2015北京海淀高三第一学期期末数学（理）试题与答案

1、 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理）答案及评分参考 2015.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9） （10） （11） （12） （13）；4 （14）三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（）的值是. 2分的值是. 5分（）由题意可得：. 7分所以 8分 . 10分因为 ，所以 .所以 当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值. 13分（16）（共13分）解：（）抽取的5人中男同学的人数

2、为，女同学的人数为. 4分（）由题意可得：. 6分 因为 ， 所以 . 8分 所以 . 10分（）. 13分（17）（共14分）证明：（）连接. 在正方形中，.因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 1分因为 平面， 所以 . 2分在菱形中，.因为 平面，平面，所以 平面. 4分因为 平面， 所以 . 5分（）平面，理由如下： 6分取的中点，连接.因为 是的中点，所以 ，且.因为 是的中点，所以 .在正方形中，.所以 ，且.所以 四边形为平行四边形.所以 . 8分因为 平面，平面， 所以 平面. 9分（）在平面内过点作.由（）可知：平面. 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所

3、示的空间直角坐标系，设，则.在菱形中，所以 ，. 设平面的一个法向量为.因为 即所以 即. 11分 由（）可知：是平面的一个法向量. 12分所以 . 所以 二面角的余弦值为. 14分（18）（共13分）解：（）由得：.所以 椭圆的短轴长为. 2分因为 ，所以 ，即的离心率为. 4分（）由题意知：，设，则. 7分因为 9分 ， 11分所以 .所以 点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上. 13分另解：由题意可设直线的方程为，.由可得：.所以 ，. 7分所以 . 9分因为 ， 所以 . 11分所以 .所以 点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上. 13分

4、 （19）（共13分）解：（）函数是偶函数，证明如下： 1分 对于，则. 2分 因为 ， 所以 是偶函数. 4分（）当时，因为 ，恒成立，所以 集合中元素的个数为0. 5分当时，令，由，得 .所以 集合中元素的个数为1. 6分当时，因为 ，所以 函数是上的增函数. 8分因为 ，所以 在上只有一个零点. 由是偶函数可知，集合中元素的个数为2. 10分综上所述，当时，集合中元素的个数为0；当时，集合中元素的个数为1；当时，集合中元素的个数为2.（）函数有3个极值点. 13分（20）（共14分）解：（）因为 ，所以 ，故. 1分 因为 ，所以 . 所以 .所以 当时，取得最大值. 3分（）由的定义可知：. 所以 . 6分设删去的两个数为，则.由题意可知：，且当其中一个不等式中等号成立，不放设时，.所以 . 7分所以.所以 ，即.8分（）对于满足（）的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得恒成立，理由如下：任取集合，由（）可知， 中存在最大数，不妨记