经典高等数学课件D4-3分部积分法

1、1一、复习积分公式一、复习积分公式(22个个)幂幂2个个指指2个个三角三角10个个有理式有理式4个个无理式无理式4个个dd K xxx ，ddxxexax ，sin dcos dx xx x ，22secdcscdx xx x ，sec tan dxx x ，csc cot d .xx x 2dd,1xxxx ，22211d ,d ,1xxxax sec dcsc d ,x xx x ，tan dcot d ,x xx x，2222dd.xxaxxa 221d . xxa 2二、复习积分方法二、复习积分方法1.直接积分法：直接积分法：(恒等恒等变形后变形后用用公式公式)2.换元积分法：换元积分

2、法：第一类换元法第一类换元法(也称也称凑微分法凑微分法) :第二类换元法第二类换元法:(易积易积)(易积易积)问题：问题：？dxxex xxcosdx令令( )xu ( )dg x x ( ) fx d)(x ( )( )d uxf u u ( ) ( )( )d txfttt ( )df xx ( )xt 令令( )( )dtft 3第三节由导数公式由导数公式()uvu vuv积分得积分得:dduvuv xuvx分部积分公式分部积分公式dduvxuvuvx或或ddu vuvv u分部积分法 第四四章 化难为易化难为易注：注：1.左端的被积表达式为两部分左端的被积表达式为两部分;右端为两部分右

3、端为两部分.2.公式的作用：公式的作用：4ddu vuvv u 例例1. 求积分求积分cos d .xx x 解（一）解（一）令令,cosxu dd ,x xv cos dxx x 22cossin d22xxxx x 显然显然, 选择不当，选择不当，积分更难进行积分更难进行.,duv解（二）解（二） 令令,xu cos dd ,x xv cos dxx x sid( n )xx sisinn dxxxx .cossinCxxx 注意：注意： 应合理地选取应合理地选取u和和dv， v使使du比比 udv易求易求.21dsin d ,.2ux x vx 则则dd ,sin .ux vx则则5例例

4、2. 求积分求积分2d .xx ex 解解:2,ux 令令dd ,xexv 2dxx ex 22d()xxex ex .)(22Cexeexxxx 1) v 容易求得容易求得 ;2)ddv uu v比比容易计算容易计算 .(d ):uvv 选选取取及及或或的的原原则则ddu vuvv u 注：可连续使用分部积分法注：可连续使用分部积分法.经验经验1:(dx 幂幂 指指 三三角角) )可设幂函数可设幂函数=u22(d )xxxx exeex 2d()xxe 22dxxx exex 22d()xxxx ee d2 d ,.xux x ve则则6.41ln222Cxxx ,ux 设设 v？x1.v这

5、这时时 求求不不出出来来分析分析:ln ,ux 设设，221xv 例例3.ln dxx x 求求ln ddx xv ，1dd ,uxx 则则ln dxx x 2 d(2l)nxx 2212nd)n2ll(xxxx 2211lnd22xxxxx 解解:ddu vuvv u ddux 则则，ddx xv ， 7例例4.arctan d .xx x 求求分析分析:,ux 设设 v？211x arctan dd ,x xv 解解:arctan,ux 令令ddvx x ，21dd ,1uxx 则则212vx 21arctan2xx 221d21xxx 21arctan2xx 211(1)d21xx 21

6、arctan2xx 1(arctan )2xxCddu vuvv u .v这这时时 求求不不出出来来2arctand(2)xx 原原式式22111d21xxx 8经验经验2: dx 幂幂对对( (反反三三角角) )可设对数可设对数(反三角反三角)=u例例5. arccosd .xx 求求arccos,dduxvx设设，211dd ,xux 则则vx 解解: xxdarccos)(arccosdarccosxxxx xxxxxd1arccos2 .1arccos2Cxxx uv 2212)1d( arccosxxxx熟悉以后熟悉以后,可以去掉假设可以去掉假设u,dv的过程的过程,只要记在心中即可

7、只要记在心中即可.9把被积函数视为两个函数之积把被积函数视为两个函数之积 ,按按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的的顺序顺序, 前者为前者为u用分部积分法解题用分部积分法解题技巧技巧:反反: 反三角函数反三角函数对对: 对数函数对数函数幂幂: 幂函数幂函数指指: 指数函数指数函数三三: 三角函数三角函数lnx lnxxxC dx例例6 . 解解: ln dx x 求求lnd(ln )xxxx uv经验经验1:(dx 幂幂 指指 三三角角) )可设幂函数可设幂函数=u经验经验2: dx 幂幂对对( (反反三三角角) )可设对数可设对数(反三角反三角)=u10解解:2ln2 ln2.xxxxx C

8、x2lndx例例7.2lnd .x x 求求 )(lnln22xxxx duv xxxxx1ln2ln2dx xxxln2ln2dxddu vuvv u 2ln2( lnd )xxxxx 11例例8. 2lncosd .cosxxx 求求解解: 22lncosdlncossecdcosxxxxxxlncosd(tan )xx tanlncosxx2tandxx tanlncosxx2(sec1)dxx tanlncosxxtan xxCddu vuvv u tan d(lncos )xx 121(sincos )2xexxC 例例9.sin dxex x 求求sin dxex x sin d(

9、)xxe sincos dxxexex x sincos d()xxexxe sin(cossin d )xxxexexex x sin d(sincos )xxexxex x sin dxex x 把把类似类似于于解方程求积分的方法解方程求积分的方法(有区别有区别), 叫叫回归法回归法. 解解:说明说明: 也可设也可设,xuev 为三角函数为三角函数 , 但两次所设类型但两次所设类型必须一致必须一致 . ddu vuvv u 13.tansecln21tansec21Cxxxx 3secdx x 例例10. 求求3secd .x x 2secsecdxx x sec d(tan )xx uv

10、sec tantansec tan dxxxxx x 2sec tansec (sec1)dxxxxx 3sec tansecdsec dxxx xx x 3sec tanlnsecsecndtaxxxxxx 3secdx x 解解:ddu vuvv u 14211cossin1 nnnInnxxnI例例11.,dsinxxInn 证明证明所满足的递推公式所满足的递推公式证明证明:sindnnIx x 1sind(cos )nxx 11cos sincos d(sin)nnxxxx 122cos sin(1) cossindnnxxnxx x 122cos sin(1) (1sin)sindn

11、nxxnxx x 12cos sin(1) sind(1) sindnnnxxnx xnx x 12cos sin(1)(1)nnnxxnInI 1211sincosnnnnIxxInn 15说明说明:分部积分题目的类型分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式分部产生循环式 , 由此解出积分式由此解出积分式 ;(注意注意: 两次分部选择的两次分部选择的 u , v 函数类型不变函数类型不变 , 解出积分后加解出积分后加 C )3) 对含自然数对含自然数 n 的积分的积分, 通过分部积分建立递通过分部积分建立递 推公式推公式 .16揉合在一起使用；揉合在

12、一起使用；实际解题中，往往是第一、第二换元法与分部积分法实际解题中，往往是第一、第二换元法与分部积分法例例12. d .xex 求求解解: 令令,xt 2,xt 则则d2 dxtt 原式原式2dttet 2(tte 2(1)xexC)te C 2d()tte 2(d )ttteet 先换元后分部先换元后分部1ln(1).)d(09xxx 求求数数二二17例例13. 求求32arctan2d .(1)xeIxx 解：解：arctan,tx 令令tan ,xt 即即则则3secteIt 2secdt t cos dtet t sintetsin dtett sintet cos dtett cos

13、tet 故故1(sincos )2tItt eC12 tx121x 21xx 211x arctanxeC d( cos ) t (先换元先换元,再分部再分部)18解：解：.14.d1xxxexe 例例(先换元先换元,再分部再分部)令令1,xue 则则2ln(1),xu 原原式式222(1)ln(1)2d1uuuuuu 22 ln(1)duu 22 ln(1)uu224d1uuu 1 1 22dd1uxuu 22 ln(1)uu 4(arctan )uuC21xx e414arctan1xxeeC19例例15. 已知已知cos( ),( )d .xf xx fxxx 的的一一个个原原函函数数是

14、是求求解：解： 由已知由已知( )dxfxx d ( )xf x ( )x f x ( )df xx cos xxx cos xCxsin x cos2xCx 说明说明: 此题若先求出此题若先求出( )fx 再求积分反而复杂再求积分反而复杂.( )dxfxx 22sin2coscosdxxxxxx cos( )xf xx ，cos( )dxf xxCx 20解：解：22( )()2xxf xexe d ( )xf x 2( )d,xf xxeC ( )d xfxx ( )( )dxf xf xx 例例16.222xex .2Cex 例例17.( )d .xfxx 求求解：解：( )dxfxx

15、d ( )x fx ( )( )dxfxfxx .)()(Cxfxfx 2( ),( )d .xf xex fxx 已已知知的的一一个个原原函函数数是是求求21内容小结内容小结 分部积分公式：分部积分公式：dduvxuvu v xddu vuvv u uv 1. 使用原则使用原则 :d.vu v x 易易求求出出，易易积积分分2. 使用经验使用经验 : “反对幂指三反对幂指三” , 3. 题目类型题目类型 : 分部化简分部化简 ; 循环解出循环解出; 递推公式递推公式.4. 计算格式计算格式 :uv .u前前者者为为22(1)dduv xuv (1)(1)duvu vx (1)(2)uvu v

16、 (2)du vx (2)(3)(1)uvuvu v ( )( )( 1)dnnnu vx 多次分部积分的规律多次分部积分的规律(1)(2)(3)uvu vu v(3)du vx 快速计算表格快速计算表格:uu u (1)nu v(1)v(2)v(1)nv 1( 1)n ( )nu( )nv( 1)n 特别特别: 当当 u 为为 n 次多项式时次多项式时,(1)0,nu 计算大为简便计算大为简便 . (2)duv (3)duv 1(1)( )( 1)nnnuv 23,dduuxexeu则则例例18. 求求34(ln ) d .xxx 解：解：原式原式ln,ux 令令3ue 4u dueu 44duu eu 4u4ue34u212u24u240414ue2414ue3414ue4414ue5414ue 原式原式 = 414ue4u3u 234u 38u 332 C 44321333lnlnlnln44832x