高中数学空间中的垂直关系直线与平面垂直学案新人教B版必修

1、1.2.3空间中的垂直关系（1）直线与平面垂直自主学习学习目标1 .掌握直线与平面垂直的定义.2 .掌握直线与平面、平而与平而垂直的判定定理及性质定理，并能灵活应用定理证明有关问题.自学导引1 .如果直线1与平面«内的，我们就说直线1与平而a互相垂直，记作,直线1叫做,平面a叫做，它们的唯一公共点叫做.垂线上任一点到垂足之间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到这个平面的距离.2 .直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条直线垂直，则这条宜线与这个平面.3 .如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么4 .直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平

2、面的两条直线.5 .垂直于同一条直线的两个平而.对点讲练知识点一线而垂直的判定1且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD«L平面ABC；如图所示,直角4ABC所在平面外一点S,(2)若AB=BC,求证：8口_1面54(：.点评(1)线面垂直的判定定理是判定线而垂直的最常用思路.(2)线而垂直的定义，给出了线而垂直的必备条件，即直线垂直于平而内的所有直线,是直线垂直平面的必要条件.作为直线与平而垂直的判定并不实用.变式训练1如图所示，已知空间四边形ABCD的边BC=AC,AD=BD,引BE±CD,E为垂足，作AH1BE于点H.求证：AH«L平面BC

3、D.知识点二证明线线垂直如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.求证：AE±SB,AG1SD.点评本题的证明过程很具有代表性，即证明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线而垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线而垂直的相互转化中，平而在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征,以顺利实现证明需要的转化.变式训练2如图所示,在正方体ABCD-ABCD中,E、F分别是棱BC、的中点.求证：CF1AE.知识点三直线与平而垂直的性质定理的应用已知，如图

4、所示，直线a_l_a,直线b_LB,且ABJ_a,AB±b,平面aCB=c.求证：AB/7c.点评判断线线、线而的平行或垂直关系，一般依赖于判定定理和性质定理，有时候也可以放到特征几何体（如正方体，长方体，正棱柱等）中，判断它们的位置关系.变式训练3如图所示，在正方体ABCDABCQ中,EF±AC,EFJ_A,D,求证：EF/7BD：.1 .直线与平而垂直的判定方法：（1）定义，（2）判定定理.由直线和平面垂直的判定定理知，把线线垂直关系转化为线而垂直关系.在判定定理中，注意“两条”和“相交直线”的重要性.判定线面垂直关键在平面内找出两条相交直线和已知直线垂直.（3）如果两

5、条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平而.这个命题也可作为线面垂直的一个判定方法.证明时常用的转化关系：线线垂直判段理线而垂直.2 .直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平而，则另一条直线也垂直于这个平面.课时作业一、选择题1 .下列命题中正确的个数是（）如果直线1与平面。内的无数条直线垂直，则1，。：如果直线1与平而。内的一条直线垂直，则1，。：如果直线1不垂直于。，则。内没有与1垂直的直线；如果直线1不垂直于Q,则。内也可以有无数条直线与1垂直.A. 0B. 1C.

6、 2D. 32 .空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是（）A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交3 .如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平而构成一个“正交线而对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线而对”的个数是（）A. 12B. 24C. 36D. 484 .如果直线1与平而o不垂直，那么在平面。内（）A.不存在与1垂直的直线8 .存在一条与1垂直的直线C.存在无数条与1垂直的直线D.任意一条直线都与1垂直5 .若m、n表示直线，Q表示平而，则下列命题中，正确命题的个数为（）n©m

7、±om±a_m±a:n±a：m/7n：n±aJ1ma1(m,Ln;出fa.n/aJmj_nJA.1B.2C.3D.4题号1234L0答案二、填空题6 .点P为aABC所在而外一点，若PA=PB=PC,且0，面ABC,则07jAABC的心.7 .已知P是AABC所在平而外的一点，点P与AB、AC、BC的距离相等，且点P在4ABC上的射影。在ABC内，则0一定是AABC的心.8 .在直三棱柱ABC-ABQ中，BC=CC：,当底面A1C满足条件时，有ABBC,（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）.三、解答题9 .如图所示，在四

8、棱锥PABCD中，底而ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底而，E、F分别是AB,PC的中点，PA=AD.（1）求证:CDXPD；（2）求证：EFL平面PCD.10.如图所示，AB是圆0的直径，点C是圆。上的动点，过动点C的直线VC垂直于圆。所在平面，E是VC的中点，D是VA上的点，若DE,平面VBC,试确定D点的位置.【答案解析】自学导引1 .任意一条直线都垂直1，。平而。的垂线直线1的垂面垂足2 .相交垂直3 .另一条也垂直于这个平而4 .平行5 .平行对点讲练1证明（1）SA=SC,D为AC的中点,ASD±AC,在RtZkABC中，则AD=DC=BD.又SA=SB,AAADSABDS

9、.ASD1BD.又ACABD=D,，SD_L而ABC.（2） VBA=BC,D为AC中点,ABDXAC.又由（1）知SD±BD.VSDnAC=D,，BD«L平面SAC.变式训练1证明取AB中点F,连接CF、DF,VAC=BC,ACF1AB.XVAD=BD,，DF_LAB,XVCFnDF=F,，AB_L平而CDF,.AB±CD.又BE_LCD,且ABC1BE=B,直线CD_L平面ABE.ACD±AH.而AH_LBE,CDABE=E,，AH_L平面BCD.2证明因为SAJ_平面ABCD,所以SA_LBC.又BCJ_AB,SAAAB=A,所以BCL平面SAB,

10、又AE平面SAB,所以BCJ_AE.因为SCL平面AEFG,所以SC_LAE.又BCnSC=C,所以AE_L平面SBC,所以AE1SB.同理可证AG1SD.变式训练2证明在平面BICQ中，EF分别是BC、B一的中点,/.ABBiEACBF,JZB：BE=ZBCF.AZBCF+ZEBC=90°,，CF_LBE,又AB_L平面CF平而民BCC,AABXCF,ABCBE=B,，CF_L平面EAB.ACF±AE.3证明过点B引直线a'a,a'与b确定的平面设为Y，因为a'a,ABJ_a,所以ABJ_a',又AB_Lb,a'nb=B>所以

11、AB_Ly.因为bJ_B,cB,所以b_Lc.因为ca,所以a_Lc.又a'Ha、所以a'J_c.由可得c«Ly,又ABJ_y，所以ABc.变式训练3证明连接AB-BCBD,BD.出，平而ABCD,AC平面ABCD,AACXBtB.又AC_LBD,BDnBBi=B,AC_L平面BDDB.XVBDx平面BDDBACJ_BD,，同理可证及C_LBD：.VB1COAC=C,，BD,_L平而ABCVEFXAiD,AJ)BCAEFXBtC.又EFJ_AC且ACnB£=C,，EF_L平而ABC又BD平面ABCAEF/7BD：.课时作业1.B2.C3. C正方体的一条棱长

12、对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”：正方体的一条而对角线对应着1个“正交线面对”，12条而对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个.4. C5.C6. 夕卜7. 内解析如图所示，过点P作PD_LAB,PE±AC,PF_LBC,分别交AB、AC、BC于点D、E、F.0是点P在平面ABC内的射影，连接OD、OE、OF.因为点P到AB、AC.BC的距离相等，且PO_L平面ABC,所以PD=PE=PF,PO=PO=PO,ZP0D=ZP0E=ZP0F=90°,所以OD=OE=OF.因为PO1AB,PD_LAB且PDnPO=P.所以AB_L平而POD,

13、所以AB_LOD.同理可以证得OF_LBC,OE±AC.又因为OD=OE=OF,所以点0到三角形三边的距离相等，故0为三角形ABC的内心.8. ZA1C：B1=90°解析如图所示，连接氏C,由BC=CG,可得BCBC因此，要证则只要证明BC,_L平而ABC即只要证AC_LBG即可，由直三棱柱可知，只要证AC_LBC即可.因为ACAC,BC,BC,故只要证AC_LBC即可.（或者能推出AC_LBC的条件，如NA£B=90°等）9,证明（1）：PA_L底而ABCD,ACD1PA.又矩形ABCD中，CD1AD,且ADCIPA=A,，CD_L平面PAD,ACD±PD.(2)取PD的中点G连接AG,FG.又TG、F分别是PD,PC的中点,AGF又AE，GFAE,/.四边形AEFG是平行四边形,AGEF.VPA=A