大学物理静电场习题课

1、2022-3-19静电场习题课静电场习题课 电势的计算 电势能，电场能的计算 电势和电场的相互推算 导体的静电平衡，电容的计算 有介质时高斯定理的应用，P，D，E，的计算12022-3-191. .电荷守恒定律电荷守恒定律2. .电荷量子化电荷量子化3. .库仑定律库仑定律01222101241r rF Frqq4. .场叠加原理场叠加原理 n1iin21EEEEE 第一部分第一部分 真空中的静电场真空中的静电场 22022-3-192. .电偶极矩电偶极矩l lp pq4. .电通量电通量SdS SE E5. .电场力的功电场力的功l lE EdqWba06. . 电势能电势能UqWP0 7

2、. .电势电势0qWUP 8. .电势差电势差baabUUU l lE Edbal lE Eda1. .电场强度电场强度0qF FE E32022-3-19I. .电场强度计算方法电场强度计算方法1. .由点电荷电场由点电荷电场求点电荷系求点电荷系nii1E EE E02041iiirqr r2. .矢量积分法矢量积分法连续带电体连续带电体E EE EdV02041r rrdqV020rrq41E42022-3-193. .利用高斯定理利用高斯定理具有高度对称的场具有高度对称的场0qdSS SE E4. .场强与电势的微分关系场强与电势的微分关系已知电势已知电势0nnUE 5. .灵活运用场叠

3、加原理灵活运用场叠加原理oP如空心均匀带电球体，如空心均匀带电球体，求球心连线上求球心连线上P点的场强。点的场强。52022-3-19II. .电势的计算方法电势的计算方法1. .由定义由定义00qWqWUaP 2. .点电荷系点电荷系3. .代数积分法代数积分法连续带电体连续带电体iniUU 1niiirq104dUUV 体体rdqV04体4. .场强的线积分法场强的线积分法l dEUaa 62022-3-191. .静电场中的高斯定理静电场中的高斯定理0qdSS SE E2. .静电场中的环路定理静电场中的环路定理Ld0l lE E5. .灵活运用场叠加原理灵活运用场叠加原理如求由多个球壳

4、构成体系的电势如求由多个球壳构成体系的电势2R1R2q1q72022-3-19高斯面高斯面例例1：两同心均匀带电球面，带电量分别两同心均匀带电球面，带电量分别为为 q1、 q2, , 半径分别为半径分别为 R1 、R2 , , 求各区求各区域内的场强和电势。域内的场强和电势。o1R1q2q解：解：在三个区域中分在三个区域中分别作高斯球面，别作高斯球面，IIIIII2R0qdSS SE E024qrE2041rqE82022-3-19高斯面高斯面o1R2R1q2qIIIIII2041rqE,1Rr ,0q01E,21RrR1qq210241rqE,2Rr21qqq2210341rqqE92022

5、-3-19I区电势区电势22113211RRRRrdddVl lE El lE El lE E221320RRRdrEdrE212014RRdrrq220214Rdrrqq2111041RqRq221041Rqq 102022-3-1922011014141RqRqV22322RRrddVl lE El lE EII区电势区电势2232RRrdrEdrE22014Rrdrrq220214Rdrrqq220104141Rqrq112022-3-19III 区电势区电势rdVl lE E33高斯面高斯面o1R2R1q2qIIIIIIrdrE3rdrrqq20214rqq21041122022-3-

6、191. .静电平衡条件：静电平衡条件： 导体内部场强为导体内部场强为0 0。2. .静电平衡时导体为等势体，导体表面为等势静电平衡时导体为等势体，导体表面为等势面。面。3. .静电平衡时导体内无静电平衡时导体内无净净电荷，所有电荷分布于电荷，所有电荷分布于外表面。外表面。4. .孤立导体孤立导体电荷面密度与导体表面的曲率半径电荷面密度与导体表面的曲率半径成反比。成反比。5. .静电平衡时，场强方向与导体表面垂直。静电平衡时，场强方向与导体表面垂直。第二部分第二部分 静电场中导体与电介质静电场中导体与电介质132022-3-196. .静电平衡时，导体表面静电平衡时，导体表面附近附近的场强大小

7、为的场强大小为0E7. . 空腔内无电荷：空腔内无电荷：空腔内表面无电荷全部电荷空腔内表面无电荷全部电荷分布于外表面分布于外表面, ,空腔内场强空腔内场强 E E = 0= 0。空腔导体具空腔导体具有静电屏蔽的作用。有静电屏蔽的作用。8. . 空腔原带有电荷空腔原带有电荷 Q：将将 q 电荷放入空腔内，电荷放入空腔内，内表面带有内表面带有 - -q 电电荷电电荷, ,外表面带有外表面带有 Q + + q 电荷。电荷。接地可屏蔽内部电场变化，对外部电场的影响。接地可屏蔽内部电场变化，对外部电场的影响。142022-3-191. .介质中的场强介质中的场强E EE EE E0r0E EE E2.

8、.介质中的电势差介质中的电势差l lE EdUbaab3. .介质中的环路定理介质中的环路定理0l lE Ed4. .电场强度通量电场强度通量00qqdSS SE E152022-3-191. .定义定义V pP真空中真空中 P = 0 ，真空中无电介质。真空中无电介质。导体内导体内 P = 0 ，导体内不存在电偶极子。导体内不存在电偶极子。2. .极化强度大小极化强度大小PEPe0 rP1103. .极化强度通量极化强度通量SPdS SP Pq电极化率电极化率1 re 162022-3-191. . D D 是自由电荷与极化电荷共同产生的。是自由电荷与极化电荷共同产生的。P PE ED D0

9、2. . 对各向同性、均匀电介质对各向同性、均匀电介质E ED Dr0E E3. . 对平行板电容器对平行板电容器0D4. . 介质中的高斯定理介质中的高斯定理0qdSS SD D172022-3-19abUqC1. .电容器电容电容器电容2. .电容器串联电容器串联nCCCC1111213. .电容器并联电容器并联nCCCC21182022-3-19CQW221 221CUQU21体体VEW221 体EDV21体VD221221EED21221D体体VWwe 192022-3-19例例2：带正电的导体带正电的导体 A ，接近不带电的导体接近不带电的导体 B ，导体导体 B 的电势如何变化。的

10、电势如何变化。答案：答案：升高。升高。202022-3-193124AQBQ解：解：SSQA21SSQB43AB在导体极板内，取在导体极板内，取 A、B 两点，由静电平衡条件两点，由静电平衡条件040302012222AE0040302012222BE0联立求解联立求解21例例3：两导体板分别带电两导体板分别带电 Qa、Qb。求各表面的电求各表面的电荷面密度。荷面密度。2022-3-1941SQQBA232SQQBA23124AQBQAPBP1. .两外表面电荷等量同号。两外表面电荷等量同号。2. .两内表面电荷等量异号。两内表面电荷等量异号。222022-3-19SQ/SQ/有有041SQ3

11、2讨论：讨论：QQQBA41SQQBA232SQQBA2232022-3-1941320BQSQA2SQA241SQQBA232SQQBA2242022-3-19例例4：球形电容器由半径为球形电容器由半径为 R1 带电为带电为 Q 的导体的导体球和与它同心的导体球壳构成，其间充有球和与它同心的导体球壳构成，其间充有 r1、r2 两种介质，两种介质，求：求：(1)场强分布；场强分布；(2) 两极间电两极间电势差；势差；(3) 电容电容 C 。解：解： (1)I区：区：E1=0II区：区：作高斯球面作高斯球面0qdSS SD DQrD224导体内导体内1R2R3R4R1r2rIIIIIIIVQV2

12、52022-3-19224rQD1022rDE2104rQrIII区：区：同理同理22034rQEr导体内导体内IV区：区：04EV区：区：0qdSS SD D1R2R3R4R1r2rIIIIIIIVQV262022-3-19254rQD055DE（2） 两极间电势差两极间电势差1R2R3R4R1r2rIIIIIIIVQV3113RRdUl lE E204rQ213232RRRRdrEdrE2132222144RRRRdrrQdrrQ272022-3-19213222211344RRRRdrrQdrrQU322211114114RRQRRQ32121231112324)()(RRRRRRRRR

13、Q(3) 电容电容C13UQC)()(42311123232121RRRRRRRRR282022-3-19o例例5：球形电容器两球面的半径分别为球形电容器两球面的半径分别为 R1、R2 ，带电量分别为带电量分别为 + +Q 和和 Q， 极间充有极间充有电介质电介质 ，求：电容器能量。，求：电容器能量。解：解：极间场强极间场强QQ1R2R241rQE能量密度能量密度221Ewe422 32rQ292022-3-19drrdV24体元体元dVwdWee228rdrQdrrrQ242243222821rdrQdWWRRVee212118RRQoQ1RQ2Rrdr302022-3-192.平行板电容器

14、平行板电容器 S d r V 恒定恒定,将电容器中介质全将电容器中介质全部抽出部抽出,则此过程中则此过程中(1)电容器贮能的改变量电容器贮能的改变量 W?(2)电场力克服电源非静电力作功电场力克服电源非静电力作功A2=?(3)外力作功外力作功A3=?0SVd21VC21CV21W1VCqCVq ,dSCdSC20r2020000r0）减减少少的的量量：（解解：介介质质抽抽出出，0SVd1V)qq(A)2(20r020SVd21WAA)3(20r23312022-3-193.黄铜球浮在相对介电常数为黄铜球浮在相对介电常数为 r 的油槽中的油槽中,球的一球的一半浸在油中半浸在油中,球的上半在空气中

15、球的上半在空气中,已知球上净电荷已知球上净电荷Q,问球的上下部分各有多少电荷问球的上下部分各有多少电荷?(10.29)C1 Q1C2 Q2分析：分析：设上、下半球的电容和电量分别为设上、下半球的电容和电量分别为（C1、Q1）、 （C2、Q2），并假设油槽足够大，可忽略边缘影响。并假设油槽足够大，可忽略边缘影响。322022-3-19QQQQrrr 11121(1) CRCrr1022 (2) QQQ 21(3) UCQ CQ 2211332022-3-19dqQ EEqEQ4.有一无限大接地金属板有一无限大接地金属板,在板前在板前d处有一电量为处有一电量为q的点电荷的点电荷.试计算试计算(1)

16、金属板表面附近的电场强金属板表面附近的电场强度度.(2)金属板表面上感应电荷面密度金属板表面上感应电荷面密度.dq342022-3-19dqQ E内内=0EqEQ0EEEQq内内dqQ E外外EqEQ0EEEQq外外352022-3-19QqEE 解：由分析可知解：由分析可知22220qydd)yd(4q2cosE2E外外i)yd(2qdE2/3220外外2/3220)yd(2qd E外外dqQ E外外EqEQOXYQqEEE外外362022-3-195 一半径为 R 的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为 = A r （ r R ），式中 A 为常数。求 （1）圆柱体内、外各点场强大小分布

17、； （2）选距离轴线为 l （ l R ）处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布。Rrh解解:（1）取高斯面，由高斯定理0VSdVSdE372022-3-19Rrh030013222AhrrhdrArrhERrr0212ArE 030023222AhRrhdrArrhERrRrARE0322382022-3-19（2）由定义：lrrrdEURlARrRAdrrARdrArdrEdrEURrlRRrlRRrln393303330030221rlARdrrARdrEURrlrlrln3303032392022-3-196. 电荷面密度分别为电荷面密度分别为 +和和 -的两块的两块“无限大无限

18、大”均匀均匀带电平行平面，处于与平面垂直的带电平行平面，处于与平面垂直的 X 轴上的轴上的 +a 和和 -a 的位置上。设坐标原点的位置上。设坐标原点 O 处电势为零。求空间的处电势为零。求空间的电势分布表示式并画出其曲线。电势分布表示式并画出其曲线。解：解：由高斯定理得场强分布xaaxEaxaE,00XaaO402022-3-19XaaO:) 1 (ax00000adxdxEdxUaaxx:)2(axa0000 xdxEdxUxx:)3( xa00000adxdxEdxUaaxx412022-3-197. 在一接地导体球壳在一接地导体球壳 A 内有一同心带电导体球内有一同心带电导体球 B ，A 外有电量为外有电量为 Q 的点电荷。已知点电荷与球壳的点电荷。已知点电荷与球壳 A 的的球心距离为球心距离为 R ，球壳球壳 A 的外表面半径为的外表面半径为 a。求求 A 外外表面的总电量。表面的总电量。