工程力学(下)chapt4

1、第四章第四章 弯曲内力弯曲内力第一、二节第一、二节 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图第三节第三节 梁的剪力与弯矩梁的剪力与弯矩第三节第三节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图 第四节第四节 弯矩、剪力与载荷集度间的关系及其应用弯矩、剪力与载荷集度间的关系及其应用一一、弯曲的概念、弯曲的概念 1、弯曲、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。 2、梁、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件主要承受垂直于轴线荷载的杆件 3、平面弯曲（对称弯

2、曲）、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。内的弯曲。 第一、二节第一、二节 弯曲的概念及梁的计算简图弯曲的概念及梁的计算简图 AB对称轴对称轴纵向对称面纵向对称面梁变形后的轴线与梁变形后的轴线与外力在同一平面内外力在同一平面内梁的轴线梁的轴线RAF1F2RB二二、 梁的荷载及计算简图梁的荷载及计算简图 研究对象研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系。面内的平面力系。 1.梁的梁的计算简图计算简图：梁轴线代替梁，

3、将荷载和支：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。座加到轴线上。 2.梁的支座简化梁的支座简化(平面力系平面力系)：a)滑动铰支座滑动铰支座b)固定铰支座固定铰支座c)固定端固定端RFRyFRxFRyFRxFRM 3.静定梁静定梁(a)悬臂梁悬臂梁(b)简支梁简支梁(c)外伸梁外伸梁 4.作用在梁上的荷载可分为作用在梁上的荷载可分为:(a)集中荷载集中荷载F1集中力集中力M集中力偶集中力偶(b)分布荷载分布荷载q(x)任意分布荷载任意分布荷载q均布荷载均布荷载第三节第三节 梁的内力梁的内力-剪力与弯矩剪力与弯矩一一、截面法过程：、截面法过程：切取、替代、平衡切取、替代、平衡FABaxASSAy

4、0:0FFFFFxFMxFMMAAC0:0 xAFSFMC 剪力剪力平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使梁顺时针转动剪为正，反之为负梁顺时针转动剪为正，反之为负. MMMMFSFSFSFS 弯矩弯矩绕截面转动的内力，符号：绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩梁上压下拉的弯矩为正为正)。剪力为正剪力为正剪力为负剪力为负弯矩为正弯矩为正弯矩为负弯矩为负二、平面弯曲梁横截面上的内力：二、平面弯曲梁横截面上的内力：kN29030kN150233

5、5 . 460yBBAAABFqFFFFFqFFMmkN26) 5 . 12 (2kN7A1A1SFFMFFFmkN3025 . 15 . 15 . 1kN115 . 1B2B2SqFMFqF例例: 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1 1与与2 2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1、求支、求支 反力反力2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力3、计算、计算2-2截面的内力截面的内力F=8kNFAS1F1MFBq=12kN/mS2F2M)()(SSxMMxFF1.剪力、弯矩方程剪力、弯矩方程： 2.剪力、

6、弯矩图剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图弯矩图 例例: 在图示简支梁在图示简支梁AB的的C点处作用一集中力点处作用一集中力F，剪剪力方程和弯矩方程力方程和弯矩方程,并作剪力图和弯矩图。并作剪力图和弯矩图。 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突力图发生突变，其突变值等于集中力的大小

7、，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向变方向沿集中力作用的方向。解：解： 1、求支反力、求支反力lFaFlFbFBA；2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程axlFbxxFxMaxlFbFxFAC段0)(0)(:AAS lxaxllFaxlFxMlxalFaFxFCB段ABS)()(:+lFbalFABCabFAFB+lFblFa剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程BAFlx)0()()0()(SlxFxxMlxFxF)0()()0()(SlxFxxMlxFxFFSxFFlxM 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为

8、集中力偶的大小。矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。 例例: 在图示简支梁在图示简支梁AB的的C点处作用一集中点处作用一集中力偶力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。，作该梁的剪力图和弯矩图。解：解： 1、求支反力、求支反力lMFlMFBA；2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程axlMxxFxMaxlMFxFAC段0)(0)(:AAS lxaxllMxlFxMlxalMFxFCB段BBS)()(:lABCabFAFBM+lM+lMalMbFSM2qlFFBA由对称性知：222)(2)(22AASqxqLxqxxFxMqxqlqxFxF82,2maxmaxSqlMqlF例例: 图示简

9、支梁受均布荷载图示简支梁受均布荷载q的作用，的作用，剪力方程和剪力方程和弯矩方程弯矩方程, 并作该梁的剪力图和弯矩图。并作该梁的剪力图和弯矩图。qlABx解：解： 1、求支反力、求支反力FAFB2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程2/ql2/ql+82qll/2 通过剪力、弯矩和分布载荷之间的微分关系，可通过剪力、弯矩和分布载荷之间的微分关系，可推知剪力图和弯矩图的形状推知剪力图和弯矩图的形状:2若梁上无分布载荷，则该段梁的剪力图为平行于轴的直线；而若梁上无分布载荷，则该段梁的剪力图为平行于轴的直线；而弯矩弯矩图为斜直线。弯矩弯矩图为斜直线。3若梁上有均布载荷，则剪力图为斜直线；

10、而弯矩图为抛物线。若梁上有均布载荷，则剪力图为斜直线；而弯矩图为抛物线。本书规定当本书规定当 （ 向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当 （向下）（向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。时，弯矩图为向上凸的曲线。4在集中力作用处，剪力图有突变（突变值等于集中力），弯矩在集中力作用处，剪力图有突变（突变值等于集中力），弯矩图有折角。在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变图有折角。在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变（突变值等于集中力偶矩）（突变值等于集中力偶矩）510.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAq=20kN/m:81kN31k

11、N29kN+0qxRFBSxm45. 1qRxBB10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKRARBmAq=20kN/mmkN5 .96mMAA右mkN5 .15181MMAE05 . 031MMECmkN31131MMCD96.515.531mRMBK1mkN345129mRMB45.2maxmkN5545.122q mkN5 mMB左0MB右x+5534581kN31kN29kN+F=50kNM=5kN.mAECDKRARBmAq=20kN/m+k623.RA kN27 RBBACD2001151265FFRARB23123.61.727+4.723.11+ RARBEqABCD0

12、.21.612kN80RRBA+80kN80kN+161648单位：单位：kN.m例例: 外伸梁外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的承受荷载如图所示，作该梁的FS-M图。图。解：解： 1、求支反力、求支反力kN8 . 3kN2 . 7BAFF2、判断各段、判断各段FS、M图形状：图形状：CA和和DB段：段：q=0，FS图为水平图为水平线，线，M图为斜直线。图为斜直线。AD段：段：q0， FS 图为向下斜直图为向下斜直线，线， M图为上凸抛物线。图为上凸抛物线。DABm1m4m1kN3kN/m2mkN6C3、先确定各分段点的、先确定各分段点的FS 、M值，用相应形状的线条连接。值，用相应形状的线

13、条连接。FS+_3(kN)4.23.8Ex=2.1mM(kNm)3.81.4132.2_+FAFB3m4mABCDE4m4mRARBF1=2kNq=1kN/mm=10kN.mF2=2kNkN7RAkN5RB7kN1kN+3kN3kN2kNx=5m201666+20.5abcd18kN2kN14kN3m3m6m+)(dsdxqxFkN18SFB左左kN2S FB右右CABDF=20kNqdxxqFFdcCD6)(SSkN26)2()14(qabcd18kN2kN14kN3m3m6m+q=2kNCABDF=20kNmkN54318Mabcd18kN2kN14kN3m3m6m+0Md48dab54c

14、+kN.m 483)2(54M当变形为微小时，可采用变当变形为微小时，可采用变形前尺寸进行计算。形前尺寸进行计算。1、叠加原理叠加原理：当梁在各项：当梁在各项荷载作用下某一横截面上荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩用下同一横截面上的弯矩的代数和。的代数和。2、区段叠加法作弯矩图区段叠加法作弯矩图： 设简支梁同时承受跨间荷设简支梁同时承受跨间荷载载q与端部力矩与端部力矩MA、MB的作用的作用。其弯矩图可由简支梁受端部。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：图叠加得到。即：四四 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图+MAMBM0+MAMBM0 xMxMxM0BMAAqMBlBFxFqxlqx+FxxMF)(Fl2)(2qxxMq22ql+-62ql62ql812qlBCF2F3aDEF1AaaaF1291acebdF2e122+acbd215acebdF3aaaa291acebdmkN1312