线性变换的值域与核

1、§ 6 线性变换的值域与核一、定义设 A 是线性空间 V 的一个线性变换， A 的全体像组成的集合称为 A 的值域，用 AV 表示.所有被A 变成零向量的向量组成的集合称为A 的核，用A 1(0) 表示.若用集合的记号则AV=|V,A1(0) =|0,V这里用表示A，公式里打不出来.1线性变换的值域与核都是V 的子空间 .2AV 的维数称为A 的秩， A 1 (0) 的维数称为 A 的零度 .二、如何求值域、核1如何求线性变换的值域？定理 10 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换，1 , 2 , n 是 V 的一组基，在这组基下 A 的矩阵是 A ，则1）A 的值域 A V

2、是由基像组生成的子空间，即AV = L(1,2 ,n )2）A 的秩 = A 的秩.定理 10 说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变.AV = L(1 ,2 ,n ) ，实质上是求它的一个线性极大无关组，即求矩阵A的列向量组的一个极大线性无关组例 1 在线性空间 P xn 中，令D( f (x)f ( x)则 D 的值域就是 P xn 1 .例2令VXx11x12xij是实数， 定义变换:V V，对于 XV ，x21x22( X )11X12，1111（ 1）证明是线性变换（2）求的秩证明：（1）对于任取 a,bR, X,YV，我们有11( aXbY )12a ( X ) b(Y) ，从而

3、是一个线性变换( aX bY)1111（ 2）显然 E11001, E30000是 V 的一组基。0, E2001, E4010012(E3) ，(E2 )11(E4) ， 从而 V 的像空间V 由(E1)211112,11生成，再证它们线性无关，得到的秩是 2，12112如何求线性变换的核对于1(0) ， 1, 2,n 是 V 的一组基，在这组基下A 的矩阵是 A ，则x1() 0，( 1 ,2, n )x2 ， 我们得到xnx1x1 ( )(1,2, n )x2( 1 , 2 , , n ) Ax20。xnxnx1从而x20， 即的坐标满足这个齐次线性方程组；反之亦然Axnx1x11(0)

4、,(1, 2, n )x2当且仅当的坐标满足 Ax20xnxn在 例 1中，D 的核就是子空间 P.在例2中,求的核对于 X1 (0),我们有(X) 0. 因为( X )1 1X1 21 1 x11x121 21 11 11 1 x21x221 1x11x21x12x2212x11x21x12x2211x11x21x12x222x112x21x12x22x11x21x12x222x112x21x12x22从而有x11x21x12x220x11x21x12x220得到x11x21x12 x2202x112x21x12x2202x112x21x12x2202x112x21x12x220即 :x11

5、x210,我们找到1(0) 的一组基 :1001x12x22010,10三、定理设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换，则 A V 的一组基的原像及 A 1 (0) 的一组基合起来就是 V 的一组基 . 由此还有A 的秩 + A 的零度 =n1推论对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是它是满射.例：注意在上述推论中，要求是有限维线性空间，对于无限维线性空间，推论不一定成立，在线性空间 P x 中，令D( f (x)f ( x)则 D 是满射，但不是单射 .2虽然子空间 AV 与 A 1 (0) 的维数之和为 n ，但是 A V + A 1 ( 0) 并不一定是整个空间 .见例

6、1例 3 设 A 是一个 nn 矩阵， A2A ，证明 A 相似于一个对角矩阵11100证法 1：设 V 是 n 维线性空间 ,1 , 2 , , n 是 V 的一组基，在这组基下矩阵 A对应着线性变换，即: ( 1, 2,n ) =( 1, 2 , , n ) A , 我们有2(1)任取V ,我们有()() ,即:VV1(0)(2)V1 (0)0,从而VV1 (0)(3)在V 中选取一组基 1 ,t,在1 (0)中选取一组基t 1, , n ,11则线性变换在该基下的矩阵就是,从而A相似于它 .100证法 2:对于没有学过高等代数知识,只学过线性代数可以这样做(1)A2A,我们得到A 的特征

7、值是 0和 1(2) 下面证明 A 有 n 个线性无关的特征向量 ,(i)矩阵 A属于特征值 0的特征向量是 (0 EA)X 0的非零解 , 即 AX0 的非零解 .它的基础解系含nR( A)个解向量 , 也就是 A属于特征值 0 的线性无关的特征向量有n R( A)个.(ii)矩阵A属于特征值1 的特征向量是 (EA) X0 的非零解 , 它的基础解系含nR( EA)个解向量 , 也就是 A 属于特征值 1的线性无关的特征向量有 nR(E A) 个两者合起来 ,矩阵 A有线性无关的特征向量 2nR( A)R(EA) 个, 所以我们只须证明 R( A)R(EA)n(4)证明 R( A)R( EA)n见第四章 17