分析自动控制系统性能的常用方法

1、)(tc)()()(tctctcsst其中： 为暂态响应， 为稳态响应)(tct)(tcss)sin()(tAtrm)sin()(tMAeMAtcmtm为了更好地理解频率特性的概念，我们在这举一个为了更好地理解频率特性的概念，我们在这举一个这是一个简单的例子。如图所示为一阶这是一个简单的例子。如图所示为一阶RCRC电路，如电路，如果我们设电容两端的电压为果我们设电容两端的电压为UcUc为输出响应，则当激为输出响应，则当激励为正弦周期信号时，由此电路的传递函数，可得：励为正弦周期信号时，由此电路的传递函数，可得：RCUiUc+i)(11)()()(sURCssUsGsUiiC由于正弦周期信号由于

2、正弦周期信号)sin()(tAtum的拉氏变换式为：的拉氏变换式为：22)(sAsUmi所以，该一阶所以，该一阶RCRC电路输出响应的拉氏变换式为：电路输出响应的拉氏变换式为：22221111)()()(sTsAsRCsAsUsGsUmRCTmiC两边取拉氏变换，则有：两边取拉氏变换，则有：)arctan(sin)(1)(1)(22TtTAeTAtumTtmc暂态分量暂态分量稳态分量稳态分量则：则： 为该一阶为该一阶RCRC电路的幅频特性，它是指输出正电路的幅频特性，它是指输出正弦响应信号的最大值与输入正弦激励信号最大值之间弦响应信号的最大值与输入正弦激励信号最大值之间的比值；称的比值；称 为

3、该一阶电路的相频特性，它是指为该一阶电路的相频特性，它是指输出正弦信号的初相位与输入正弦信号初相位之差输出正弦信号的初相位与输入正弦信号初相位之差（相位差）。（相位差）。由此我们定义：所谓频率特性就是指正弦激励下线由此我们定义：所谓频率特性就是指正弦激励下线性系统的性系统的正弦稳态响应正弦稳态响应。并且从其稳态分量表达式。并且从其稳态分量表达式中，我们知道：对于线性电路而言，其输出的稳态中，我们知道：对于线性电路而言，其输出的稳态响应是一个与输入激励同频率的正弦函数信号，只响应是一个与输入激励同频率的正弦函数信号，只不过经过系统传送后，相对于输入激励的幅值和初不过经过系统传送后，相对于输入激励

4、的幅值和初相位而言，它的幅值（大小）和初相位（起即位置）相位而言，它的幅值（大小）和初相位（起即位置）发生了一定的变化而已。若令：发生了一定的变化而已。若令： 22)(111)(1)(TATAAAMmmmcm)arctan()()()(Tic)(M)(暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应srad /20此时输入信号有角频率438. 01438. 0)(20ArAcM26026)()(20rc实验结果表明：当输入的正弦激励信号的角频率为实验结果表明：当输入的正弦激励信号的角频率为=20rad/s=20rad/s时，该一阶时，该一阶RCRC电路稳态时输出的仍然是电路稳态时输出的仍然是同频率的正弦信号。

5、但是其输出的正弦响应信号的同频率的正弦信号。但是其输出的正弦响应信号的幅值为幅值为|Ac|=0.438|Ac|=0.438，相位滞后了，相位滞后了 。因此在这。因此在这一频率信号的作用下，此时的频率特性是：一频率信号的作用下，此时的频率特性是：26srad /50此时输入信号有角频率193. 01193. 0)(50ArAcM实验结果表明：当输入的正弦激励信号的角频率为=50rad/s时，该一阶RC电路稳态时输出的仍然是同频率的正弦信号。但是与输出的正弦响应信号的幅值为|Ac|=0.193，相位滞后了 。因此在这一频率信号作用下，此时的频率特性为：9 .789 .7809 .78)(50rc当

6、我们选择足够多的频率点后，通过幅值与频率，相当我们选择足够多的频率点后，通过幅值与频率，相位与频率之间一一对应的关系，我们最后可以绘制出位与频率之间一一对应的关系，我们最后可以绘制出如图所示的幅频率特性曲线与相频率特性曲线。并由如图所示的幅频率特性曲线与相频率特性曲线。并由此曲线来分析该电路的性质此曲线来分析该电路的性质结论：这是一个低通滤波电路结论：这是一个低通滤波电路现在，我们从理论上进一步分析，首先设系统输入的现在，我们从理论上进一步分析，首先设系统输入的正弦激励信号的表达式为：正弦激励信号的表达式为：)sin()(rrtAtr则其输出的正弦稳态响应信号为：则其输出的正弦稳态响应信号为：

7、)sin()sin()(crcctMAtAtc在上式中，在上式中，MAMAr r是输出正弦稳态响应信号的最大值，而是输出正弦稳态响应信号的最大值，而 是以度（是以度（degdeg）为单位的输出正弦稳态响应信号）为单位的输出正弦稳态响应信号的初相位。现设线性系统的传递函数是的初相位。现设线性系统的传递函数是G G（s s）, ,那么那么输入激励与与输出稳态响应之间的输入激励与与输出稳态响应之间的LaplaceLaplace变换关系变换关系就是：就是：)()()(sRsCsGR（S）C（S）)(sGc对于正弦稳态分析来说，我们将自变量对于正弦稳态分析来说，我们将自变量S S由由S=+jS=+j，替

8、换成替换成S=j,S=j,则上面的式子就变成了：则上面的式子就变成了：如果将如果将C C（jj）写成相量的形式，则有：）写成相量的形式，则有：()()()ccC jC jC jA输出稳态响应的幅值输出稳态响应的幅值输出稳态响应的初相位输出稳态响应的初相位)()()()()(jRjCsRsCsGjs现在我们以同样的办法将输入激励信号现在我们以同样的办法将输入激励信号R R（jj）也写）也写成相量的形式，则有：成相量的形式，则有：rrAjRjRjR)()()(这样该线性系统的传递函数就变成了：这样该线性系统的传递函数就变成了：()()()()()()()()()()()ccrrC jC jC jG

9、 jR jR jR jC jC jR jR jAMA正弦激励的幅值正弦激励的幅值正弦激励的初相位正弦激励的初相位由前面做过的演示实验可知，上式中的由前面做过的演示实验可知，上式中的 和和 都是角都是角频率频率的函数，所以上面的式子最终可以写成：的函数，所以上面的式子最终可以写成：)()()()()(MjGjGjG其中：正弦稳态传递函数的幅值为：其中：正弦稳态传递函数的幅值为：rCAAjAjCMjG)()()()(而正弦稳态传递函数的相位是：而正弦稳态传递函数的相位是：rcjRjCjG)()()()(M所以，我们就称所以，我们就称M ( () )称为系统的幅值频率特性，简称为系统的幅值频率特性，

10、简称幅频特性称幅频特性(Magnitude Characteristic)(Magnitude Characteristic)。 称称 ( () )称为系统的相位频率特性，简称为相称为系统的相位频率特性，简称为相频特性频特性(Phase Characteristic)(Phase Characteristic)。 两者统称为两者统称为频率特性频率特性(Frequency Characteristic)(Frequency Characteristic)或或幅相频率特性幅相频率特性(Magnitude-Phase Characteristic)(Magnitude-Phase Character

11、istic)用用G G 特别是当输入的正弦信号为单位正弦信号，即：特别是当输入的正弦信号为单位正弦信号，即：01sin)sin()(ttAtrrr则系统的频率特性就是：则系统的频率特性就是：)()(01)()()()()(MAAjRjCjRjCjGccccjssGjG)()()()(jGM)()(jG)()()()()()()(00000000jGjCAMjRjGjCrr信号时当输入激励为单位正弦这是一个简单的一阶这是一个简单的一阶RCRC电路，在前面的演示中我们已电路，在前面的演示中我们已经讨论过这个电路，即如果设电容两端的电压为经讨论过这个电路，即如果设电容两端的电压为UoUo，则该一阶则

12、该一阶RCRC电路的传递函数为：电路的传递函数为：RCUiUo+i由频率特性的定义，则有：由频率特性的定义，则有：( )11( )( )11oTRCiUsG sU sRCsTs)()()(1)(11)(11111111)(222jVURCRCjRCRCRCjjRCjRCRCjRCjjG进行分母有理化这正是系统频率特性在复数平面内的一种典型表示方这正是系统频率特性在复数平面内的一种典型表示方法，这种表示方法我们称之为直角坐标表示法。法，这种表示方法我们称之为直角坐标表示法。根据复函数理论，我们可以分别求根据复函数理论，我们可以分别求出上式中的幅值与相位，即：出上式中的幅值与相位，即：幅值：幅值：

13、1)(11)(1)(1)()()(2222222RCRCTRCVUM相位：相位：)arctan()(11)(1arctan)()(arctan)(22RCRCRCRCUV)()(U)(V+1+j由此可见，当正弦信号通过由此可见，当正弦信号通过RCRC电路时，其输出的稳态电路时，其输出的稳态信号将是输入信号同频率的正弦信号，但它的幅值和信号将是输入信号同频率的正弦信号，但它的幅值和相位不仅与频率相位不仅与频率的变化有关，而且还与一阶的变化有关，而且还与一阶RCRC电路电路的参数结构有关（的参数结构有关（RCRC）有关，为此我们分别取）有关，为此我们分别取R=1R=1，C=0.1FC=0.1F、0

14、.01F0.01F、0.001F0.001F等实验参数时，并利用等实验参数时，并利用MATLABMATLAB软件来看一看其输出信号的幅值、相位与频率软件来看一看其输出信号的幅值、相位与频率及电路参数及电路参数R R、C C之间的关系。之间的关系。当当=20rad/s=20rad/s时时的幅值与相位的幅值与相位当当=45rad/s=45rad/s时的幅值与相时的幅值与相位位截止频率截止频率p=10rad/sp=10rad/s相频特性观察点相频特性观察点: :此此时输出信号产生了时输出信号产生了近近-45-45度的相移度的相移幅频特性观察点幅频特性观察点: :此时此时输出信号的幅值衰减输出信号的幅

15、值衰减至输入幅值的至输入幅值的0.7070.707倍倍当实验参数：当实验参数：R=1R=1，C=0.1FC=0.1F时时截止频率截止频率p=100rad/sp=100rad/s相频特性观察相频特性观察点点: :此时输出信此时输出信号产生了近号产生了近-45-45度的相移度的相移幅频特性观察点幅频特性观察点: :此时此时输出信号的幅值衰减输出信号的幅值衰减至输入幅值的至输入幅值的0.7070.707倍倍当实验参数：当实验参数：R=1R=1，C=0.01FC=0.01F时时截止频率截止频率p=1000rad/sp=1000rad/s相频特性观察相频特性观察点点: :此时输出信此时输出信号产生了近号

16、产生了近-45-45度的相移度的相移幅频特性观察点幅频特性观察点: :此时此时输出信号的幅值衰减输出信号的幅值衰减至输入幅值的至输入幅值的0.7070.707倍倍当实验参数：当实验参数：R=1R=1，C=0.001FC=0.001F时时T=RC=0.001T=RC=0.001随着频率的增加，当随着频率的增加，当，其输出信，其输出信号的幅值会衰减至零并产生约为号的幅值会衰减至零并产生约为-90-90度最度最大相移。大相移。ppBWrrMr)()()()()()()(MjGjGjVUjG)()()( MjG)()(M在绘制幅相频率特性曲线时，先选取几个特殊在绘制幅相频率特性曲线时，先选取几个特殊点

17、（如点（如=0=0， =1/=1/T T， 等）求得对应等）求得对应的的M M与与 ，然后再有选择地选取若干个与，然后再有选择地选取若干个与数数值点对应的值点对应的M M与与 ，再按，再按由由00的顺序的顺序, ,逐逐点绘制出曲线图形。如一阶点绘制出曲线图形。如一阶RCRC电路电路, ,当当R=1R=1，C=0.001C=0.001时时, ,其奈氏曲线的绘制方法与步骤。其奈氏曲线的绘制方法与步骤。第一步：求出系统的幅频及相频特性表达式：2222)(1)(111)(1)(1)(TTjTRCRCjRCjGRCT令1)001. 0(11)(11)(1)(1)(222222TTTTM)001. 0ar

18、ctan()arctan(1)(11)(arctan)(22TTTT因为该一阶RC电路的频率特性为：所以有：幅频特性：相频特性：第二步：选取几个特殊的点：取=0，则可计算出：0)001. 0arctan()(11)001. 0(1)(002M取=1/T=1/0.001，则可计算出：45)001. 01001. 0arctan()001. 0arctan()(707. 0211)001. 01 (001. 0(11)001. 0(1)(22M取，则可计算出：90)001. 0arctan()(01)001. 0(1)(2M第三步：按由0的顺序，逐点、光滑地绘制出曲线图形00)()()()()(j

19、eMjVUjG)()(lnln)(ln)(ln)(ln)()(jMeMeMjGjj在指数表达式的两边取自然对数，有：在指数表达式的两边取自然对数，有：对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性对数频率特性对数频率特性)(lg2)(lg3026. 2lg)(lg)(lnMMeMM利用换底公式dBMMLM)()(lg20)()(lg2)()(ln分贝贝尔例如：在一阶RC电路中，当=p时，其输出幅值衰减至输入信号幅值的0.707倍，如采用对数幅频特性来描述的话，则在此频率下，其对数幅值为：dBL3)15. 0(20707. 0lg20)()()(lg20)(dBML对数幅频特性对数幅频特性对数

20、相频特性对数相频特性三级半对数坐标三级半对数坐标相频特性（单位度相频特性（单位度) )幅频特性（单位分贝幅频特性（单位分贝) )角频率角频率角频率角频率一个一个lglg单位单位1010倍频程倍频程(dec)(dec)(lg20MKsRsCsG)()()(0)()()(jKjRjCjG 0lg20dBKL 20lgK1101000.11101000.1L()伯德图伯德图 L L L L比例环节放大倍数比例环节放大倍数K K变化，系统的变化，系统的L L（）上下平）上下平移，但相频特性移，但相频特性 不变不变。 sKTssRsCsG1)()()(2/11)()()(jeTKTjjTjRjCjG90

21、2)()lg(20)1lg(20)(TTLlg20lg20lg20)1lg(20lg20)(KTTL比例环节比例环节理想积分环节理想积分环节 90ssRsCsG)()()(2/)()()(jejjRjCjG902)()lg(20)(Llg20lg20lg20)(L比例环节比例环节理想微分环节理想微分环节lg20 9011)()()(TssRsCsG)arctan(2221)(11)(1)(111)()()(TjeTTTjTTjjRjCjG)arctan()(1)(lg201)(1lg20)(22TTTLTT110-900L()-45-20=1/T110第二步：低频段近似T1当T1，也即1当T1

22、，也即1/T，这时由于T1，所以忽略1后有：90)arctan()()lg(201)(lg20)(2)(2TTTTTL0-900L()-45-20=1/T110-20dB-20dB斜率的辅助线斜率的辅助线第四步：交接频率T=1处的计算当T=1，也即=1/T，这时有：45)1arctan()arctan()(31)1(lg201)(lg20)(22TTTdBTTTLL()0-900-45-20=1/T110-3dB-3dB修正修正-45-450 0修正修正低频渐近线高频渐近线L()0-900-45-20=1/T110-3修正后的对数频率特性修正后的对数频率特性第五步：对幅频及相频渐进线用相应的修

23、正1)()()(ssRsCsG1)(1)()()(2jjRjCjG)arctan()(1)(lg20)(2L121)()()(22TssTsRsCsG2212arctan2222)2()1 (1)()()(TTeTTjRjCjG22222)(12arctan)()2()(1lg20)(TTTTL- -+G1G2H)()()()()(21sHsGsGsHsG则可知其对应的前向通道的开环频率特性则可知其对应的前向通道的开环频率特性一定为一定为: :)()()()()()()()()()()(212121jHjGjGjHjGjGjHjGjGjHjG由此可见：串联环节总的对数幅频特性等于各环节串联环节

24、总的对数幅频特性等于各环节对数幅频特性的和，其总的对数相频特性等于各环对数幅频特性的和，其总的对数相频特性等于各环节对数相频特性的和。节对数相频特性的和。 )()()()()(lg20)(lg20)(lg20)()()(lg20)(321321321MMMMMML由此可求出其对应的对数频率特性为由此可求出其对应的对数频率特性为: :)()()()()()()()()()()(212121jHjGjGjHjGjGjHjGjGjHjG105. 0111) 15 . 0(110) 105. 0)(1() 15 . 0(10)20)(1()2(100)(sssssssssssssG)20)(1()2(

25、100)(sssssG试求取系统的开环对数频率特性曲线。解：1）分析系统是由哪些典型环节串联组成，并将这些典型环节的传递函数都化成标准形式。2）由小到大计算各环节的转折频率作惯性环节及一阶微环节的Bode图由此系统的开环传递函数可知，该系统有三个具有转折频率的环节。它们是：) 15 . 0(s一阶微分环节：，其转折频率为：sradc/25 . 0/1211s惯性环节：，其转折频率为：sradc/12105. 01s惯性环节：，其转折频率为：sradsradc/20/05. 0122）选定幅频特性的横坐标轴的比例尺（频率范围）。 一般取最低频率为系统最低转折频率的1/10左右，而最高频率为系统最

26、高转折频率的10倍左右。 如有积分环节存在，则最低频率中一定要有时，系统各典型环节的相角之和。在本例中，我们可以估计出该系统开环对数相频特性的最大相移为-180度。故所选半对数标尺如下图所示。4）计算系统的开环放大倍数绘制比例环节的Bode图0)(2010lg20lg20)(KL5）计算系统的积分环节个数v绘制比例环节的Bode图90)(lg20)()lg20()(1LvLv按转折频率，由小到大，作出各惯性环节及比例微分环节的伯德图。按转折频率分段，将所有环节的伯德图加在一起。式中，T1、T2均为正值，且设T2=10T1。求它们的对数幅频特性与对数相频特性。解:由G1(s)、G2(s)、G3(

27、s)有,(1) 对数幅频特性 即：这三个开环传递函数具有相同的对数幅频特性。(2) 对数相频特性 （3）对数频率频特性曲线伯德图由上图可见， 离横轴“距离”最小，G1(s)为最小相位系统。 1如果系统的开环传递函数是最小相位系统。如果系统的开环传递函数是最小相位系统。则可则可直接分析系统是由哪些典型环节串联组成的，并将直接分析系统是由哪些典型环节串联组成的，并将这些典型环节的传递函数都化成标准形式这些典型环节的传递函数都化成标准形式( (分母常分母常数项为数项为1)1)，并计算各典型环节的转折频率。，并计算各典型环节的转折频率。 105. 0111) 15 . 0(110) 105. 0)(1

28、() 15 . 0(10)20)(1()2(100)(sssssssssssssG) 15 . 0(s一阶微分环节：，其转折频率为：srad /25 . 01211s惯性环节：，其转折频率为：srad /11105. 01s惯性环节：，其转折频率为：srad /2005. 013根据比例环节的根据比例环节的K K值，计算值，计算20lgK20lgK。在选定半对数。在选定半对数坐标纸的标尺后，作出比例环节的对数幅频特性。坐标纸的标尺后，作出比例环节的对数幅频特性。值得注意的是：选择作标尺度时，要首先确定系统值得注意的是：选择作标尺度时，要首先确定系统的开环传递函数中是否有积分环节。如果有，则无的

29、开环传递函数中是否有积分环节。如果有，则无论有几个积分环节，在坐标尺度上都应该有论有几个积分环节，在坐标尺度上都应该有 如有积分环节存在，则在在半对数坐标纸上，找到如有积分环节存在，则在在半对数坐标纸上，找到横坐标为横坐标为=1=1、纵坐标为、纵坐标为L L（）=20lgK=20lgK的点，过该的点，过该点作斜率为点作斜率为-20-20 dB/dec dB/dec的斜线，其中的斜线，其中 为积分环为积分环节的数目。这条斜线一直作到出现第一个转折频率为节的数目。这条斜线一直作到出现第一个转折频率为止。在本例中，由于只有一个积分环节，所以过（止。在本例中，由于只有一个积分环节，所以过（1 1， 20lgK20lgK）点的斜线斜率为）点的斜线斜率为-20 dB/dec-20 dB/dec。vv按所计算出来的各典型环节的转折频率，由低到高顺序作每个环节的伯德图，注意每个环节的伯德图都只作到下一个转折频率出现为止。并用以下原则来依次改变L（）下一条斜线的斜率；若转折频率之后是一个惯性环节，则转折频率后的斜线斜率减去20dB/dec；若转折频率之后是一个比例微分环节，则过