第121节 差分与差分方程的概念

1、 一、差分的概念与性质一、差分的概念与性质 对于连续变量，可以用导数刻画其变化率，但是在许多对于连续变量，可以用导数刻画其变化率，但是在许多应用问题中，函数是否可导，甚至是否连续都不清楚，或函应用问题中，函数是否可导，甚至是否连续都不清楚，或函数根本就不可导，而只知道函数在某些时刻的函数值，这时数根本就不可导，而只知道函数在某些时刻的函数值，这时自变量与因变量都是离散变化的自变量与因变量都是离散变化的. . 因此，我们利用函数的差因此，我们利用函数的差商代替导数来刻画函数的变化率商代替导数来刻画函数的变化率. . 在许多情况下，时间的最在许多情况下，时间的最小变化单位为小变化单位为1 1，即使

2、不等于，即使不等于1 1，也可以通过适当的变换将时，也可以通过适当的变换将时间的改变量化为单位间的改变量化为单位1,1,即即 , ,故我们用故我们用就可以近似地表示变量关于时间的变化率就可以近似地表示变量关于时间的变化率 1 t)()1(tytyy 例例1 1某家庭在国庆节期间自己驾车外出旅游，每隔某家庭在国庆节期间自己驾车外出旅游，每隔 1 1小时小时通过里程表记录下车辆行驶的里程数通过里程表记录下车辆行驶的里程数S St t，其数据如下表，其数据如下表1 1所所示示. . 表表1 1 出发后经过出发后经过t 小时车辆里程表显示的里程数小时车辆里程表显示的里程数如果用如果用表示在第表示在第t

3、小时内车辆行驶的路程，则有小时内车辆行驶的路程，则有表表2 2 出发后在出发后在t 小时内车辆行驶的里程数小时内车辆行驶的里程数具体数据如表具体数据如表2 2所示：所示：)6, 2 , 1(1 tSSSttt t (小时）小时） 0 1 2 3 4 5 6St (小时）小时） 22 300 22 322 22 354 22 403 22 452 22 481 22 513 t (小时）小时） 1 2 3 4 5 6St (小时）小时） 22 32 49 49 29 32 为了研究的方便起见，将函数变量在单位时间内的增量，为了研究的方便起见，将函数变量在单位时间内的增量， 对于函数对于函数 ，当

4、其自变量，当其自变量t t 取离散等间隔的整数值取离散等间隔的整数值)()1(1tftfyytt 称为函数在时刻的一阶差分称为函数在时刻的一阶差分. .记作记作.)()1(1tftfyyyttt )(tf引入一个新的概念引入一个新的概念差分差分.时，相邻两时刻函数值的差时，相邻两时刻函数值的差几何意义：几何意义：由差分的定义知，由差分的定义知，函数函数 在在t 时刻的一阶差分时刻的一阶差分tttftftftfyyyttt )1()()1()()1(1t1tty1tytyyot 表示经过点表示经过点( (t, yt) )与与( (t+1, ,yt+1) )的直线的斜率的直线的斜率（如图所示）（如

5、图所示）经济意义：经济意义：对经济变量对经济变量 , ,其一阶差分其一阶差分 表表示该经济变量当期较上期函数值的增量示该经济变量当期较上期函数值的增量)(tfyt ty 定义定义2 2 一阶差分一阶差分 的差分称为函数的差分称为函数 在时在时刻刻 t 的二阶差分，的二阶差分，即即ty )(tfyt )(tfyt .2)()()(1211212tttttttttttyyyyyyyyyyy 依此类推，二阶差分的差分称为三阶差分依此类推，二阶差分的差分称为三阶差分, ,即即ttttyyyy21223)( )2()2(12123ttttttyyyyyy .33123ttttyyyy ), 3 , 2

6、, 1(C)1()(01 kyyyiktkiikitktk其中其中,)!(!Cikikik 二阶或二阶以上的差分统称为二阶或二阶以上的差分统称为高阶差分高阶差分. 一般地，函数一般地，函数 在在t 时刻的时刻的k-1阶差分的差分称为阶差分的差分称为k阶差分（阶差分（k为整数），记作为整数），记作)(tfyt 性质性质1 1 （C为常数）为常数）. 性质性质2 2 一般地，有一般地，有性质性质3 3 特别地，当特别地，当 (C为常数）时，有为常数）时，有 0 C.)(ttttzyzy .)()()2()1()()2()1(ntttntttyyyyyy .)(11ttttttttttzyyzzyy

7、zzy Czt .)(ttyCCy 利用差分的定义可证明，差分具有与微分相似的四则运算利用差分的定义可证明，差分具有与微分相似的四则运算法则：法则：一般地，有般地，有 性质性质4 4 )()()2(2)1(1ntnttyCyCyC .)()2(2)1(1ntnttyCyCyC 1 ttttttttzzzyyzzy 证证 根据一阶差分的定义，有根据一阶差分的定义，有 .11111111 ttttttttttttttttttttttzzzyyzyzyzzzzyyzzyzyzy 例例2 2 求下列函数的一阶差分求下列函数的一阶差分 (1) (2) 解解 (1) (2) .1111)()( ttttt

8、tttttttttzzzyyzzzzzyyyztytsin . )1, 0( aaaytt.21sin212cos2sin)1sin(1 tttyyyttt. )1(11 aaaayyytttttt.ty 由此可知，指数函数的差分等于指数函数与某常数的乘积由此可知，指数函数的差分等于指数函数与某常数的乘积. . 例例3 3 求求 解解 设设 ，则则 .)(, )(,)(23222ttt 2tyt ,12)1(221 tttyyyttt,2)12(1)1(2)12()(2 tttyytt.022)2()(23 ttyy注注 能否从本例总结出幂函数，乃至能否从本例总结出幂函数，乃至n次多项式差分的

9、性质？次多项式差分的性质？定义定义4 4 含有自变量及未知函数的两个或两个以上的函数含有自变量及未知函数的两个或两个以上的函数值值 、 、 的方程称为的方程称为差分方程差分方程方程中未知函方程中未知函 数数 的下标的最大下标与最小下标的差称为该的下标的最大下标与最小下标的差称为该差分方差分方程的阶程的阶 (3)1 ty,0),(1 ntttyyytF n 阶差分方程的一般形式又可表示为阶差分方程的一般形式又可表示为. 0数数均均不不等等于于的的系系与与为为未未知知函函数数，且且为为自自变变量量，其其中中ntttyyyt tyty 例如，对于差分方程例如，对于差分方程 ，写成定义，写成定义3 3

10、的形式为的形式为三阶差分方程；而如果按定义三阶差分方程；而如果按定义4 4形式表示，方程变形为形式表示，方程变形为03 ttyy,023)()33(12311233 tttttttttttyyyyyyyyyyy则此方程却为二阶差分方程因此用上述两种不同形式表示的则此方程却为二阶差分方程因此用上述两种不同形式表示的 同一差分方程，其阶有时是不同的同一差分方程，其阶有时是不同的定义定义5 5 如果将某个函数代入差分方程能使方程成为恒等式，如果将某个函数代入差分方程能使方程成为恒等式，则称此函数为则称此函数为差分方程的解差分方程的解例例4 4 对于差分方程对于差分方程 ，容易验证函数，容易验证函数

11、( (C为任意常数为任意常数) )为此方程的解，又由于它含有一个任意常数，为此方程的解，又由于它含有一个任意常数， 故为该差分方程的通解，而函数故为该差分方程的通解，而函数 就是此方程就是此方程 满足初始条件满足初始条件 的特解的特解. .41 ttyyCtyt 4104 tyt100 y 在差分方程的解中，如果某解含有相互独立的任意常在差分方程的解中，如果某解含有相互独立的任意常数的个数与方程阶数相同，则称此解为该数的个数与方程阶数相同，则称此解为该差分方程的通解差分方程的通解. . 如果通解中的任意常数被某些条件确定后的解称为该如果通解中的任意常数被某些条件确定后的解称为该差分方程的特解差

12、分方程的特解. . 确定任意常数的条件称为确定任意常数的条件称为初始条件初始条件. . 在差分方程的解中，如果某解含有相互独立的任意常在差分方程的解中，如果某解含有相互独立的任意常数的个数与方程阶数相同，则称此解为该数的个数与方程阶数相同，则称此解为该差分方程的通解差分方程的通解. 如果通解中的任意常数被某些条件确定后的解称为该如果通解中的任意常数被某些条件确定后的解称为该 差分方程的特解差分方程的特解. 确定任意常数的条件称为确定任意常数的条件称为初始条件初始条件.)(1111tfyayayaytntnntnt (5)n阶常系数线性差分方程的一般形式为阶常系数线性差分方程的一般形式为n阶常系

13、数线性差分方程的一般形式为阶常系数线性差分方程的一般形式为.01111 tntnntntyayayay(6)定理定理1 1 如果如果 是齐次线性差分方程是齐次线性差分方程(6)(6)的的解，则对任意的常数解，则对任意的常数 ，函数，函数)(,),(),(21tytytynnCCC,21)()()()(2211tyCtyCtyCtynn 仍是差分方程仍是差分方程(6)(6)的解的解定理定理2 2 （齐次线性差分方程通解结构）如果（齐次线性差分方程通解结构）如果 是齐次线性差分方程是齐次线性差分方程(6)(6)的的n个线性无关解，则差分方程个线性无关解，则差分方程(6)(6)的通解为的通解为)(,),(),(21tytytyn,)()()()(2211tyCtyCtyCtynn (7) 其中其中 为任意常数为任意常数nCCC,21定理定理3 3 （非齐次线性差分方程通解结构）（非齐次线性差分方程通解结构） 如果如果 是差分是差分方程方程(5)(5)的一个特解，的一个特解， 是其对应齐次差分方程是其对应齐次差分方程(6)(6)的通解的通解, , 则则)(ty)()(tytyyct 定理定理4 4 （叠加原理）（叠加原理） 如果如果 分别为差分方程分别为差分方程