲线。圆上任一点所画出的曲线。5.5. 旋轮线旋轮线一圆沿直线无滑动地滚动

6、，一圆沿直线无滑动地滚动，精选pptx来看动点的慢动作来看动点的慢动作圆上任一点所画出的曲线。圆上任一点所画出的曲线。.一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，5.5. 旋轮线旋轮线精选ppt2a2 a0yx ax = a (t sint)y = a (1 cost)t t 的几何意义如图示的几何意义如图示ta当当 t 从从 0 2 ，x从从 0 2 a即曲线走了一拱即曲线走了一拱a圆上任一点所画出的曲线。圆上任一点所画出的曲线。5.5. 旋轮线旋轮线.一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，精选pptx=a (t sint)y=a (1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒

7、置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板6.6. 旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线精选pptx=a (t sint)y=a (1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板.6.6. 旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线精选ppt.6.6. 旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线x=a (t sint)y=a (1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板精选ppt两个旋轮线形状的挡板两个旋轮线形状的挡板, , 使摆动周期与摆幅完全无关。使摆动周期与摆幅完全无关。在在1717世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称世纪，旋轮线即

8、以此性质出名，所以旋轮线又称摆线摆线。.6.6. 旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线x=a (t sint)y=a (1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板精选pptx=a (t sint)BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题最速降线问题: : 质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1 cost)7. 7. 旋轮线是最速降线旋轮线是最速降线生活中见过这条曲线吗？生活中见过这

9、条曲线吗？精选pptx=a (t sint)BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题最速降线问题: : 质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1 cost).生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗？7.7. 旋轮线是最速降线旋轮线是最速降线精选pptx=a (t sint)BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题最速降线问题: : 质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在

10、重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1 cost)生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗？7.7. 旋轮线是最速降线旋轮线是最速降线.精选pptx=a (t sint)BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题最速降线问题: : 质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1 cost)生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗

11、？滑板的轨道就是这条曲线滑板的轨道就是这条曲线7.7. 旋轮线是最速降线旋轮线是最速降线.精选pptxyoaa一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。8.8. 心形线心形线 (圆外旋轮线圆外旋轮线)精选pptxyoa来看动点的慢动作来看动点的慢动作一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.8.8. 心形线心形线 (圆外旋轮线圆外旋轮线)a精选pptxyoaa2a来看动点的慢动作来看动点的慢动作一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑

12、动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。. (圆外旋轮线圆外旋轮线)8.8. 心形线心形线精选pptxyo2ar = a (1+cos )0 2 0 r 2aP r一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。. (圆外旋轮线圆外旋轮线)8.8. 心形线心形线精选pptxyoa4a a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。9.9. 星形线星形线 (圆内旋轮线圆内旋轮线)精选pptxyoa a来看动点的慢动

13、作来看动点的慢动作一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。. .9.9. 星形线星形线 (圆内旋轮线圆内旋轮线)精选pptxyoa a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。来看动点的慢动作来看动点的慢动作.9.9. 星形线星形线 (圆内旋轮线圆内旋轮线)精选pptxyo323232ayx 33sincosayaxa a0 2 或或.P .一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出

14、的曲线。所画出的曲线。.9.9. 星形线星形线 (圆内旋轮线圆内旋轮线)精选ppt )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动） 直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹10.10. 圆的渐伸线圆的渐伸线a精选ppt )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动） 直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹.a10.10. 圆的渐伸线圆的渐伸线再看一遍再看一遍精选ppt )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy.a一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（

15、无滑动）滚转（无滑动） 直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹10.10. 圆的渐伸线圆的渐伸线精选ppt )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy.a一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动） 直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹10.10. 圆的渐伸线圆的渐伸线精选ppta0 xMttaat(x,y) )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy试由这些关系推出曲线的方程试由这些关系推出曲线的方程.一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动） 直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹10.10. 圆的渐伸线圆的渐伸线精选ppt1.

16、 曲线关于曲线关于 y= x 对称对称2. 曲线有渐进线曲线有渐进线 x+y+a = 0分析分析3. 令令 y = t x, 得参数式得参数式 1313323 tatytatx-1) ,(- tt , t 当当, 0 t 当当故在原点，曲线自身相交故在原点，曲线自身相交.,t 由由 当当 ),-(0,0) 动动点点由由,t 由由 当当 (0,0),( 动动点点由由,t 由由 当当(0,0)(0,0) 动动点点由由线线. .依依逆逆时时针针方方向向画画出出叶叶形形)( 00333 aaxyyx11.11.卡儿卡儿形形线线)0 , 0(),( yx)0 , 0(),( yx也也有有4.精选ppt0

17、 xyx+y+a = 0)( 00333 aaxyyx曲线关于曲线关于 y= x 对称对称 1313323 tatytatx曲线有渐近线曲线有渐近线 x+y+a=0.11.11.卡儿卡儿形形线线精选ppt即即0 xya2P,2 aFF )0 ,( aF )0 ,(aF FF 与到)(2a r cos2222raar cos2222raar 42222222cos4)()(aarar 2cos222ar 02cos )2 ,47()45,43()4, 0( . .)(2)( 222222yxayx 曲线在极点自己相交，与此对应的角度为曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =,4 ,43 ,45

18、47 . . . . .距离之积为距离之积为a2的点的轨迹的点的轨迹直角系方程直角系方程12. 双双线线精选ppt0 xya2 2cos222ar .所围面积所围面积4 . )d( rS22a . .由对称性由对称性 dcos a.12. 例例精选ppt0rr =a 曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线13.13. 阿基米德螺线阿基米德螺线精选ppt0r曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动

19、同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线.13.13. 阿基米德螺线阿基米德螺线r =a 精选ppt0r曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线再看一遍再看一遍请问：动点的轨迹什么样？请问：动点的轨迹什么样？.13.13. 阿基米德螺线阿基米德螺线r =a 精选ppt0r.13.13. 阿基米德螺线阿基米德螺线r =a 精选ppt0rr =a .13.13. 阿基米德螺线阿基米德螺线精选ppt0rr =a

20、 .13.13. 阿基米德螺线阿基米德螺线精选pptr这里这里 从从 0 +8r =a 02 a每两个螺形卷间沿射线的距离是定数每两个螺形卷间沿射线的距离是定数.13.13. 阿基米德螺线阿基米德螺线精选ppt0r8当当 从从 0 r =a .13.13. 阿基米德螺线阿基米德螺线精选ppt ar r0.这里这里 从从 0 +8a0lim r 极极点点是是曲曲线线的的渐渐近近点点 sinry sin aay 0lim是是曲曲线线的的渐渐近近线线ay .14.14. 双曲螺线双曲螺线精选ppt ar r0.当当 从从 0 8a.14.14. 双曲螺线双曲螺线精选pptxyo15.15.2d)co

21、s1(21230 .S = =1+cos 3r =3cos 部部分分的的面面积积 共共 分分别别所所围围成成的的图图形形的的公公 及及 求求曲曲线线rr coscos 由由 3cos =1+cos 得交点的坐标得交点的坐标 232dcos29 23.精选ppt.16.1 部部分分的的面面积积 共共 分分别别所所围围成成的的图图形形的的公公 及及 求求曲曲线线rr cossin2 0 xy令令 cos2 = 0, k由由 sin 0, 联立后得交点坐标联立后得交点坐标, dcos22146 . . .dsin221260 S = 26 .4 精选ppt的的面面积积。部部分分分分割割为为两两部部分

22、分，求求这这两两 被被心心形形线线圆圆 cos11 xyo17.17.1 d)cos( s1s2ss ss .sS = =1+cos 精选ppt求由求由双纽线双纽线0 xyar cos.212 2a . .由对称性由对称性.18.a a6 )()(2 2 所所围围而而且且在在圆圆周周 2 2ayxyxayx 内部的面积。内部的面积。双纽线化成极坐标双纽线化成极坐标 a)(令令 r = 0, k k, ar令令 dcos221246a S = 4+.4 精选pptxA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为已知平行截面面积为 A(x)的立体的立体 baxxAVd)(.aV19.19. 平行截

23、面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积b精选ppt半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。22xRy R oxy20.20.精选pptoyRxRR20.20.半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。精选pptoyRxxy22xR RRxxRd)tan( tan R RRxxAVd)(RR. )tan( xR.y tan (x, y),截面积截

24、面积A(x).半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。20.20.精选pptoyRxRR .20.20. 半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。精选pptoyRxRR ABCD BC tan yRyDC222yR . RyyRy022d tan2 tan R RyySV)d(.截面积截面积S(y) (x, y)= 2x= ytan .S(y).20.20.

25、 半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。精选ppt hRxoyR21.21. 求以半径为求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶， 高为高为h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。精选ppt hRxoxA(x)A(x)yh xRhV = RRxxAd )(. RRxxRhd hRdcos22022 hR . . .Ry21.21. 求以半径为求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，的圆为底，平行且等于底圆直径的线段

26、为顶， 高为高为h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。y精选pptxf(x)ab 曲边梯形：曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x轴旋转轴旋转22. 22. 求旋转体体积求旋转体体积精选pptxf(x)abx.111111111 )(xA)( 2xf baxxf)d(. 曲边梯形：曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x 轴旋转轴旋转22. 22. 求旋转体体积求旋转体体积V =x=g(y)yx0cd曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕绕 y轴轴23.23. 求旋转体体积求旋转体体积x=g(y)yx0cd曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕绕 y轴