线性代数1 矩阵概念

1、 矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，它广泛地运用于自然科学、工程技术、现代经济管理等各个领域。本章将引进矩阵的概念，并讨论矩阵和线性变换的关系，以及矩阵的运算。重点是矩阵的概念及运算、矩阵的初等行变换及逆矩阵。第二章第二章 矩矩 阵阵 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念【学习本节要达到的目标】1、理解矩阵概念。2、了解常见的矩阵类型。 在某些问题中 所有数据可以用一个矩形表完整表示 比如线性方程组可以对应一个矩形表 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 这个矩形表就称为

2、矩阵 一、矩阵概念的引入 例1 设有线性方程组 7739183332154321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个4行5列的矩形阵列如下 77391111833312111151 这个阵列决定着给定方程组是否有解 以及如果有解 解是什么等问题 因此对这个阵列的研究就很有必要 由此得到排成4行4列的产值阵列 80827088909075908485709878755880 它具体描述了这家企业各种产品各季度的产值 同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况 例2 某企业生产4种产品 各种产品的季度产值(单位

3、万元)如下表 由此得到一个m行n列阵列 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 它描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系 例3 生产m种产品需用n种材料 如果以aij表示生产第i种产品(i1 2 m)耗用第j种材料(j1 2 n)的定额 则消耗定额可以用一个矩形表表示 例4. 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B.ABCD四城市间的航班图情况可用表格来表示:ABCDABCD其中 表示有航班. 到站到站发站发站为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:这

4、个数表反映了四城市间交通联接情况.ABCDABCD0010100101010110定义(矩阵) 由mn个数aij(i1 2 m j1 2 n)排成的一个m行n列的矩形表称为一个mn矩阵（matrix） 记作 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 其中aij称为矩阵的第i行第j列的元素 一般情况下 我们用大写黑体字母A B C等表示矩阵也可以记作Amn或 (aij)mn.77391111833312111151 如上述例1所得的矩形阵列就是一个45矩阵，可记为A45或 (aij)45，即A45 =定义(矩阵相等) 如果两个矩阵A B有相同的行数与相同的列数 并且对应位置上的元素

5、均相等 则称矩阵A与矩阵B相等 记为AB 即如果A(aij)mn B(bij)mn 且aijbij(i1 2 m j1 2 n) 则AB 二、矩阵的基本关系例如,530221A.fedcbaB它们都是23矩阵。仅当a=1, b=2, c=2, d=0, e=3, f =5时，矩阵A和矩阵B才是相等的，即A=B.定义：对于矩阵A=(aij)mn ：当m=1时，表示只有一行的矩阵，叫做， 记为A=a1 a2 anmaaaA21 所有元素都是零的矩阵称作， 记作Omn或O.当n=1时，表示只有一列的矩阵，叫做，记为 .00000000000000000000 注意：不同阶数的零矩阵是不相等的注意：不

6、同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如当m=n时，称为定义：对于矩阵A=(aij)mn ：nnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211对于n阶方阵，当n=1时，即一阶方阵就是表示一个数a11.在n阶方阵中，从左上角到右下角的n个元素称为（diagonal）. nnaaa,2211主对角线一侧的元素全为0的n阶方阵称为三角矩阵。上三角矩阵（upper triangular matrix）： 非零元素只出现在对角线及其上方。下三角矩阵（lower triangular matrix）: 非零元素只出现在对角线及其下方。nnnnaaaaaa00022211211nnnnaaaaaa2122

7、2111000对角矩阵（diagonal matrix）： 既是上三角矩阵又是下三角矩阵。 ),(diag2211nnaaaD可记为单位矩阵（identity matrix）：主对角线元素全为1，其余元素都为0的n阶方阵。nnaaa0000002211100010001记为En或E.小 结(1)矩阵的概念mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211列的一个数表列的一个数表行行nm(2)矩阵相等如果A(aij)mn B(bij)mn 且aijbij(i1 2 m j1 2 n) 则AB (3) 特殊矩阵 方阵;时的矩阵nm 行矩阵与列矩阵;单位矩阵;零矩阵.100010001 ,21

8、 naaaB ,21naaaA n 00000021Omn练习：P22.A组1、2、32.2 矩阵的运算1、掌握矩阵的加法、数乘矩阵的运算；2、掌握矩阵乘法、矩阵转置的运算； 3、理解并掌握以下重要结论：ABBA；(AB)T=BTAT.【学习本节要达到的目标】定义定义(矩阵加法矩阵加法) mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111一、矩阵的加法 两个mn矩阵A(aij)mn B(bij)mn将它们的对应位置元素相加，得到的mn矩阵称为矩阵A与矩阵B的和 记为AB 即 AB(aij)mn(bij)mn(aijbij )mn 例

9、1 设有矩阵A与矩阵B，321034022753BA846075120231 320501742233 111 A 111 A 111 A 111 B1203162540783+1 5+3 7+22+2 0+1 4+5 3+72+00+0 1+6 2+4 3+8 111 A 111 C 111 C 111 B 44081799621011解求A+B注意 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.在这里我们把两个行列分别相等的矩阵称为同型矩阵.矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律设A,B,C,O都是mn矩阵，容易验证下列运算规律： ;1ABBA ;2CBACBA .3AOA09050301O

10、A9531解,9531A 例2 设有矩阵 求A+O.解 根据矩阵加法的定义，.212222111211的负矩阵称为矩阵则AaaaaaaaaaAmnmmnn 对于矩阵A=(aij)mn，我们称矩阵(-aij)mn为矩阵A的负矩阵，记作-A. mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211即若利用矩阵的加法和负矩阵，可以定义矩阵的减法矩阵的减法： mnmnmmmmnnnnbababababababababaBABA221122222221211112121111)(OAA显然，有 例3 已知求A-B.解 根据矩阵减法的定义，32112321) 1(012BA.121111,213102A

11、312211B 例4 设有矩阵A与矩阵B，,2452A3586B 求满足矩阵方程A+X=B的矩阵的矩阵X.解 由A+X=B得得X=B- -A，所以5934)2(3455826ABX定义(数乘矩阵) 以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵 称为数k与矩阵A的数乘矩阵 记为kA 即如果A(aij)mn 那么 kAk(aij)mn(kaij)mn .212222111211mnmmnnkakakakakakakakakaAkkA二、数乘矩阵 例5 设有矩阵A，105951901355040130809080175120A 1059519013550401308090801751205 . 15 .

12、1 A1055 . 1955 . 11905 . 11355 . 1505 . 1405 . 11305 . 1805 . 1905 . 1805 . 11755 . 11205 . 15 .1575 .1422855 .20275601951201351205 .262180 解求1.5A . 例 3 已知230412301321A 052110351234B 求 3A2B 解 0521103512342230412301321323BA06109402122306691002349668361941016151055011 解 0521103512342230412301321323BA

13、例6练习：练习：设 140213A043203B求3A-2B. BA230432032140213308640631206393206233解解 ;3AkllAk ;2lAkAAlk ;1kBkABAk数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律设k和l是两个常数，A和B均是mn阶矩阵，容易验证下列运算规律： 矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵统称为矩阵的的线性运算。线性运算。 .0 ,14OAAA 例7 已知 864297510213A 612379154257B 且A2XB 求X )(21ABX27212244446421 解由A2XB 得到 )(21ABX27212

14、244446421 )(21ABX27212244446421.12712111222232小 结矩阵加法与矩阵数乘的运算规律 设A B C O都是mn矩阵 k l是数 则(1)ABBA (2)(AB)CA(BC) (3)AOA (4)A(A)O (5)k(AB)kAkB (6)(kl)AkAlA (7) (kl)Ak(lA) (8)1AA; 0AO. 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从

15、行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆