32简单的三角恒等变换（二）

1、3.2 简单的三角恒等变换（二）结合右图体会公式的推导过程结合右图体会公式的推导过程22tantan2 =1tan你能把下列各式化为一个角的三角函数形式吗你能把下列各式化为一个角的三角函数形式吗? ?31sincos ;22(1)sincos ;(2)cossinsincossin().666 222(sincos )2(cossinsincos )22442sin().4 sincos =axbx那么 ？1.1.通过三角恒等变换，把形如通过三角恒等变换，把形如 的的函数转化为形如函数转化为形如 的函数的函数. .( (重点）重点）y= sincosaxbxsin()yAx2.2.灵活利用公式

2、，通过三角恒等变换，解决函数灵活利用公式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题的最值、周期、单调性等问题. .( (重点、难点重点、难点) )3.3.灵活运用三角公式解决一些实际问题灵活运用三角公式解决一些实际问题 2222222222222222cos,sinsincos(sincos )cossinsincossincoscos sinsin.令abababaxbxababxxabababxxabxxabx1. sincosaxbx的变形及应用sincosaxbx能化成一个角的三角函数值吗？例例1 1 求函数求函数 的周期，最大值和最的周期，最大值和最小值小值. .sin3

3、cos yxx分析：分析：利用三角恒等变换，先把函数式利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值化简，再求相应的值. .sin3cos132( sincos )22解解：yxxxx2(sinxcoscosxsin)332sin(x).3所所以以周周期期T = 2T = 2，最最大大值值为为2 2，最最小小值值为为-2.-2. 通过三角恒等变换，我们把形如通过三角恒等变换，我们把形如 的函数转化为形如的函数转化为形如 的函数，从而的函数，从而使问题得到简化使问题得到简化. .sincosyaxbxyAsin( x) 22( )cos2sin,( ).例例 已已知知函函数数求求的的单单调调 增

4、增区区间间f xxxf x1 cos211( )cos2cos2.222解解：xf xxx+2k2x2k ,kZf(x)kxk ,kZ.2 当时，为增函数，即f(x)k,k(kZ).2所所以以函函数数的的单单调调增增区区间间为为2.2.三角变换在化简，证明中的应用三角变换在化简，证明中的应用. .cos10tan103.sin50例例3 3 化化简简sin10cos103cos10sin50sin103cos10cos10cos10sin50解解：原原式式 （）（）ooooo ooooooooooo1313sin10 -cos10sin10 -cos102222= 2= 2sin50sin50

5、sin(10 -60 )sin(-50 )sin(10 -60 )sin(-50 )= 2= 2= -2.= 2= 2= -2.sin50sin50sin50sin50【提升总结提升总结】常见的三角变形技巧有常见的三角变形技巧有 切割化弦；切割化弦； “ “1”1”的变用；的变用； 统一角度，统一函数，统一角度，统一函数， 统一形式等等统一形式等等3.3.三角变换在实际问题中的应用三角变换在实际问题中的应用例例4 4 如图，已知如图，已知OPQOPQ是半径为是半径为1 1，圆心角为，圆心角为 的扇形，的扇形，C C是扇形弧上的动点，是扇形弧上的动点，ABCDABCD是扇形的内接矩形，是扇形的内

6、接矩形，记记 ，问当角，问当角 取何值时，矩形取何值时，矩形ABCDABCD的面积的面积最大？并求出这个最大面积最大？并求出这个最大面积. .3COP 分析：分析：（1 1）找出）找出 与与 之间的函数关系之间的函数关系. .S（2 2）由得出的函数关系，求）由得出的函数关系，求S S的最大值的最大值. .OABPCDQRt OBCOBcos ,BCsin .DARt OADtan603.OA在在中中，解解：在在中中o333OADABCsin ,3333ABOBOAcossin .3所所以以所所以以2ABCDS,3SAB BC(cossin)sin33sincossin3设设矩矩形形的的面面积

7、积为为则则13sin2(1 cos2 )26131313(sin2cos2 )sin(2).226663350236662626133S6633ABCD66 最最大大由由得得所所以以当当，即即时时，因因此此,当,当时时，矩矩形形的的面面积积最最大大，最最大大面面积积为为+=+= =.=.,.221.f(x)cos x2 3sinxcosxsin x 2函数的最小正周期是（ ）. A. B.C.2 D.4f(x)3sin2xcos2x2sin(2x).62T.2 所所以以解解：B B22ysin x2 3sinxcosx3cos x2(,).6 32.2.求求函函数数在在区区间间上上的的值值域域

8、 1 cos2x1 cos2xy3sin2x32223sin2xcos2x42sin(2x)4.6 =解解：5x,2x.636661sin(2x)1.3y6263 6因因为为所所以以所所以以所所以以所所以以值值域域为为 ，. . .2cos10sin20.sin703.3.求求值值：2cos(3020 )sin20cos202(cos30 cos20sin30 sin20 )sin20cos203cos203 .cos20 解解 原原式式 = =：4.4.已知半径为已知半径为1 1的半圆，的半圆，PQRMPQRM是半圆的内接矩形，是半圆的内接矩形，如图，如图，P P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积的值最大面积的值PQRMO分析：分析：连接连接OP,OP,设设 用角用角 表示面积表示面积. .POM, PQRMOPOM,OMOPcoscos ,PMO sinsin ,接接O OP P, ,设设则则P P连连 解解 : :PQRM2OM PM2cos sinsin2 .14所所以以矩矩形形的的面面积积S S当当 = =时时，S S最最大大，最最大大值值为为 . . 1yasinxbcosxyAsin( x). . . 形形如如的的函函数数化化成成形形如如 的的函函数数求求解解, ,体体现现化化归归思思想想2. . 用用函函数数法法求求