函数的单调性与曲线的凹凸性

1、 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性关于函数的单调性与曲线的凹凸性现在学习的是第一页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性20)( xf0)( xf定理6.8, 0)(),()2( xfba内内如果在如果在单调增加;单调减少.一、函数单调性的判别法xyOabAB)(xfy xyO)(xfy abAB设函数y = f (x)在a, b上连续,在(a, b)内可导.那末函数y = f (x)在a, b上那末函数y = f (x)在a, b上, 0)(),()1( xfba内内如果在如果在现在学习的是第二页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性3证,21baxx ,21xx 且且 拉

2、氏定理)()()(1212xxfxfxf , 0)( f则则),()(12xfxf , 0)( f则则),()(12xfxf )(21xx , 0)( xf, 0)( xf(1)(2) 此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确.注若在(a, b)内,若在(a, b)内,因为所以y = f (x)在a, b上单调增加;因为所以y = f (x)在a, b上单调减少.现在学习的是第三页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性4例解.1e的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xyx. 1e xy,)0,(内内在在 , 0 y,), 0(内内在在 , 0 y.), 0单调增加单调增加函数在函数在

3、).,( 定义域为;0,(单调减少单调减少函数在函数在 因为所以所以现在学习的是第四页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性5方法不存在不存在的根及的根及用方程用方程)(0)(xfxf 问题如上例, 函数在定义区间上不是单调的,若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数的符号.的分界点二、函数单调区间的求法但在各个部分区间上单调.则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间的点划分函数f (x)的定义区间,现在学习的是第五页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性6例解的的确定函数确定函数31292)(23 xxxxf12186)(2 xxx

4、f)2)(1(6 xx, 11 x. 22 x).,(定义域)1 ,( )2 , 1(), 2( x)(xf)(xf 单调区间为,1 ,(,2 , 1 )., 2 xyO1122,0)(得得解方程解方程 xf单调区间.现在学习的是第六页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性7例解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf )0(,32)(3 xxxf,0时时当当 x单调减少区间为,0 ,( )., 0 32xy )0,(), 0( x)(xf)(xf ).,( 定义域xyO单调增加区间为导数不存在.现在学习的是第七页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性(1)驻点和导

5、数不存在的点不一定是单调区间的分界点。如,3xy , 00 xy上上但在但在),(注单调增加.3xy xyO(2):区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为零,不影响区间的单调性.如,),(sin 在在xxy内可导,且xycos1 等号只在), 1, 0()12( kkx (无穷多个离散点)处成立,故),(sin 在在xxy内单调增加., 0 现在学习的是第八页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性9例.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx 单调性的应用:(1) 证明不等式.证),1ln()(xxxf 设设( ).1xfxx;), 0上单调增加上单调增加所以在所以在,0时时所所

6、以以当当 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即, 0)( xf, 0)0()( fxf0)0( f且且现在学习的是第九页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性10例证xxxfxsine21)(2 设设xxxfxcose)( , 0)(, 10 xfx.1 , 0)(上上单单调调增增加加在在所所以以xf 定不出符号0)0( f且且0)0( f且且.1 , 0)(Cxf 0 .21sine, 102xxxx 证明证明xxfxsine1)( 现在学习的是第十页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性11 )(,10 xfx有有时时当当0sine212 xxx,10时时当当 x

7、, 0)(, 10 xfx.1 , 0)(上上单单调调增增加加在在所所以以xf )(xf有有)0(f . 0 .1 , 0)(Cxf )0(f. 0 xxxfxcose)( 即xxxfxsine21)(2 上单调增加上单调增加在在1 , 0)(xf .21sine2xxx 现在学习的是第十一页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性(a) 方程根的存在性：零点定理(b) 方程根的唯一性：Rolle定理或单调性(c) 方程根的个数：须确定单调区间，由区间端点的单侧极限，结合零点定理确定根的个数以及根所在的区间。(2) 确定某些方程实根的个数单调性的应用:现在学习的是第十二页，共42页 6.

8、4 函数的单调性与曲线的凹凸性内的实根。在例讨论方程) 1 , 0(01223xxx解, 12)(23xxxxf令令上连续，上连续，在在则则 1 , 0)(xf(0)1,(1)3,ff 因由零点定理，内内至至少少有有一一个个零零点点。在在1 , 0)(xf时，时，1 , 0 x223)( 2xxxf0所以，内单调递增，内单调递增，在在1 , 0)(xf因此，f (x)的图形与x轴至多有一个交点，内至多有一个零点。内至多有一个零点。在在1 , 0)(xf所以，内有且只有一个零点，内有且只有一个零点，在在1 , 0)(xf即原方程有且仅有一个根。现在学习的是第十三页，共42页 6.4 函数的单调性

9、与曲线的凹凸性例判断方程0|2| xex有几个实根,并指出各个根所在的区间. 方法：须确定单调区间 、区间端点值（或单侧极限），从而判定根的个数以及根所在的区间。解( )|2|xf xex令222,2xexxxexx ，12( )1,2xexfxxex，02xx 是导数为零的点，是导数不存在的点，现在学习的是第十四页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性22( )2,2xexxf xxexx ，12( )1,2xexfxxex，02xx 是导数为零的点，是导数不存在的点，列表x)(xf )(xf2( 2,0)0(0,)(, 2) 不存在2e01lim( )lim(2),xxxf xex

10、 lim( )lim(2)xxxf xex 有一根有一根有一根现在学习的是第十五页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性16(concave and convex)三、曲线凹凸性的判别法1. 定义如何研究曲线的弯曲方向xyOABC现在学习的是第十六页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性17)(xfy )(xfy 1x2x1x2x定义6.1,)(baCxf 设设,2)()()2(2121xfxfxxf 恒有凹2)()()2(2121xfxfxxf (凸)221xx 221xx 图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方xyOxyO如果对(a, b)内任意两点x

11、1, x2,那么称f (x)在(a, b)内的图形是 的.现在学习的是第十七页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性18)(xfy )(xfy 曲线弧上每一点的切线都在曲线的下或定义 (上)方,称为凹 弧.(凸)凹弧的曲线段)(xf 即即 f (x)的切线斜率是单增的,是单增的,弧的切线斜率是单减的,)(xf 即即是单减的.而凸利用二阶导数判断曲线的凹凸性从几何直观上,随着x的增大,xyOxyO现在学习的是第十八页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性19递增递增)(xf 0)( xf递减递减)(xf 0)( xf定理6.9具有二阶导数,0)( xf若若),0( 凹(凸)2.

12、凹凸性的判别法xyOabAB)(xfy xyOabAB)(xfy 如果 f (x)在a, b上连续,在(a, b)内在(a, b)内,在a, b上的图形是 的.则 f (x)现在学习的是第十九页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性20证20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf )(0之间之间与与在在xx )()()(000 xxxfxfxf即)()()(000 xxxfxfxf 这说明切线位于曲线的下方,),(0bax 任取任取 泰勒公式),(bax 处的切线处的切线在在曲线曲线0)(xxfy 0 20)(! 2)(xxf 即f (x)是凹的.),(bax 0)(

13、xf若若现在学习的是第二十页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性例.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为为凸凸的的；在在曲曲线线0 ,( 时，时，当当0 x, 0 y.), 0为为凹凹的的在在曲曲线线 注)0 , 0(点点 凸变凹的分界点.是是曲曲线线由由3xy xyO 现在学习的是第二十一页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性例利用函数图形的凹凸性证明不等式:凹凸性的应用：证明不等式22)1, 0, 0(2)(21 nyxyxyxyxnnnnttf )( )(tf )(tf)()(21yfxf 即.2)(21nnn

14、yxyx 证,1 nnt2)1( ntnn0 yxt,0内任意两点内任意两点对对 2yxf)0( t设图形是凹的.现在学习的是第二十二页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性证法一用单调性证.法二用凹凸性证.,2sin)(xxxf ,2cos)( xxf.)(的图形是凸的的图形是凸的xf, 0)0( f又又, 0)( xf因因此此.2sinxx .2sin,20:xxx 时时当当证明不等式证明不等式例xxfsin)( 设则, 0 , 0)2( f即现在学习的是第二十三页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性1.定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.几何上二、曲线的拐点及其求

15、法3xy xyO0)( xf0)( xf现在学习的是第二十四页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性25,)(0变号变号两近旁两近旁xfx ,)(0不变号不变号两近旁两近旁xfx 拐点的充分条件0)(0 xf且且2. 拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.拐点的必要条件若f (x)具有二阶导数,则点. 0)(0 xf(1)(2)(x0, f (x0)是拐点的必要条件为(或x0为二阶导数不存在的点)设函数f (x)在点x0邻域内二阶可导,点(x0, f (x0)即为拐点;点(x0, f (x0)不是拐点.现在学习的是第二十五页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性一般

16、求拐点的步骤求二阶导数; 求二阶导数的零点与二阶不可导点;求相应区间的二阶导数符号,判别凹凸性;求拐点.(1)(2)(3)(4)现在学习的是第二十六页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性27例.95)2(235的拐点及凹、凸性的拐点及凹、凸性求曲线求曲线xxy 解),( ,910)2(3532xxy .)2()2(19103131 xxy, 0 y令令, 31 x得得 不不存存在在的的点点y 不存在定义域为(1)(2). 22 x(3)列表x)2 ,( ), 3( )3 , 2(23)(xf )(xf 0拐点拐点)920, 2( )4, 3( 现在学习的是第二十七页，共42页 6.4

17、 函数的单调性与曲线的凹凸性28例.)2 , 0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线xxy 解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令,431 x得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0),0 ,43(拐点的第二充分条件, 0)(0 xf且且,0)(0 xf而而.472 x).0 ,47(设函数f (x)在x0的邻域内是曲线 y = f (x)的拐点.三阶可导,那末(x0, f (x0)现在学习的是第二十八页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性29例.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解,0

18、时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx , 0,)0 ,( y内内但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上是凸的上是凸的曲线在曲线在.)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 现在学习的是第二十九页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性3032)1(xxy 求求例的单调区间、凹凸区间和拐点.解,3235xxy 31323235 xxy)52(3531 xxyx 处处0不存在,处处52 x. 0 y y),51(91034 xx343192910 xx,51处处 x. 0 y

19、不存在x)51,( 0y 拐点)2556,51(3 y y51 )0 ,51( )52, 0(52),52( 0 0 单调增加区间),52()0 ,( 及及单调减少区间)52, 0(凸区间凹区间)51,( )., 0()0 ,51( 和和不存在现在学习的是第三十页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性31考研数学( 三,四)10分设函数 y = y (x)由方程0ln yxyy确定,试判断曲线 y = y (x)在点(1,1)附近的凹凸性.解0ln yxyy在在两边对x求导得, 012ln yyy解得,ln21yy 两边对x再求导得,)ln2(2yyyy 代入得代入得将将y ,)ln2

20、(13yyy 现在学习的是第三十一页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性32考研数学( 三,四)10分设函数 y = y (x)由方程0ln yxyy确定,试判断曲线 y = y (x)在点(1,1)附近的凹凸性.,)ln2(13yyy 代入得代入得将将1, 1 yx.81)1( y由于二阶导函数1 xy 在在的附近是连续函数,所以由,81)1( y1 x可知在可知在的附近, 0 y故曲线 y = y (x)在点(1,1)附近是凸.现在学习的是第三十二页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性33五、小结单调性的判别单调性的应用:改变弯曲方向的点:凹凸性;拐点;利用函数的单调性

21、可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.研究曲线的弯曲方向:凹凸性的应用:利用凹凸性证明不等式.现在学习的是第三十三页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性34证 只要证.lnlnbaab 令,lnln)(xaaxxf ax 0)( afxaaxf ln)(xa 1,时时当当ax ,)(时单调增加时单调增加在在axxf 所以,时时当当ab )()(afbf 即有, 0lnln baabbaablnln 得.abba , 0 0 思考题1也即., eabbaab 证明证明设设现在学习的是第三十四页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性35作业习题6.4(219页)1. 5.奇数题

22、 6.(1)(3)(9)(12) 7. 9.(2)(4) 10.(2)(3) 12.现在学习的是第三十五页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性36思考题2考研数学二, 8分,0ba 设设证明不等式.1lnln222abababbaa 证 先证右边不等式.设axaxaxx lnln)( ),0( ax0)( a )221(11)(xxaxaxx axxax2)(2 0 ,时时当当ax )(x 单调减少,故有)()(ax 0 即.lnlnaxaxax bbb现在学习的是第三十六页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性37思考题2考研数学二, 8分,0ba 设设证明不等式.1lnl

23、n222abababbaa 再证左边不等式.方法一设函数xxfln)( ),0( ax由拉氏定理知,至少存在一点),(ba 使 abablnln由于,0ba 1从而.2lnln22baaabab xx)(ln,1 ,222baa b1现在学习的是第三十七页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性38思考题2考研数学二, 8分,0ba 设设证明不等式.1lnln222abababbaa 再证左边不等式.方法二设)(2)ln)(ln()(22axaaxaxxf ),0( ax因为axaxaxxxf21)()ln(ln2)(22 xaxaxx2)()ln(ln2 0 ,时时故当故当ax )(xf单调增加,故有)()(afxf 0 0)( af即0)(2)ln)(ln(22 axaaxax从而,0时时当当 ab0)(2)ln)(ln(22 abaabba即ababbaa lnln222现在学习的是第三十八页，共42页 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性39考研数学(一, 二) 12分).(e4lnln,ee2222ababba 证明证明设设证法一,e4ln)(22xxx 设设则,e4ln2)(2 xxx ,ln12)(2xxx 所以,e时时当当 x, 0)( x )(x 故故单调减少,从而,ee2时时当当 x)e ()(2 x,ee2时时即当即当 x