2013考研数三真题及解析

1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题,每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上(1) 当X0时,用O(X)表示比X高阶的无穷小，则下列式子中错误的是()(A)XO(X2)O(X3)(B) o(x)o(x2)o(x3)(C) o(x2)o(x2)o(x2)(D) o(x)O(X2)O(X2)(2) 函数f(x)凶1的可去间断点的个数为()x(x1)ln|X|(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(3) 设以是圆域D(X，y)|x2y21位于第k象限的部分，记Ik(yx)dxdyk1,2,3,

2、4，则Dk()(A)I10(B)I20(c)i30(D)I40(4)设a/为正项数列，下列选项正确的是()(A) 若anan1,则(1)n1an收敛n1(B)若(1)n1an收敛，则anan1(C)若(C)若n1an收敛，则存在常数P1，使limnPan存在n(D)若存在常数P1，使limnPan存在，则an收敛nn1(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC,则B可逆，则1a12(6)矩阵aba与01a101a12(6)矩阵aba与01a10(A) 矩阵C的行向量组与矩阵(B) 矩阵C的列向量组与矩阵(C) 矩阵C的行向量组与矩阵(D) 矩阵C的行向量组与矩阵(A)a0,b2A的行向量组等

3、价A的列向量组等价B的行向量组等价B的列向量组等价00b0相似的充分必要条件为00(B) a0,b为任意常数a2,b0(C) a2,b为任意常数设Xi,X2,X3是随机变量，且XiN(0,1)，X2N(0,22),X3N(5,32),PjP2Xj2(j1,2,3),则()RP2F3(A) P2PBP3RE(B) PRE设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，X0L23Y-101p1211818P131313则PXY2()(A)(B)(C)丄1218162:、填空题：914小题,每小题4分，共24分,请将答案写在答题纸指定位置上(9)设曲线yf(x)和yx2x在点(0,1)处有公共的

4、切线，则limnfnn2(10)设函数zz(x,y)由方程(zy)xxy确定,则一Zx(1,2)(11)In(12)微分方程1yyy0通解为y4(13(aj)是三阶非零矩阵,|A|为A的行列式，Aj为可的代数余子式，若ajAj0(i,j1,2,3),则A(14) 设随机变量X服从标准正态分布XN(0,1)，则E(Xe2X)=。三、解答题：1523小题，共94分请将解答写在答题纸.指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15) (本题满分10分)当x0时,1cosxcos2xcos3x与axn为等价无穷小，求n与a的值。(16) (本题满分10分)1设D是由曲线yx3,直线xa(a0)

5、及x轴所围成的平面图形,Vx,Vy分别是D绕x轴,y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy10Vx,求a的值。(17) (本题满分10分)设平面内区域D由直线x3y,y3x及xy8围成计算x2dxdy。D(18) (本题满分10分)设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60(P是单价，单位：元,Q1000是销量，单位：件)，已知产销平衡，求：(1) 该商品的边际利润。(2) 当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。(3) 使得利润最大的定价P。(19) (本题满分10分)设函数f(x)在0,上可导,f(0)0且limf(x)2,证明x(1)存在a0,使得f(a)1

6、（2）对（1）中的a,存在1(0,a),使得f'()1a(20)（本题满分11分)(21)1a10，B，当a,b为何值时存在矩阵C使得ACCAB,并求所有矩阵C。（本题满分11分)设二次型fx1,x2,x3a1x1a3x32biX11X2b3X3，记a2a3b1b2。b3（I）证明二次型f对应的矩阵为（II）若，正交且均为单位向量（II）若，正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2yf（22）（本题满分11分）设X,丫是二维随机变量，x的边缘概率密度为设X,丫是二维随机变量，x的边缘概率密度为fxX3x2,0x1,0,其他.，在给定条件下丫的条件概率密度fY|Xy

7、x3y23，x0,0yx，其他.（1）求X，Y的概率密度fx，y；（2）丫的边缘概率密度fYy（23）（本题满分11分）2exx0设总体X的概率密度为xx'e，0，其中为未知参数且大于零XN为来自总体0，其它.X的简单随机样本.（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题：18小题,每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上（1）当x0时,用o（x）表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）(A) xO(X2)O(X3)(B) O(X)O(X2)O(X

8、3)(C) o(x2)o(x2)o(x2)(D) O(X)O(X2)O(X2)【答案】D【解析】O(x)O(X2)O(x),故D错误。(2)函数f(x)|x|X1x(x1)ln|x|的可去间断点的个数为(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(E) 0(F) 1(G) 2(H) 3【答案】Cf（x）的间断点为0,1。又f（x）的间断点为0,1。又limf(x)x0limx0limf(x)x0limx0limf(x)X1limX1limf(x)X1limX'【解析】由题意可知x(x1)lnx(x)X1Xx1x(x1)lnx(x)X1x(x1)ln(XX1lim0eXlnx1x(x1)ln

9、xexln(x)x)lim11x(x1)ln(x)limx0limX0x(x1)ln(x)xlnxex(x1)lnxlimXxln(x)exlnxx(xlimx0limX11x(x1)ln(1)lnx1xln(x)x(xxlnxx(x1)lnx1X)1)ln(x)1limX1x(x1)ln(X)故f（X）的可去间断点有2个。故f（X）的可去间断点有2个。(3)设Dk是圆域D(x,y)|X2y21位于第k象限的部分，记Ik(yx)dxdyk1,2,3,4，则Dk(A)I1(B) I20(C) I30(D) I40【答案】B【解析】令xrcos,yrsin，则有11Ik(yx)dxdyrdr(rs

10、inrcos)d(cossin)Dk03故当k2时，J，此时有I220.故正确答案选B。23(4) 设an为正项数列，下列选项正确的是()(A) 若anan1,则(1)n1an收敛n1(B) 若(i)n1an收敛，则anan1n1(C) 若an收敛，则存在常数P1，使limnPan存在(D)若存在常数P(D)若存在常数P1，使limnPan存在，则nan收敛n1【答案】D【答案】D【解析】根据正项级数的比较判别法，当P1，且limnPan存在，则an与一同敛散，nn1n1nP故an收敛.n1(5)设矩阵A，B，C均为n阶矩阵，若ABC，且C可逆，则()(A) 矩阵C的行向量组与矩阵(B) 矩阵

11、C的列向量组与矩阵(C) 矩阵C的行向量组与矩阵(D) 矩阵C的行向量组与矩阵【答案】(B)A的行向量组等价A的列向量组等价B的行向量组等价B的列向量组等价【解析】由C【解析】由CAB可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有ACB1，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为(B)。1a1200(6)矩阵aba与0b0相似的充分必要条件为1a1000(A)a0,b2(B) a0,b为任意常数a2,b0【答案】(B)1a11a12【解析】由于aba为实对称矩阵，故-定可以相似对角化，从而aba与01a11a101a1分必要条件为aba的特

12、征值为2,b,0。1a11a1又EAb(b)(0,baa2)2a，从而a为仕意常数1a1(D) a2,b为任意常数00b0相似的充00设Xi,X2,X3是随机变量，且X1N(0,1),X2N(0,22),X3N(5,32),PP2Xj2(j1,2,3),则()PP2F3(A) P2PB(c)P3R巳(D)PF3E【答案】(A)【解析】由X1-N0,1,X2N0,22,X3N5,32知，p1P2X12P|Xj2221,P2P2X22P|X2211,故pP2.2由根据X3-N5,3及概率密度的对称性知，p1p2p3,故选(A)(8) 设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，X0123V

13、-10p12141Sr1P131313则PXY2()(A)(B)(C)(D)112181612【答案】(C)【解析】PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y1,又根据题意X,Y独立,1PY1PX2PY0P，选(C).6二、填空题:14小题,每小题4分，共24分,请将答案写在答题纸指定位置上(9)设曲线f(x)和yx2x在点(0,1)处有公共的切线，则limnfnn【答案】【解析】x在(1,0)处的导数是y'(1)1,故f'(1)1,f(1)0,limnf(nn2)2f(1)f(1)limn_2n2n22n2)(10)设函数zz(x,y)由方程(zy)xxy确定,则x(1,2)【答案】

14、22ln2【解析】原式为exln(zy)xy,左右两边求导得：xyln(zy)1,y2得z0,Zx2(1ln2)(11)求lnx(1【答案】ln2【解析】lnx2dxx)2lnxd(七)lnx+1xx(1x)dxlnx,2dx1(1x)2limxln21(12)微分方程yyy0通解为y4ix【答案】e2C1xC2【解析】特征方程为2【解析】特征方程为2-0,1(二重根)，所以通解为ye"XCiXC242(13)设A(aj)是三阶非零矩阵,|A|为A的行列式，Aj为可的代数余子式，若ajAj0(i,j1,2,3),则A【答案】1【解析】Aai1Ai1ai2A2ai3Ai3332aijj

15、12aji10Aai1Ai1ai2A2ai3Ai3332aijj12aji10T*由ajAj0可知，AAa1jA1ja2jA2jt*2从而有AAAA,故A=-1.(14)设随机变量X服从标准正态分布XN(0,1)，则E(Xe2X)=【答案】2e2【解析】由XN0,1及随机变量函数的期望公式知x2x2EXe2Xxe2x-2dx1_2=-x2242xe2dx2e.三、解答题:1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)当x0时,1cosxcos2xcos3x与axn为等价无穷小，求n与a的值。【解析】因为当x0时,1cos

16、xcos2xcos3x与axn为等价无穷小1cosxcos2xcos3x所以lim-1x0ax又因为：1cosxcos2xcos3x1cosxcosxcosxcos2xcosxcos2xcosxcos2xcos3x1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)即lim1cosxcos2xcos3xx0limx1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)1cosxlim(x0axn1xo(x)naxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)naxlim(x0nax122尹)o(x)nax所以nnax且丄2anax21a2a1222(3

17、x)o(x)nax(16)（本题满分设D是由曲线y42a10分）1x3,直线xa（a0）及x轴所围成的平面图形，Vx，Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy10Vx,求a的值。【解析】由题意可得:1a0(x3)dx5a3Vy21axx3dx07a37因为:Vy10VX105a3a7.7（17）设平面内区域D由直线x3y，y（本题满分10分)3x及xy8围成.计算x2dxdy。D2【解析】xdxdyDx2dxdyx2dxdyD1D2223xxdxxdy032x2dxxdy4163(18)(本题满分10分)设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60

18、（p是单价，单位：元,Q1000是销量，单位：件），已知产销平衡，求:（1）（2）（3）该商品的边际利润。当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。使得利润最大的定价P。【解析】（I）设利润为丨，则IPQ（20Q6000）40Q止60001000边际利润l'40500(II)当P50时，边际利润为20,经济意义为：当P50时，销量每增加一个，利润增加20eQ(III)令I'0,得Q20000,此时P60401000(19)(本题满分10分)设函数f(x)在0,上可导,f(0)0且limf(x)2,证明x(1) 存在a0,使得f(a)11(2) 对(1)中的a,存在(0,a),使

19、得f'().a3【答案】(I)证明：limf(x)2,X,当xX时，有f(x),x2f(x)在0,X上连续,根据连续函数介值定理，存在a0,X，使得f(a)1(II)f(x)在0,a上连续且可导，根据拉格朗日中值定理，f(a)f(0)f'()a1,(0,a),1故(0,a),使得f'()-a(20)(本题满分11分)沁1a01设A,B，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB,并求所有矩阵C。101b【解析】xx2由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设C，则由ACCAB可得线性方程组：x3X4X2ax30ax1xxX3ax41x41(1)X2ax3b01a00101111

20、0111a10a1a10a101a01a1011101a0001a0001a0b01a0b01a0b1011101a01a00001a0000b1a由于方程组(1)有解，故有1a0,b1a0,即a1,b0,从而有01a001011a10a1011010111000001a0b0000从而有Ck1k2k11k1k2(21)(本题满分11分)1X!k1k210，故有X2"，其中k、k2任意0X3k10X4k2设二次型fx1,x2,x323必12a?X283X32t1X16x2b3X3，记a1a2b1a3b3(I)证明二次型f对应的矩阵为(II)若(II)若正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2y：2y2。bi)%2(2a；b2)x|(2a；b；)x；曲)皿3f(2a；(4a&