不定积分与定积分

1、第四章不定积分与定积分4.1 不定积分一、学时：二、教学要求：不定积分的定义：原函数、不定积分、积分基本公式、不定积分加法与数乘。不定积分的求法；(1) 理解原函数、不定积分的定义及关系；(2) 熟记不定积分的基本公式，会不定积分的加法数乘运算；(3) 会换元积分法：第一换元法、第二换元法；(4)分部积分法：理解分部积分法的推导，能用分部积分法求一些标准型不定积分。重点：原函数、不定积分的定义及关系，不定积分的基本公式，不定积分的加法数乘运算，第一换元法、第二换元法，分部积分法难点：第一换元法、第二换元法，分部积分法三、教学内容：第二章讨论了如何求一个函数的导数(微分)问题，现在来讨论它的逆问

2、题，即要由一个函数的已知导数(微分)，求原来的函数问题，即求不定积分4.1.1不定积分的概念与性质定义1设f(x)是定义在某区间上的已知函数.若存在一个函数F(x),对于该区间上每一点都满足:F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)是f(x)在该区间的一个原函数.例如已知f(x)=2x,由于F(x)=x2满足F'(x)=(x2)'=2x,所以F(x)=x2是222f(x)=2x的一个原函数同理，x1,x-1,x10等也都是f(x)=2x的原函数.由此可知，已知函数的原函数不止一个.若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)CC为任意常数也是f(x)

3、的原函数.且若F(x),G(x)都是f(x)的原函数则rF(x)-G(x)二F'(x)-G(x)二f(x)-f(x)=0，知F(x)-G(x)二C,即它们仅相差一个常数.因此，若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数可以表示为F(x)CC是任意常数.定义2函数f(x)的所有原函数，称为函数f(x)的不定积分，记作.f(x)dx其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，“”称为积分号.显然，若F(x)是f(x)的一个原函数，则由定义2可知.f(x)dx=F(x)C其中c是任意常因此,求函数f(x)的不定积分，只需求出f(x)的一个原函数F(x)

4、,再加上任意常数C即可例如3x2dx=x3CC为任意常数sirxdxcosxCC为任意常数c为任意常数求函数f(x)二1的不定积分x解(1)当x0时,(Inx)、-x所以1dIrxC(2)当X”：0时，一x0所以In(-x)I二丄.(-x)-x】dxTn-xC(X0)合并(1)(2)两式得到:由不定积分的定义即可知不定积分具有如下性质:1. 求不定积分与求导数或微分互为逆运算(1) f(x)dx-f(x)或df(x)dx=f(x)dx(2) F(x)dx=F(x)C或dF(x)=F(x)C2.af（x）dx=af（x）dx2.af（x）dx=af（x）dx（a7）因为af(x)dx二af(x)

5、dxi=af(x)，说明aJf(x)dx是af(x)的原函数3.!If(x)_g(x)Idx=jf(x)dx_g(x)dxFFF因为f(x)dx士；g(x)dx：丨if(x)dx-'ig(x)dx二f(x)g(x)故有两个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，这个公式可以推广到任意有限多个函数的代数和的情况.4.1.2基本不定积分公式由导数的基本公式对应地可以得到下面基本不定积分公式（1）.kdx=kxC（C为常数）1（2）xdxx"1C1-1+11（3）Jdx=Inx+Cx（4）exdx二exCxa（5）axdxCa0且a=1Ina（6）cosxdx=sinxC

6、（7）sinxdx-cosxC12（8）厂dx二secxdx二tanxCcosx12（9）厂dx二cscxdxcotxCsinx（10）secxtanxdx二secxC（11）cscxcotxdx二-cscxC1(12)2dx=arctanxC十x(13)j1dx=arcsinx+c2例2求(x2x5)dx2132解原式二xdx2xdx5dxxx5xC.3注意这里三个不定积分本来应该有三个任意常数，经过代数和之后，只要用一个任意常数即已足够F面类似情况就不特别加以说明x(x-3)dx解原式331=(x2_3x)dx=x2dx_3x'dx131丄x23122532x2-2x2511申-3

7、x2C-12tan2xdx解原式22=(secx-1)dx二secxdx-1dx=tanx-xC例5设某厂生产某种商品的边际收入为R'(Q)二300-3Q，其中Q为该商品的产量，如果该产品可在市场上全部售出，求总收入函数解因为R(Q)二300-3Q,两边积分得R(Q)二R(Q)dQ(300-3Q)dQ=3002Q2又因为当Q=0时，总收入R(0)32=0，从而C=0.所以总收入函数为R(Q)二300Q一Q.4.1.3不定积分的几何意义若F(x)是f(x)的一个原函数，则曲线y二F(x)称为f(x)的一条积分曲线，将其沿y轴方向任意平行移动，就得到积分曲线族.在每一条积分曲线上横坐标相同

8、的点x处作切线，这些切线都是相互平行的，如图4.1.不定积分.f(x)dx在几何上就表示全体积分曲线所组成的积分曲线族，它们的方程为y=f(x)c2例6求过点1,3且在点x,y处切线斜率为3x的曲线方程.解设所求曲线方程为y=F(x)，因为y“=F(x)=3x2，由不定积分定义，有F(x)二3x2dx=x3C因所求的曲线过点1,3，代入得到C=2.于是所求的曲线方程为y=x32.4.1.4不定积分换元法和分部积分法利用基本不定积分公式及性质只能求一些简单的不定积分，对于比较复杂的不定积分，我们需要进一步方法，下面简单介绍第一类换元积分法、第二类换元积分法和分部积分法，详细可参阅参考书1、2.应

9、该指出现在许多数学软件，如Mathematica，Matlab等都具有求不定积分功能，读者可以借助数学软件求不定积分，也可以通过查积分表求不定积分1.第一类换元积分法例7求cos(3x1)dx解选择新变量u=3x1,解选择新变量u=3x1,11则x(u-1),dxdu33原式二cosu-du-3原式二cosu-du-3】sinuC3=Isin(3x1)C3第一类换元积分法主要在于选择新的变量u二(x)其中(x)为连续可导的，原不定积分转换为可以使用基本不定积分公式.为选择好新的变量，往往把原不定积分被积表达式f(x)dx凑成微分的形式，便于使用基本公式，求出积分后，再还原为原积分变量求(2x4

10、)3dx(2x4)3dx凑微分12变量代换1(2x4)3d(2x4)=u3duu=2x：42'131u213还原14+C=(2x+4)+C82求xexdx2凑微分xexdx=2凑微分xexdx=2变量代替x22edx=21 eudu2还原12C=C22. 第二类换元积分法第一类换元积分法是选择新变量u二,x，但对某些不定积分，则需要作相反的代换，即令X二、t，其中(t)是连续可导的，以使积分化为能使用基本公式该类变量替换公式由于要求出t关于x的表达式，所以X=(t)还须存在反函数例io求xx1dx解令t、x1，则x二t2-1,dx二2tdt原式=t2-1t2tdt=2(t"-

11、t2)dtft52t3C=2(x1)3522_3(x31)C例ii求dx解令t=点x，则x=t2,dx=2tdt12tdt二2dtj+t1=2(1)dt2(tIn1+t3.分部积分法设函数u=u(x),v=v(x)有连续导数，由uv二uvuvF得uv'=uv-uv两边求不定积分，得uvdx=uv-uvdx为便于应用，上式可写成udv=uv-vdu这就是分部积分公式.如果求.uvdx有困难，而求.uvdx较容易时，我们就可以利用分部积分公式例12求inxdx令u如x,v»解.Inxdx二xlnx-.xdinx(利用第二个公式)xInx-x-dxx=xlnx一xC例13求.xex

12、dx令u仝,v_ex解.xexdx二xdexxex-exdx(利用第二公式)xX小-xe-eC例14求exsinxdxXXXx解esinxdxsinxde=esinxedsinx分部积分法)二exsinx-excosxdx二exsinx-cosxdexxxx=esinx-ecosx亠iedcosx(分部积分法)xxx-esinx-ecosx-esinxdx2，即得由于上式右端的第三项就是所求的积分.exsinxdx，将它移到等式左端去，两端再同除以exsinxdx二2exsinx-cosxC四、练习1.求下列不定积分5（1）xdx（3）,2x3dx1.求下列不定积分5（1）xdx（3）,2x3

13、dx(2)(x62)dx(5)xx3-5dx；(6)(-3)dxx"-2)二xdx(7)x2+茫+3dx(8)(23)2dxx32.求下列不定积分3(1)5x3dx；,2七x.(3)edx；.2(5)xsinx2dx；(2)2x(2)xedx2(2)(3-2x)dx(4)e2dx(6)cosx、一sinxdx；求下列不定积分(1)xx2dx；求下列不定积分2（1）xlnxdx；（3）In3xdx；（4）excosxdx25若f（x）dx二xeC，求f（x）一曲线位于第一象限并过点e,2，且过曲线上任一点的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程6. 设某企业生产某产品，其边际成本C与日

14、产量x（千克）关系为：C=x5（美元/千克），其固定成本为2000美元，试求成本函数.4.2 定积分的概念与性质一、学时:、教学要求:定积分的概念与性质：定积分概念、几何意义、基本性质（1）解定积分的几何意义，理解其定义。（2）了解定积分性质的简单说明（用定义简单推导或用几何直观图说明并会用这些性质）（3）理解定积分在解成本问题中的意义。重点：定积分的几何意义，定积分在解成本问题中的意义难点：定积分在解成本问题中的意义三、教学内容：4.2.1定积分概念实例之一面积问题二0.25x21,x轴以及直线x=1,x=5所围成的平面f(x)二0.25x21(a)(a)(b)(d)图4.2所求图形简称为A

15、，其面积不妨称为A面积.为了逼近A面积我们第一步是把区间1,51四等分，每个小区间的长度-1，在每个小区间的左端点取对应的函数值作为矩形高度.这样在曲线下方4就有4个矩形，这4个矩形面积之和称为左和L4在一定程度逼近A面积，但比A面积小，如图4.2(b)所示.L4具体数值计算如下:L4二f(1)1f(2)1f(3)1f(4)1=1.252.003.255=11.5现在我们在原来分割的基础上，取每个分割小区间的右端点作为矩形高度，如此我们得到覆盖住A的4个小矩形，其面积之和称为右和R4，也在一定程度上逼近A面积，但比A面积大，如图4.2(c)所示.R4具体数值计算如下：R4二f(2)1f(3)1

16、f(4)Vf(5)1=2.003.255.007.25=17.5上述利用区间1,51四等分，构造4个矩形，用其面积来逼近图形A面积显然是太粗糙了.我们可以把区间1,5】在原来四等分基础上进一步细分，例如把区间1,51十六等分，构造16个矩形来逼近图形A，见图4.2(d)其右和、左和对应的结果计算如下；51x0.25L16二f(1)：xf(1.25)：xf(4.75)：x=13.59尺6=f(1.25)：xf(1.50)：xf(5)：x5.09显然有13.59二L16:图形A的面积:R6二15.09为了使逼近更精确，还可以把区间1,51一百等分，构造100个矩形来逼近图形A，其左和与右和通过计算

17、机编程计算得14.214=Leo<图形A的面积<Ro°=14.454上述逼近的误差也可以估计，以L100和R100为例计算如下：51L100逼近的误差=图形A面积-L100Iv|f(5)-f(1)100二7.25-1.250.04=0.241R100逼近的误差二图形A面积-R100£If(5)-f(1)100二7.25-1.250.04=0.24一般来说，我们可以把区间1,5丨n等分，分点为1=xxx2-xn=5,记'X=X一，构成左和与右和来逼近图形A面积如下：n左和：Ln=f(x0)X1f(X1)X2f(Xz)Xn=嘉f(XkdXkkTn右和：Rn二

18、f(Xj*f(X2)%f(Xn)%八f(XQXkT5_124Ln(或尺)逼近的误差二图形A面积-L或RJ<|f(5)-f(1)=一nn因此，与n时有的面积=limLn的面积=limLn图形n=厨瓦f(XkJ也XkkTn可以把上面方法进一步拓展到由连续曲线y=f(x)(f(x)色0),x轴及直线x=a,x=b所围成平面图形，称其为曲边梯形现在计算曲边梯形面积A(如图4.3).可以仿照上面的方法，但在区间分割及在小区间取点方式上进行改进，以使之更一般化或逼近的更好具体分如下四个步骤;是每个小区间的长度不一定相等是每个小区间的长度不一定相等(2)近似代替对于第i个小曲边梯形,在小区间XjjXi

19、上任取一点'i，得到以Xi/,Xi为底，f(2)为高的小矩形，用小矩形的面积fCjXi近似代替小曲边梯形的面积也A，即2f(i尸Xii=1,2,n这里应当注意此处是在区间【Xi,Xi上任意取一点i，前面例子仅在xv,Xj的左端点或右端点来取.由于f(x)在a,b】上连续的，不论在酱，务上取哪一点，都不影响下面所构造的和的极限(3)求和得n个小矩形面积求和，如图4.3中阶梯形的面积，即得曲边梯形面积A的近似值如下A二f(1)Xf(2)%(JXn八f(i)Xiid-二maX",当，0，时(即所有a,b】(4) 取极限当分点数n无限加大时，小区间中最大区间长度记为分割的小区间都趋于

20、0），和式送f（©i）AXi的极限便是曲边梯形的面积A，即idnA=lim'f（J%0i二注意一般曲边梯形面积若能求得，则由任意连续曲线围成的图形面积就可以求得如图4.4所示，把曲线L围成的图形分割六小块，编号为1至6号，其中2号与5号即是前面所说的曲边梯形的特例，1、3、4、6号为曲边三角形，是曲边梯形的特例，也可以用计算曲边梯形面积的方法来计算其面积422定积分概念实例之二：成本问题例2某公司对其产品成本变化情况，测得如下关系式xF(x)二500,0乞x乞900(元/单位产品)3其中X表示该产品生产的数量，f（X）表示当产品数量为X时再增加一个单位产品时所增加的成本（即边

21、际函数）试求当产品从300件增加到900件时该公司所增加的成本C.如同第二章有关边际函数描述那样，在经济和商务中所遇见函数自变量往往仅取正整数值，其函数值.这时许多结果只.这时许多结果只也是离散的，为数学处理上方便，我们将其连续化，转化成具有连续导数的函数来处理300,9001作为考察区间，在这个300,9001作为考察区间，在这个能看作是近似的，但不影响对实际问题的分析下面叙述中，我们常略去“近似”二字该公司产品产量从300件增加到900件，因此将其连续化，考虑区间内插入n个分点300=x0X<x2XjTXjXnTxn=900考虑产量从XiJ增加到Xi时所增加的成本，由于f(Xi)作为

22、边际成本在XJ的值表示当产量为Xij时增加单位产量所增加的成本当产品数量增加二Xi-Xi单位时，所增加成本为f(Xj_i),X匸.因此,n当产量从Xo=300增加到Xn=900时，所增加的总成本为fdiGn.为了更精确估计，同样可设九=maxax，并令0时，所增加的总成本C可表示为inI吗送f(XpXj.423定积分的概念前两段我们引进了两个例子涉及不同的领域，但都引导出求类型相同的和的极限问题.还有许多实际问题诸如求直线变速运动的总路程，变力作功，水对水坝的总压力，某企业总产量、总利润、总收益、.旋转体的体积等都可以归结为求此类型和的极限.在数学上称之为定积分问题.为此，抽象地给出如下数学定

23、义.定义1设函数f(X)在区间a,b】上有界，任意用分点a=X0人XXn二b把区间'a,b分成n个小区间Xo,Xi,Xi,X2,X2,X3,XnJ,Xn,在每一个小区间Xi二，Xi上任取一点i，作和n'f(i)Xii占称为积分和，记小区间中最大区间长度为-max/Xj，如果当0时，上述和式的极限存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积，并称此极限值为f(x)在区间a,b1上的定积分，记为.：f(x)dx,即bnaf(x)dx"im/f(i)Xi其中“.“称做积分号，f(x)称做被积函数，f(x)dx称做被积表达式，X称做积分变量，区间a,b】称做积分区间，a与b分别称

24、做积分下限与积分上限.根据定积分定义，前二段所举的例子中，例1中曲边梯形的面积A是函数y二f(X)(f(x)一0)在a,b1上的定积分，即bA二af(x)dx,900例二中当产品产量从300件增加到900件时所增加的成本为C=JF(x)dx，300关于定积分的定义，有以下几点说明(1) 函数f(x)在区间la,b】上可积是指定积分ff(x)dx存在，即不论对区间怎样划分及-an点i如何选取，当，-0时，和式afi)Xi的极限值都唯一存在，可以证明(证略)在la,b1上连续i=1的函数f(x)必定在区间la,b上可积.(2) 定积分表示一个数值，它只与被积函数及积分区间la,b1有关，而与积分变

25、量用何字母表示无关，下面积分变量分别用x,u,t,w，其定积分表示式实际都是一样的.bbbbaf(x)dxaf(u)duaf(t)dt=af(w)dw(3) 在定义中曾假定ab，为今后应用方便，规定ff(x)dx=f(x)dx(换限变号)(i) J：f(x)dx=0b(4由前面叙述可知，当f(x)-0时，定积分.f(x)dx的几何意义是表示由曲线y二f(x),a直线x=a,x=b与x轴所围成曲边梯形的面积，但当f(x)在区间l-a,b】上的值有正有负时，定积分baf(x)dx在几何上表示曲线y二f(x)，直线x=a,x=b与x轴围成的在x轴上方和下方曲边梯形面积的代数和，其中x轴上方的面积为正

26、，x轴下方的面积为负，例如由图4.5所示，则有baf(x)dx二Si-S2S3424定积分的基本性质下面定积分的性质均假定f(x),g(x)为可积的，性质1两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即bbba【f(x)-g(x)dx=af(x)dx-ag(x)dx此性质可推广到有限多个函数代数和情形性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外，即bbakf(x)dx=kfaf(x)dx(k是常数)性质3对任意点C，有bcbaf(x)dx二af(x)dxcf(x)dx该性质又称为定积分的积分区间可加性.性质4如果f(x)在区间！a,b】上连续，则在区间fe,b】上至少存在一点匕，使得baf(x)

27、df()(b-a)该性质又称为积分中值定理.以上性质的证明均可参见口,2，这里证略.对于积分中值定理，特别指出其几何意义是在'-a,b1上至少存在一点，使得以区间'a,b】为底边，以曲线y二f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同底边而高为f()的矩形面积见图4.6所示.x图4.6其中f)二baf(x)dx又表示连续曲线f(x)在闭区间la,b1上的平均高度，即函数f(x)在区间a,b1上的平均值.这是有限个数算求平均值概念的推广，在实际中经常遇到例3平均价格已知需求函数为p二D(x)=1006"曲(单位：元)试求出x在区间40,601平均价格的表示式.解在区间40,60

28、平均价格记为p，则1600.05x60_0.05x.p40100edx=540edx60-4040404.3 微积分基本定理一、学时:、教学要求:微积分基本定理：变上限函数、牛顿-莱布尼兹公式(1) 了解变上限函数及牛顿一莱布尼兹公式的推导*；(2) 理解牛顿一莱布尼兹公式的实质(会用实例说明)，会熟练正确的利用公式求定积分。重点：变上限函数，牛顿-莱布尼兹公式难点：牛顿-莱布尼兹公式的推导三、教学内容：函数f(X)在a,b1上的定积分是用和的极限来定义的，如果直接去求这个和的极限往往是困难的,有时甚至求不出.如何寻找计算定积分简便而有效的方法就成为解决有关实际问题的关键4.3.1基本思路先来

29、探讨一下寻找求定积分简便方法的基本思路.为计算函数f(x)在la,b1上的定积分bJaf(x)dx，当年的数学家避开从和的极限出发来计算，而是考虑从定积分的直观几何意义出发.不妨设bf(x)-0(注：对于f(x)般情形，以下推理和结果仍然成立)计算.f(x)dx就化为求曲线a(x)，x轴及直线x二a与直线x=b所围成的曲边梯形面积.让这个面积产生一些变化，我们试图从面积的变化中找规律为此，先研究y=f(x)在la,x1上所构成曲边梯形ABxa的面积(如图4.7(a)图4.7曲边梯形ABxa的面积是x的函数，记为lx，即xI(X)二af(t)dt通常称函数Ix为变上限定积分，为了找到Ix变化的规

30、律，让自变量x取得改变量x，则对应的面积函数Ix就取得改变量人1=I(X+心X)-I(X)=a人1=I(X+心X)-I(X)=aX：.fXXf(t)dt-af(t)dtXX购二af(t)dtXf(t)dtX-af(t)dtXXf(t)dt改变量I即为图4.7(b)中阴影部分面积,由积分中值定理知存在X,XX(注：当厶X为负时，应为©EX+X,X),使得也=f(匕)仏X由此我们可发现如下规律:A|f()，x,XXx令x-0得f(xi(x)(f(x)是连续的，有mf-fx)亦即变上限定积分I(x)是被积函数f(x)的一个原函数设f(x)的一个原函数为F(x)，则有I(x)二F(X)C(C

31、为待定常数)由I(a)=0知C=-F(a)X因此I(x)二F(x)-F(a)或f(x)dx=F(x)-F(a)bab令x=b，即求得定积分faf(x)dx=F(b)F(a).4.3.2微积分学基本定理下面把上述思路加以整理，写为定理及证明如下：定理1设函数f(x)在区间【a,b】上连续，如果F(x)是f(x)的一个原函数，则baf(x)dx讦(b)-F(a)X证令I(X)=af(t)dt,这是被积函数为f(X)的变上限定积分，前一段分析中已证明I(x)=f(X)，即变上限定积分的导数等于被积函数f(x).因此变上限定积分是被积函数f(x)的一个原函数.由基本定理的条件，F(x)也是f(x)的一

32、个原函数，因此I(x)与F(x)仅相差一个常数C，I(x)=F(x)Cx所以af(t)dt=F(x)Ca令x=a得F(a)+C=Jf(t)dt=o丁a因此C=-F(a)所以:f(t)dt=F(x)-F(a)再令x=b得bbaf(t)dt=F(b)-F(a)或af(x)dx=F(b)-F(a)该公式称为牛顿一一莱不尼兹公式，它揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分的联系，也为定b积分faf(x)dx的计算提供了有效的计算方法，即只需求出f(x)在区间'a,b1上的一个原函数F(x)然后计算F(b)-F(a)即可,牛顿一莱不尼兹公式也可记为bbaf(x)dx=F(x)|a=F(b)-F(

33、a)例ijsirxdx2-n解02sirKdxco|(2=coGcofi152,例2计算x2dx$0520xdx=F面来求前面几节例子中所出现的定积分例3计算在421中例1所给的由曲线f(x)二0.25x'1，x轴以及直线xT,x二5所围成的平面图形面积解所求面积记为A面积则52(0.25x3x1)dx=(0.255+x)1100个小矩C.500x-900-?l3001251=0.255-（0.251）3343143333注这里所求的面积是准确值，而且计算非常便利.在前面我们借助计算机为工具，构造形来通近面积A，也仅得到14.214：A面积：14.454由此可见微积分学基本定理的威力.

34、例4计算在422中例2所提出的当产品产量从300件增加到900件时，公司增加的成本解在422中例2中所增加的成本已表示为和的极限，实际上是下面的定积分:900C=(500-計dx300(元)=(500900-900900)_(500300-30030°)=1800006例5试求424中例3的平均价格一605,e一605,e-0.05xdx-0.05xe5-0.05-0.05xe5-0.056040-21-0.051-0.05-0.05二100e-e二8.52(元)F面例子说明为了求出定积分的值，可以充分利用求不定积分的技巧如积分换元法，分部积分法等1x3例6计算定积分=edx解需要求

35、出被积函数ex3的原函数，即求不定积分如下je'dxjeYtdt(利用换元法，令Jx+3=t，则x=t2-3,dx=2tdt)=2tde2(tet2etdt(利用分部积分法)=2te2etC=2x3ex32ex3c所以定积分,ex3dx(2、厂-2)ex3(1)奇偶函数的定积分计算设函数目二f(x)在对称区间I-a,al上连续，则有若f(x)为偶函数时,(x)dx=2°f(x)dx；(2)(2)若f(x)为奇函数时,af(x)dx=0.-a上述结论可由定积分的几何意义直观得到四、练习1.利用基本公式计算下列定积分3 5(1)0xdx21(3).3厂dx4 sinxTt(2)0

36、cosxdx(4) 依(1+V)dx2.2.曲边梯形由=1所围成，求此曲边梯形面积3.计算下列定积分12(1)J(2x3)dx03.计算下列定积分12(1)J(2x3)dx0兀3叩1®"(4)(4)x2sinx21dx(1)dx(2)5.利用函数奇偶性及定积分几何意义计算定积分(1)-x4sin3xdx31(1)-x4sin3xdx313.2xsinxdx1xx(2)je*xcosxdx(2)je*xcosxdx1,(i)0xedx7.已知需求函数为p二Dx=3Qe0'01x（单位：元），其中x为需求量，p为价格，试求出x在区间1.30,501平均价格表达式.8.某

37、公司对其产品成本变化情况测得如下关系式：fx;=300-仝100x10004其中x表示该产品生产的数量，fx表示当产品数量为x时，再增加一个单位产品时所增加的成本,试求当产品从100件增加到1000件时，该公司所增加的成本C（单位：元）.4.4数值积分一、学时：2学时二、教学要求：数值积分：矩形法、梯形法、抛物线法（辛卜生法）（1）理解矩形法（2）理解梯形法（3）掌握抛物线法（辛卜生法）求数值积分重点：理解矩形法、梯形法、抛物线法（辛卜生法）求数值积分难点：抛物线法（辛卜生法）求数值积分三、教学内容：在利用定积分解决实际问题时，通常会遇到被积函数的原函数无法用初等函数的形式给出.例如计算等，其

38、中被积函数没有初等形式的原函数.这时，牛顿-莱布尼兹公式就无法使用了.有的实际问题，被积函数是用表格或图形给出，这时也无法使用牛顿-莱布尼兹公式.因的有必要研究定积分的近似计算问题我们把求定积分的近似计算值也称为数值积分.4.4.1矩形法根据定积分的几何意义，矩形法就是把曲边梯形分成若干各窄曲边梯形，然后用窄矩形代替窄曲边梯形，从而求得定积分的近似值.具体描述如下:用分点a=x°,Xi,X2,li|,x,工b将区间l.a,bI分成n个小区间xx丨(i=1,2,|,n),记x=XX，取£【X,Xi,则b(1)f(x)dx八f()Xja.为便于计算，通常区间Ia,b!是等分的，

39、并取为各小区间的中点(见图4.8)，则由公式(1)有Ff(x)dxb-a22nnaf=1fa22rb-这就是求定积分近似值的中矩形公式，我们把上面右端式子简记为Mn.4.4.2梯形法b-a(i=1,2,IH,n)x梯形法就是把曲边梯形分割成若干个窄曲边梯形,梯形法就是把曲边梯形分割成若干个窄曲边梯形,然后连接曲边上相邻分店，得到以直线代替曲线弧的小直边梯形，用小直边梯形的面积代替窄曲边梯形的面积(如图的小直边梯形，用小直边梯形的面积代替窄曲边梯形的面积(如图4.9)，近而求得曲边梯形面积的近似值具体描述如下:用分点a=Xo,%,X2,丨H,人二b将积分区间la,bl分成n等分，记yi=f(xi

40、)(i=1,2,丨II,n)，现在来考察每个小区间Xv,x，以fXj=,fxi为两底，以为高的梯形面积hS*fgyx)(i=1,2,|“,n)h求这n个小梯形面积之和，就得到积分近似公式:bf(x)dx八Sn=baavnff+3)+fg+HI+f皿)2这就是梯形公式，其中f（xj=fa丄b-a.我们把上面右端式子简记为Tn.443抛物线法（辛卜生法）在数值积分中与上述中矩形公式Mn和梯形公式Tn有密切关系的是抛物线法，也称为辛卜生公式.辛卜生公式是把积分区间2n等分，简记为S2n.它与中矩形公式Mn和梯形公式Tn有如下关系:S2n例如当n=2,3时，我们有S4-II?xg4f为2fX24fX3

41、fX4于x二S6二S6二f冷4f为2fX4fX32fX44f7守*吁baf(X)dX6n般情况表达式为b-afX。fX2n4f人fX3HIfX2n_12fX2fX4川fX2“二S2n可以证明对于不高于3次的多项式，辛卜生公式可以给出定积分准确值.对于一般被积函数，用辛卜生方法进行数值积分通常给出比梯形法和矩形法更好的近似值还有一些精确度更好的定积分近似公式，被使用在各种数学计算软件中，如Mathematica,Maple,Matlab等，我们将介绍如何应用数学计算软件Matlab.例1某公司批量生产某流行品牌的太阳镜，其每小时生产x付太阳镜的边际成本Cx（单位：美元/付）列在表4.1:表4.1

42、5010015020025030035040045021.8016.9515.3114.5014.0013.6613.4213.2513.11现公司从每小时生产50付太阳镜增加到每小时生产450付太阳镜，试用梯形法估计每小时生产所增加的总成本解设所增加的总成本记为C，则450C=Cxdx*50利用表4.1和梯形公式近似计算上面定积分如下:450-508C50C450i12C100C150C200C250C300C350C400.SO2180Ha伍3WO体00何66何42侏5-5927.25(美元)Y22例2试计算下面两条曲线之间的面积：f(x)二e,g(x)=x2-1.解本题需要用到数学计算软

43、件(详见第七章).而得到在区间1-1.131,1.131上f(x)g(x)，并且两条曲线之间所围成的面积A可用定积分表示:1.131Ay.1312-1四、练习1试用辛卜生公式求解本节的例1.2试用辛卜生公式求I二sindx(分别取n=2,4,6的情形)°x一、学时：2学时二、教学要求：微积分基本定理：变上限函数、牛顿-莱布尼兹公式(1) 了解变上限函数及牛顿一莱布尼兹公式的推导*;(2) 理解牛顿一莱布尼兹公式的实质(会用实例说明)，会熟练正确的利用公式求定积分。重点：变上限函数，牛顿-莱布尼兹公式难点：牛顿-莱布尼兹公式的推导*三、教学内容：4.5广义积分4.6定积分在经济问题中应

44、用(1) 理解用极限、定积分的知识求两种类型的广义积分；(2) 将定积分的方法应用于商务中有关问题的数量分析。重点：无限区间上的广义积分、无界函数的广义积分，定积分在经济问题中应用难点：定积分在经济问题中应用4.5广义积分前面所讨论的定积分，其积分区间都是有限区间.在实际问题中，还会经常遇到积分区间为无穷区间ba，极限baf(x)dx称为f(x)在无穷区间的积分.定义1设f(x)在a,*上连续，取-Hea,+°°)上的积分，记做Jaf(x)dx,即baf(x)d|imaf(x)dx若上式等号右端的极限存在，则称此无穷区间上的积分af(x)dx收敛，否则称之为发散类似地，定义

45、f(x)在无穷区间(-二,b)上的积分为bb.f(x)dlimaf(x)dxaT-°°若上式等号右端的极限存在，则称之收钦，否则称之发散函数在无穷区间(，:)上的积分定义为:c-:f(x)dxf(xdx(f)x,dxc其中C为任意实数，当上式右端两个积分都收敛时，则称之为收敛，否则称之为发散无穷区间上的积分也称为无穷积分或称广义积分例1计算无穷积分dxUmb0dx二lim(孑)D、1)=1I-beF(x)aI-beF(x)a为了书写方便，在计算过程中可不写极限符号，用记号表示|imF(x)-F(a)，这样例1可写为x:.广dx=0+1=1例2讨论无穷积分+dx收敛性1xp解

46、当P=1时,11-dxxln|x|-He=+oO发散-He1p:1发散p1收敛习题4.51.计算下列无穷积分3x(1).0edx二dXX珀1(3),2dx1(1x)(4)2.求由曲线所示.2x(x21)2dxx轴以及直线X=1所围成的具有无限延伸尾巴的图形面积，如图4.11阴影部分1y=2X图4.114.6定积分在经济问题中的应用定积分在经济问题中的应用是多方面的，下面前两例子体现已知某经济量的变化率（即边际函数），如何求该经济量，另两例子是关于平均值在经济中应用.最后一个例子是关于有效时段问题.例1禾U润问题某公司每个月生产x台电视机，边际利润（以美元为单位）由下式给出：L（x）=1650.

47、1x0空x空4000目前公司每月生产1500台电视机，并计划提高产量，试求出与每月生产1600台电视机时，利润增加了多少?1600解L(1600)L(1500丿so。Lxdx160016001500(65x0dx)二(165x-0.05x2)1500珂165(1600)-0.05(1600)2-165(1500)-0.05(1500)2=136000-135000=1000(美元)答：当每月电视机生产从1500台增加到1600台时，利润增加1000（美元）.例2收益问题已知生产某商品x单位时，边际收益为R（x）=20-2（万元/单位），试求生30产x单位时总收益函数R（x）以及平均单位收益函数

48、R（x），并求生产这种产品120单位时的总收益与平均收益解因为总收益是边际收益函数在0,x1上的定积分，所以生产x单位时总收益函数为R(x)°(20-30)dt二20tt260一x2=20x-60则平均收益函数为R(x)二殛=20x60当生产这种产品120单位时，总收益为R(120)=20120-12012060=2160(万元)平均收益为（120）20-120=18（万元）60例3平均供应价格已知某商品供应函数为p=S(x)=8(e0.05x-1)其中x为某商品供应量，p为该商品的价格（美元），试求在商品供应区间40,50】上平均供应价格.解在商品供应区间40,501上平均供应价格

49、p可用定积分计算如下:1p=H50-404050500.05x8(e-1)dx50450005x.50=(0.8)"ofdx-4°(0.8)dx50(0.8)£和I0.05丿40-0.8x5040=16(e2.5-e2)-8=164.79-8二68.64(美兀)答：在供应区间40,501上某商品平均供应价格为68.64美元.例4平均存货假设某货物去年各月的存货量可用下式表达：I(t)=1030t-3t20乞t2其中t表示月份，I(t)表示在t月份的存货量.试求去年第二季度平均存货量(单位：吨)解去年第二季度的平均存货量记为|2，则162I23(1030t-3t2)

50、dt6-3130t2-(10t33t3)1=-(1061562-63)-(1031532-33)3二3384-138；82(吨)答：某货物在去年第二季度平均货存量为82吨.例5有效时段某娱乐公司把一种娱乐用品安装在一个公众活动的地点,用C(t)和R(t)分别表示该娱乐用品的成本函数与收益函数，其中t表示已安装使用的时间(单位：年).已知C(t)二2,R(t)二9e©5t(单位：万元)使C(tR(t)成立的t值称为该娱乐用品有效时段，几何意义见图4.12所示.本例中有效时段求如下：c(t)二R(t)9e.5t=2_0.5t2e92-0.5t=In9t=-21n39这样，该娱乐用品有效时

51、段约为3年.超过这个使用时段，该娱乐公司所安装的娱乐用品是亏本的求出在有效时段内，所取得全部利润解有效时段为0,3，因此所取得全部利润为L(3)-L(0)=L(3)-L(0)=3.oL(t)dto3(9e*-2)dt9-0.5te<_0.50.5t=(T8e-2t)二（-18e-6）-（-18e°-0）=12-18e5=7.984（万元）四、练习1. 已知某商品的边际成本为C(x)=0.8x-42(元/单位)，固定成本为50(元)，求总成本函数.1已知某商品的边际收益为R(x)二200x(元/单位)，其中x表示该商品的产量，求该商品的2总收益函数，并求当商品的产量达到100单位时的总收益和平均收益.2. 某汽车生产商估计一种新型车在投入生产之后销售逐月增加，增加的比率由下式给出：St4e08t0兰t兰24其中t表示新型车投入生产之后的第t月份.试求该新型车销售量S(t)的表示式，并求出投入生产之后的前六个月的月平均销售量.3. 本节例5中若C(t)二1,R(t)二7.5e5t,试求在有效时段内公司所取得