2010考研数农真题及解析

1、2010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1)设函数fX，则xe(A)X3及Xe都是fX的第一类间断点设函数fX,gX具有二阶导数，gX0Xo取极大值的一个充分条件是(A)fa0(B)fa0设函数fX,gX具有二阶导数，gX0Xo取极大值的一个充分条件是(A)fa0(B)fa0a,gX0,gx0,则1fgX在()(C)fa0(D)fa0设函数fx在区间0,1上连续I100JfX111fydxdy,12200I31100fXfydxdy，则(A)I1I21I

2、3(B)I1I3I2设函数fx在区间0,1上连续I100JfX111fydxdy,12200I31100fXfydxdy，则(A)I1I21I3(B)I1I3I2i1,0fx1,且fxdx，记02fx1fydxdy,()(C)121113(D)131211(B)X3及xe都是fx的第1类间断点(C)X3是fX的第一类间断点，Xe都是fX的第1类间断点(D)X3是fX的第二类间断点，xe都是fX的第类间断点曲线yX2的凸弧区间是x4()(A),8(B)8,4(C)4,4(D)4,(5)设向量组I:1,2,Lr可由向量组II：1,2,Ls线性表示，下列命题正确的是(A)若向量组I线性无关，则r若向

3、量组II线性无关，则r(C)(B)若向量组I线性相关，则(D)若向量组II线性相关，则设A为4阶实对称矩阵，且A2A的秩为3，则A相似于(B)(B)(A)(8)(8)设X1,K,Xn使来自总体N0的简单随机样本,记统计量Xi2，(A)(9)ET(B)2(C)(D)填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上limxxx(10)曲线y空智的水平渐近线的方程为cosxx(11)已知一个长方形的长x以O.2m/S的速率增加,宽y以0.3m/s的速率增加，当x12m，(C)1(D)100设随机变量X服从1,1上的均匀分布，事件A0X1，BX-，则()4(A)PAB0(B)P

4、ABPA(C)PAPB1(D)PABPAPBy5m时，其面积增加的速率为1-在点1,e的全微分dz1e(13)，A为A的转置矩阵，则行列式AtA(14)设随机变量X的概率分布为PXk,k1,2,L，其中01,若I，则PX三、解答题：15-23小题，共明、证明过程或演算步骤.三、解答题：15-23小题，共明、证明过程或演算步骤.94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说(15) (本题满分10分)设函数f(x)Intan-e2设函数f(x)Intan-e2xcos2x，求f()2(16) (本题满分10分)2计算定积分°xcos.xdx(本题满分11分)设某农作物长高到0.1

5、m后，高度的增长速率与现有高度y及1y之积成比例(比例系数k0)，求此农作物生长高度的变化规律(高度以m为单位).(17) (本题满分11分)计算二重积分Ixsin(xy)dxdy，其中区域D(x,y)x2y22,x1D(18) (本题满分10分)x11证明：1e(x0).x(20)(本题满分10分)a11设A0a10,11a(20)(本题满分10分)a11设A0a10,11a已知线性方程组Ax有2个不同的解，求a的值和方程组Ax的通解.(21)(本题满分11分)1a，6是A的一个特征值,(I)求a的值;(II)求A的全部特征值和特征向量(22)(本题满分10设二维随机变量(X,Y)的概率分布

6、为且p(I)常数a,b；(II)Cov(X,Y).(23)(本题满分11分)设随机变量X的概率密度为f设随机变量X的概率密度为f0,1x1,2其他。令Yx21,求(I)丫的概率密度fYy；(II)P2010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题参考答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上，则，则(1)设函数fxe33Xe3e33Xe3HXXe3Xm3HXeXmeHXe一-XeX3X叫X(A)x3及xe都是fx的第类间断点.(B)x3及xe都是fx的第1类间断点.(C)x3是fx的第-类间

7、断点，xe都是fx的第1类间断点(D)x3是fx的第一二类间断点，xe都是fx的第-类间断点x3是fx的第一类间断点曲线yx2的凸弧区间是x4(A),8(B)8,4.答案：A详解：xx4详解：y2，y3，yx4x4在J8上,曲线是凸的(3)设函数fx，gx具有二阶导数，X。取极大值的一个充分条件是(A)fa0.(B)fa0.答案：B曲线yx2的凸弧区间是x4(A),8(B)8,4.答案：A详解：xx4详解：y2，y3，yx4x4在J8上,曲线是凸的(3)设函数fx，gx具有二阶导数，X。取极大值的一个充分条件是(A)fa0.(B)fa0.答案：Bxe是fx的第二类间断点(C)4,4.(D)4,

8、.2x1640,x4gxa,gx0,gx0，则fgX在()(C)fa0.(D)fa0.详解：fgxfgxgx,fgxfgx2gxfgxgx,由于gx°0，得fgXofgx0gX。agxo0.由于gX00，所以fa0(4)设函数fx在区间0,1上连续,1,dxI11fydxdy,0fxdxdy,dxdy，则(A)I1I3.(B)(C)I2I113.(D)答案:详解:I1fydyxdxxdx由于0,I2I3dx设向量组若向量组若向量组(A)(C)答案：Adxdxdxdx所以dydxdxydydxdx,fxdx，11dx0I：1,2丄1,I线性无关，II线性无关,dxxdx，I1fxdx0

9、dx,r可由向量组s.s.xdx，dxII(B)(D)s线性表示，F列命题正确的是若向量组I若向量组II线性相关，则线性相关，则)s.s.详解：由于向量组I能由向量组II线性表示，所以r(I)r(II)，即r(1丄，r)r(1,L,s)若向量组I线性无关，则r(1,L,r)所以rr(1,L,r)r(1,L,s)rs，选(A).2(6)设A为4阶实对称矩阵，且AAO，若A的秩为3，则A相似于(A)1.0(B)1.01111(C)1.(D)1.00答案：D详解：设为A的特征值，由于A2A0,所以20,即卩（1）0,这样A的1111r(A)r()3,特征值为即A:-1或0。由于A为实对称矩阵，故A可

10、相似对角化,11因此，1，即A:1。1100（7）设随机变量X服从1,1上的均匀分布,事件A0X1，(A)PAB0.(B)PABPA(C)PAPB1.(D)PABPAPB答案：D11X1；X)1详解：P(AB)P(0P(0x1)4111因此，1，即A:1。1100（7）设随机变量X服从1,1上的均匀分布,事件A0X1，(A)PAB0.(B)PABPA(C)PAPB1.(D)PABPAPB答案：D11X1；X)1详解：P(AB)P(0P(0x1)41BP(A)P(0x1)1，则（）P(B)P(P(AB)P(A)P(B)(8)设X1,K,Xn使来自总体N0的简单随机样本,记统计量nXi2，i1则E

11、T(A)2(A)2(B)2(C)(D)答案：C1n1n1详解：ETE(Xj2)E(Xj2)-nDXiE2(Xi)nn所以选择C项2u2二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(9)limx答案:详解:limxxlim1xaxx(10)曲线y2x2cosxx書的水平渐近线的方程为答案：y详解：limx2x2sinx2cosxxlimxsinxcosx1011x(11)已知一个长方形的长x以0.2m/s的速率增加,宽y以0.3m/s的速率增加，当x12m，y5m时，其面积增加的速率为.答案：4.6m2/s详解：设xx(t),yy(t)，由题意知，在tt。时刻x(

12、t。)12,y(t。)5，且x(t。)0.2,y(t。)0.3，A又S(t)x(t)y(t)，所以S(t)x(t)y(t)x(t)y(t)所以S(to)x(to)y(to)x(to)y(to(12)函数z在点1,e的全微分dzy1答案：dx2dye详解：因为z-y-，所以z1,e1，且变形为e对上式两端微分，有zdyydz所以Ydxyxxy2y所以dZ1,edxe2dy(13)yzxlnyeyzdyInydx，A为A的转置矩阵,exlny1x-dyy则行列式xInydxdyy答案:r(ATA)r(A)2,ata0(14)设随机变量X的概率分布为PXk1k1,k1,2,L，其中01,若详解:A为

13、23矩阵ata是3阶矩阵,PX255，则PX3.4答案：927详解：P(X2)P(X1)P(X2)(1)11(1)21(1)515人22-得,(舍)933P(X3)(1)2扣A43327三、解答题：15-23小题，共94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)(本题满分10分)x设函数f(x)Intan兰excos2x，求f().22详解：f(x)Intan仝excos2x2贝Vf(x)1sec丄excos2xex(2sin2x)+x22tancscxexcos2x2exsin2xLL8分LL10分LL4分LL6分LL8分LL10分y及1y之积成比例(比例

14、系LL11分详解:由题意得dydtky(1y)即dykdt，所以町1kty(1y)解得Cekty0.1myCekt1代入初始条件y(0)10.1解得C丄9所以化简得yktekte9=4tdcost4tcost04costdt0004(17) (本题满分11分)设某农作物长高到0.1m后，高度的增长速率与现有高度数k0)，求此农作物生长高度的变化规律(高度以m为单位).(18)(本题满分11分)计算二重积分Ixsin(xy)dxdy，其中区域DDLL4分GLL9分(x,y)x2y22,x1所以f(x)cotxcscxexcos2xex2sin2x2(exsin2xex2cos2x)xcotxcs

15、cxe(4sin2x3cos2x)所以f(?)3e空(本题满分10分)2计算定积分°xcos、,xdx详解：令t、x,xt2,dx2tdt所以Itcost2tdt2t2dsint0022tsint4tsintdt00详解：Ixsin(xy)dxdyxdxdysin(xy)dxdyDDD因为D关于x轴对称，且sin(xy)dxdy的被积函数为y的奇Di厂Y/«曰J、d>11J函数，所以sin(xy)dxdy0D又因为xdxdyD2xdxdyD104d2rcossecrdr204COSsecr2drc33coscos4、2cos312cos2sec343(19)(本题满分

16、223310分)1LL11分证明：1xe(x0).证明：令F(x)1对等式两边同时取对数,(x0)对等式两边同时求导数得:又因为x0时,ln(1x)InF(x)(x1)ln(1F'(x)ln(1丄)x丄)x(x1)ln(1丄)-xx1ln(1-)x1F(x)F'(x)ln(1又QF(x)0F'(x)F(x)单调递减又JimF(x)limx(1所以F(x)c(11X1一)x)xx(20)(本题满分10分)lim(12)x(1xx丄)xlim(1xlim(1x-)exLL10分已知线性方程组Ax有2个不同的解，求a的值和方程组Ax详解：已知Ax有2个不同的解r(A)r(A,

17、)(a1)2(a1)0知a1或-11时,r(A)r(代2此时Ax无解11121111(A,)0201020111110003%x332花X3原方程组等价为2，即X2112X22x3%210x2X3x332120Ax的通解为x32120，k为任意常数。(21)(本题满分11分)，6是A的一个特征值,(I)求a的值;(II)求A的全部特征值和特征向量详解：(I)由于6是A的特征值，故6EA0,即10分2 2a31由此可得a2111(II)A24233511EA2433122(2)(6)0512a240LL2分k22,匕飞2为不同时为零的常数511X1由(6EA)x0，即卩222X331X322的全部特征向量为k110故对应于故A的特征值为1,22,36111由(2EA)x0,即222x20333X311111122200033300011解得基础解系为11,20，011解得基础解系为32，故对应于36的全部特征向量为k33,k3为不为零的常数3（22）（本题满分10分）设二维随机变量（X,Y）的概率分布为1314112且pXY1|X0(I)常数a,b；(II)Cov(X,Y).详解