现代控制理论第4章李雅普诺夫稳定性分析

1、v4.1 概述概述v4.2 李亚普诺夫第二法的概述李亚普诺夫第二法的概述v4.3 李亚普诺夫稳定性判据李亚普诺夫稳定性判据v4.4 线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析v小结小结第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 是指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义是指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性，即的内部稳定性，即。内部稳定性不但适用于线性。内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。系统，而且也适用于非线性系统。 对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义

2、才具有等价性。稳定性是系统本身的一种特性，只和系统义才具有等价性。稳定性是系统本身的一种特性，只和系统本身的结构和参数有关，与输入本身的结构和参数有关，与输入-输出无关。输出无关。4.1 引言引言 是控制系统能否正常工作的前提条件。控制系是控制系统能否正常工作的前提条件。控制系统的稳定性通常有两种定义方式：统的稳定性通常有两种定义方式：现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性，即的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性，即。外部稳

3、定性只适用于线性系统。外部稳定性只适用于线性系统。 研究系统稳定性的方法：研究系统稳定性的方法：现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 经典控制理论：经典控制理论：劳斯劳斯-胡尔维茨稳定性判据胡尔维茨稳定性判据乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据 现代控制理论：李亚普诺夫稳定性现代控制理论：李亚普诺夫稳定性第一法第一法第二法第二法 李亚普诺夫第一法又称间接法。它的基本思路是通过李亚普诺夫第一法又称间接法。它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定

4、性判断；对于非统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断；对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。定性。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，更重视系统的输出稳定性。性。但从工程意义上看，更重视系统的输出稳定性。现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 线性定常系统线性定常系统 平衡状态平衡状态 渐进稳定的充要条

5、件是系统矩阵渐进稳定的充要条件是系统矩阵A的所有特的所有特征值均具有负实部。征值均具有负实部。CXyBuAXX0eX),(CBA1、线性系统的稳定判据、线性系统的稳定判据现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 线性定常系统线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传输出稳定的充要条件是其传递函数递函数 的极点全部位于的极点全部位于s的左半平面。的左半平面。BAsICsW1)()(),(CBA 如果系统对于有界输入如果系统对于有界输入u所引起的输出所引起的输出y是有界的，则是有界的，则称系统为输出稳定。称系统为输出稳定。例题例题4.1 系统的状态空间描述为系统的状

6、态空间描述为试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。XyuXX01111001现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析解解：(1)由由A阵的特征方程阵的特征方程可得特征值可得特征值 ， 。故系统的状态不是渐近稳定的。故系统的状态不是渐近稳定的。(2)由系统的传递函数由系统的传递函数 可见传递函数的极点可见传递函数的极点 位于位于s的左半平面，故系统的左半平面，故系统输出稳定。这是因为具有正实部的特征值输出稳定。这是因为具有正实部的特征值 被系统的零被系统的零点点 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出对消了，所以在系统的

7、输入输出特性中没被表现出来。由此可见，只有当系统的传递函数来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极不出现零、极点对消现象，并且矩阵点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数的特征值与系统传递函数W(s)的的极点相同，此时系统的状态稳定性才与其输出稳定性一致。极点相同，此时系统的状态稳定性才与其输出稳定性一致。0) 1)(1(AI111211) 1)(1(111100101)()(11ssssssBAsICsW1s121s 现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 李亚普诺夫第二方法又称直接法。它的基本思想不是李亚普诺夫第二方法又称直接法。它的

8、基本思想不是通过求解系统的运动方程，而是借助了一个李亚普诺夫函通过求解系统的运动方程，而是借助了一个李亚普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断，它是从能量数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断，它是从能量观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之，将达最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来

9、越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也个平衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也不消耗，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义下的稳定。不消耗，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义下的稳定。4.2 李亚普诺夫第二法的概述李亚普诺夫第二法的概述 1892年俄国学者李亚普诺夫发表了年俄国学者李亚普诺夫发表了运动稳定性一般运动稳定性一般问题问题，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性

10、，称求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称为间接方法；第二类方法为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，不必求解常微分方程组，而是提而是提供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观它是从能量观点提供了判别所有系统稳定性的方法。点提供了判别所有系统稳定性的方法。现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 稳定性是指系统受外界干扰后，平衡状态被破坏，但稳定性是指系统受外界干扰后，平衡状态被破坏，但当干扰去掉后，系统仍能自动地回到

11、平衡状态下继续工作。当干扰去掉后，系统仍能自动地回到平衡状态下继续工作。具有稳定性的系统称为稳定系统，不具有稳定性的系统称具有稳定性的系统称为稳定系统，不具有稳定性的系统称为不稳定系统。为不稳定系统。1、稳定性、稳定性一、物理基础一、物理基础现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析2、系统的平衡状态、系统的平衡状态 设系统为设系统为 ，其中，其中 ，则，则 ，对于该系统，如果存在对所有时间对于该系统，如果存在对所有时间t都满足都满足 的状态的状态 ，即即 ，则把，则把 叫做系统的平衡状态。叫做系统的平衡状态。nxxxX210X),(tXfX eX0),(tX

12、fXee),(),(),(),(2211txftxftxftXfnneX 对于线性定常系统对于线性定常系统 而言，其平衡状态满足而言，其平衡状态满足 ，若，若A是非奇异矩阵，则只有是非奇异矩阵，则只有 ，即对线性，即对线性系统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无系统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限多个平衡状态。限多个平衡状态。 对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。AXX 0eX0eeAXX 李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即如

13、果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即 ，那么随着系统的运动，其储存的能量将时间，那么随着系统的运动，其储存的能量将时间的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。etXXim现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析3、李亚普诺夫第二法、李亚普诺夫第二法 对于系统对于系统 建立一个能量函数建立一个能量函数 ，即，即 对于任意对于任意 时，时， ，而，而 ，且仅当，且仅当 时，时，才有才有 ，则系统，则系统 是稳定的。是稳定的。0)(XVeXX ),()(21nxxxVXV),(tXfX 0)()(XVXV

14、),(tXfX eXX 0)(XV)(XV现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 由此，李亚普诺夫第二法可归结为：在不直接求解的由此，李亚普诺夫第二法可归结为：在不直接求解的前提下，通过李亚普诺夫函数前提下，通过李亚普诺夫函数 及其对时间的一次导及其对时间的一次导数数 的定号性，就可以给出系统平衡状态稳定性的信的定号性，就可以给出系统平衡状态稳定性的信息。息。),(tXV),(tXV 因此，应用李亚普诺夫第二法的关键在于能否找到一因此，应用李亚普诺夫第二法的关键在于能否找到一个合适的李亚普诺夫函数个合适的李亚普诺夫函数(即即)。4、能量函数、能量函数 广义

15、能量函数广义能量函数 称为李亚普诺夫函数，如果其不称为李亚普诺夫函数，如果其不显含时间显含时间t，就记成，就记成 。)(XV),(tXV 设设 为任一标量函数，其中为任一标量函数，其中X为系统的状态变量，为系统的状态变量，如果如果 具有以下性质：具有以下性质：(1) 是连续的；是连续的；(2) 是正定的；是正定的；(3)当当 时，时， 。那么函数那么函数 称为李亚普诺夫函数。称为李亚普诺夫函数。 dtXdVXV)()()(XVX)(XV)(XV)(XV)(XV现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 反映能量的变化趋势反映能量的变化趋势反映能量的大小反映能量

16、的大小反映能量的分布反映能量的分布 李亚普诺夫函数的选取不唯一，多数情况下可取为二李亚普诺夫函数的选取不唯一，多数情况下可取为二次型，因此二次型及其定号性是该理论的数学基础。次型，因此二次型及其定号性是该理论的数学基础。现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析1、二次型函数的定义及其表达式、二次型函数的定义及其表达式二、二次型及其定号性二、二次型及其定号性(1) 二次型函数的定义二次型函数的定义 在代数式中我们常见一种多项式函数如下在代数式中我们常见一种多项式函数如下其中每项的次数都是二次的，这样的多项式称为二次齐次其中每项的次数都是二次的，这样的多项式称为

17、二次齐次多项式或二次型。以上只是对含有多项式或二次型。以上只是对含有2个变量个变量x、y的二次函的二次函数来说的，如果将变量个数扩展到数来说的，如果将变量个数扩展到n，仍具有相同的含义。，仍具有相同的含义。222),(cybxyaxyxf现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 n个变量个变量 的二次其次多项式为的二次其次多项式为称为二次型函数，即二次型。式中称为二次型函数，即二次型。式中 为二次型系数。为二次型系数。),(),(1,222112222221221112112211121jiaaxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxVj

18、iijnjijiijnnnnnnnnnnnnnxxx,21ija 由二次型函数的定义可写成由二次型函数的定义可写成PXXxxxaaaaaaaaaxxxxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxxxaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxxxxVTnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn2121222211121121221122221211212111212211222212121212111121)()()(),(现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析(2) 二次型函数的矩阵表达式二次型函数的矩阵表达式现代控制理论现代控制理论第第4章章

19、李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 其中其中 ，P称为二次型的矩阵。称为二次型的矩阵。 即即P为对称矩阵。为对称矩阵。 显然二次型显然二次型 完全由矩阵完全由矩阵P确定且确定且P的秩称的秩称为二次型的秩。为二次型的秩。nnnnnnaaaaaaaaaP212222111211TjiijPPaa),(21nxxxV例题例题4.221211221222121222121411104102410),(xxxxxxxxxxxxxxxxV V(X)是向量是向量X的标量函数。的标量函数。现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析2、标量函数、标量函数V(X)的定号性的

20、定号性 如果对任意非零向量如果对任意非零向量 ，恒有，恒有 ，且仅当且仅当 时时 ，则称，则称 为正定的。即为正定的。即0)(XV)0(XX0)(XV0X)(XV00)(00)(XXVXXV(1) 正定性正定性例题例题4.322212)(xxXV 当当 时，时， ； 当当 时，时， 。所以，。所以，V(X)是正定的。是正定的。0)(XV0, 021xx0)(XV0, 021xx现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 如果对任意非零向量如果对任意非零向量 ，恒有，恒有 0，且仅当且仅当 时时 ，则称，则称 为正半定的。即为正半定的。即 00)(XV)0(XX

21、)(XV0X)(XV00)(0)(XXVXXV(2) 正半定性正半定性(准正定准正定)例题例题4.4221)()(xxXV 当当 时，时， ； 当当 但但 时，时， 。所以，所以，V(X)是正半定的。是正半定的。0)(XV0, 021xxaxax21,0, 021xx0)(XV现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析(3) 负定性负定性例题例题4.5)()(2221xxXV 当当 时，时， ； 当当 时，时， 0。所以，所以，V(X)是负定的。是负定的。0)(XV0, 021xx0, 021xx)(XV 如果对任意非零向量如果对任意非零向量 ，恒有，恒有 0

22、，且仅当且仅当 时时 ，则称，则称 为正定的。即为正定的。即 00)(XV)0(XX)(XV0X)(XV00)(0)(XXVXXV现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 如果对任意非零向量如果对任意非零向量 ，恒有，恒有 0，且仅当且仅当 时时 ，则称，则称 为负半定的。即为负半定的。即 00)(XV)0(XX)(XV0X)(XV00)(0)(XXVXXV(4) 负半定性负半定性(准负定准负定)例题例题4.6221)()(xxXV 当当 时，时， ； 当当 但但 时，时， 。所以，所以，V(X)是负半定的。是负半定的。0)(XV0, 021xxaxax21

23、,0, 021xx0)(XV现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 如果在某个邻域内，如果在某个邻域内， 即可为正值也可为负值，即可为正值也可为负值，则称则称 为不定的。为不定的。)(XV)(XV(5) 不定性不定性例题例题4.72221)(xxxXV 若若 ，则，则 ； 如果如果ab，V(X)0；ba，V(X)0。所以，所以，V(X)是不定的。是不定的。2)(babXVbaX 对于对于P为实对称矩阵的二次型函数为实对称矩阵的二次型函数V(X)的定号性，可的定号性，可用关于矩阵定号性的赛尔维斯特定理来判定。用关于矩阵定号性的赛尔维斯特定理来判定。现代控制理

24、论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析3、二次型标量函数定号性判别准则、二次型标量函数定号性判别准则(1) 实对称矩阵实对称矩阵P为正定的充要条件是为正定的充要条件是P的各阶主子行列式的各阶主子行列式均大于均大于0。即。即000212222111211222112112111nnnnnnnaaaaaaaaaPaaaaa, 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa ., 2 , 1, 011111nraaaarrrrr 这个定理称为这个定理称为赛尔维斯特赛尔维斯特定理定理定理定理4.2 4.2 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件

25、是：为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即的各阶主子式为正，即AA对称矩阵对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即子式为负，而偶数阶主子式为正，即A现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质;,A, . 1 1T定定矩矩阵阵均均为为正正则则为为正正定定实实对对称称阵阵设设 AAA., . 2 矩矩阵阵也也是是正正定定则则阶阶正正定定矩矩阵阵均均为为若若BAnBA 现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性

26、分析例例4.104.10 判别二次型判别二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性.解解的矩阵为的矩阵为f, 0511 a, 026622522211211 aaaa, 080 A.2.f根据定理4 知 为负定,402062225 A现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析4.1 李亚普诺夫关于李亚普诺夫关于稳定性的定义稳定性的定义现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺

27、夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析

28、李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳

29、定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析v例例4.6 系统方程为 v v 试确定系统平衡状态的稳定性。v解：解： 原点为平衡状态，选取李氏函数 1221xx

30、Kxxv v在任意x 值上均可保持为零，则系统在原点处是李亚普诺夫意义下的稳定，但不是渐近稳定的。 02222),()(),(212122112221 xKxxKxxKxxxtXVKxxtXV),(tXV现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析的稳定性试确定系统在平衡状态系统例212211:7 . 4xxxxxx0000, 01212121eexxxxxxx得）由解：（该系统为不稳定系统。）（）（则选0222222)(0)()2(222121221122112221xxxxxxxxxxxxxVxxxV现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李

31、亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析4.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析：选择二次型函数选择二次型函数 为李氏函数。为李氏函数。v目的目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统将李氏第二法定理来分析线性定常系统 的稳定性的稳定性PxxxVT )(QxxxPAPAxPAxxPxAxxPxPxxPxxxVTTTTTTTT )()()()(负定负定正定正定由上一节讨论的判据知道系统渐近稳定，故有以下判据：由上一节讨论的判据知道系统

32、渐近稳定，故有以下判据：Axx 一、线性定常连续系统的稳定性分析一、线性定常连续系统的稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析且标量函数且标量函数 就是系统的一个李氏函数。就是系统的一个李氏函数。：线性连续定常系统：线性连续定常系统： 在平衡状态在平衡状态 处渐近稳定的充要条件是：给定处渐近稳定的充要条件是：给定一个正定对称矩阵一个正定对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵，存在一个正定实对称矩阵P，使满足：使满足： Axx QPAPAT 0 exPxxxVT )(现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 1）因为）

33、因为正定对称矩阵正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终判断的形式可任意给定，且最终判断结果和结果和Q的不同形式选择无关，所以通常取的不同形式选择无关，所以通常取 。IQ 2）该定理阐述的条件，是充分且必要的。）该定理阐述的条件，是充分且必要的。 3）如果）如果 除了在除了在 时有时有 外，外， 不恒等于零不恒等于零, 则则由上一节判据由上一节判据可知，可知，Q可可 取做取做半正定半正定。为计算简单，此时为计算简单，此时Q可取作如下矩阵：可取作如下矩阵：QxxxVT )( 100000000Q0 x0)( xV)(xV现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析应

34、用定理判稳步骤：应用定理判稳步骤：一个李氏函数，为系统的系统渐近稳定，且，是否正定。若判据，判由。，求出由。，取设。，通常确定系统的平衡状态PxxxVPPSylvesterPIPAPAIQPxxxVxxTTTee)(0)4()3()()2(0) 1 (现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析11220322xxxxA设二阶系统的方程为为非奇异，原点是一个唯一的平衡状态，试确定该系统例的稳定性。(),()(),TTTVxxP x VxxQxQIAPP AI 设取， 则解 ：10012322322323221001232023202221222111212212

35、211122212221121122211211pppppppppppppppppppp现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析10014622322342212221211221211121221ppppppppppp，对称85414112785127411460223142221121122112112221222121112ppppPPpppppppppp阵为，将矩阵方程展开现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析22212122211211118521127)(016196358541411270127xxxxPx

36、xxVPpppppT的系统是大范围渐近稳定是正定的，根据赛尔维斯特准则：现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 用李氏第二法，求使下列系统稳定的用李氏第二法，求使下列系统稳定的K值。值。 2xuy1x1 sk3x21 ss11、写出状态空间表达式、写出状态空间表达式 ky 2x2 u1x1 3x现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析,0010120010321321ukxxxkxxx 321001xxxy状态空间状态空间描述为：描述为：2、用李氏第二法判稳（令、用李氏第二法判稳（令u=0）状态状态所以原点是其唯一平衡所

37、以原点是其唯一平衡, 0| kA1）Q能不能取做半正定？能不能取做半正定？ 100000000QQ可以取半正定：可以取半正定：所以所以0)(,)(23不恒等于不恒等于故故xVxQxxxVT 2）计算使实对称矩阵）计算使实对称矩阵P为正定的为正定的k值范围值范围由判据由判据4 得：得：QPAPAT 现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析 1000000001012001010120010332313232212131211333231232221131211kppppppppppppppppppkT注意注意：P为正定实对称矩阵。为正定实对称矩阵。 kkkkk

38、kkkkkkkkkP212621202122123212602126212122解得：解得：根据赛尔维斯特法则：如果根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则正定，则12-2k0，且，且k0 所以系统稳定的所以系统稳定的k值范围为值范围为0k6现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析二、线性定常离散系统的稳定性分析二、线性定常离散系统的稳定性分析线性定常离散系统的状态方程为线性定常离散系统的状态方程为 则系统在平衡点则系统在平衡点Xe=0Xe=0处渐近稳定的充要条件是：对于处渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵任意给定的对称正定矩阵Q Q，都存在对称正定矩阵，都存在对称正定矩阵P P，使得：使得：)()1(kGxkx QPPGGT 且系统的李雅普诺夫函数是：且系统的李雅普诺夫函数是： )()()(kPxkxkxVT 现代控制理论现代控制理论第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析：代替，则有：的导数用对于线性离散时间系统)()(,kxVkxV )()()()()()()()()()()1()1()()1()(kQxkxkxPPGGkxkPxkxkPGxkGxkPxkxkPxkxkxVkxVkxVTTTTTTT