微分方程在经济学中的应用

1、第六节第六节微分方程在经济学中的应用微分方程在经济学中的应用例例9.18 根据经验知道,某产品的净利润L与广告支出x有如下的关系:d()dLk LLx其中 为已知常数,且无广告支出(x=0)时,净利润为L0,0,0kL0.LL求净利润L=L(x).解解 将题设方程分离变量,得1ddLk xLL积分得ln()lnLLkxC由此得ekxLLC由L(0)=L0得 于是,净利润为0.CLL0()ekxLLLL因 ,可见 .于是,由题设方程可知, ,即L(x)为x的单调增加函数.00LL00( )L xLd0dLx另一方面,显然有lim( )xL xL 因此,随着广告支出的增加,净利润将相应地不断增加,

2、并趋向水平渐近线 ,即趋向最大可能的净利润水平 .LLL图9.1例例9.19 某工厂根据经验得知,其设备的运行与维修成本C与其设备的大修间隔时间t有如下关系:2d1 (9.51)dCbabCttt其中a,b为常数,且a0,b1已知C(t0)=C0(t00),求C(t).解解 方程(9.51)为成本C(t)的一阶线性方程,其对应齐次方程为d1dCbCtt其通解为Cc=C1tb1,C1为任意常数.根据常数变易法,令方程(9.51)的解为C(t)=u(t)tb1则12( )( )(1) ( )bbC tu t tbu t t将上述C(t), 代入方程(9.51),可得( )C t(1)( )bu t

3、abt 积分得 u(t)=atb+C2于是,方程(9.51)的通解为C(t)=at1+C2tb1其中C2为任意常数.将已知条件C(t0)=C0代入通解,求得C2=(C0t0a)t0b于是,所求成本函数为0 001( )()() .btC taC tatt例例9.20(价格调整模型) 在市场经济条件下,一种商品的价格p与该商品的供给量S和需求量D有着密切的关系. 一方面,需求量D与供给量S受价格p的影响.价格p上涨(下跌)时,需求量D减少(增加),而供给量S增加(减少),即需求量D是价格p的单调减少函数,而供给量S是价格p的单调增加函数.为简单起见,设需求函数和供给函数分别为:D=abp, S=

4、+p (9.52)其中a,b,和均为正的常数. 当市场上这种商品处于供需均衡状态(即S=D)时,由式(9.52)可得供需均衡时的价格e0 (9.53)apb称pe为该商品的均衡价格. 另一方面,市场上一种商品处于供需均衡状态总是暂时的,大多时候处于供需非均衡状态(SD),而且价格p受供需状态的影响:供过于求(SD)时,价格下跌;供不应求(S0 由0可知 .这表明,实际价格p(t)最终将趋向于均衡价格pe,换言之,市场上这种商品会达到供需均衡状态,这就是亚当斯密提出的著名的“看不见的手”调节市场的思想.elim ( )tp tp例例9.21(多马经济增长模型) 经济学家多马(E.D.Domar)

5、曾提出如下简单的宏观经济增长模型:( )( )d( ) (9.56)d( )( )S tsY tYI tktS tI t其中第一个方程表示储蓄S(t)占国民收入Y(t)的比例为s,通常假设s为常数,称s为储蓄率(s0);第二个方程表示投资I(t)与国民收入变化率 成ddYt比例,比例系数k称为加速数(k0);第三个方程为均衡条件,即储蓄等于投资. 由式(9.56)消去S(t)和I(t),可得关于Y(t)的微分方程d, 0dYsYtk此方程的通解为Y=Y(t)=Cet,C为任意常数.设初始条件为Y(0)=Y0,则C=Y0.于是,得Y=Y(t)=Y0et由此式和式(9.56),得I(t)=S(t)

6、=sY0et由0可知,Y(t)、S(t)和I(t)均为t的单调增加函数,即它们都是随时间不断增长的.例例9.22(索洛经济增长模型) 著名经济学家索洛(R.M.Solow)曾提出如下宏观经济增长模型:0(, )d( ) (9.57)detYF K LYsY ttLL 式(9.57)中第一个方程为生产方程,表示国民收入(总产出)Y(t)是由投入的资本K(t)和劳动力L(t)“生产”的结果,其中F(K,L)为K和L的一次齐次函数;第二个方程为资本形成方程,表示资本变化速度与国民收入成比例,其中S0,为储蓄率,sY(t)为投资;第三个方程为劳动力L(t)的增长方程,其中为劳动力L(t)的增长方程,其

7、中为劳动力增长率(0).L0=L(0)为初始劳动力(L00) 由式(9.57)的前两式和F(K,L)的一次齐次性,可得d(, )(,1)dKKsF K LsLFtL令k=K/L,表示单位劳动力平均占有的资本,称为资本劳动比率,将K=kL代入上式,并利用 ,ddLLtd( ,1) (9.58)dkksF kt可得 为了求出k,需给出生产函数F(K,L)的具体形式.通常,取F(K,L)为如下的柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数(简称C-D生产函数):F(K,L)=AKL1=ALk (9.59)其中A0,01均为常数.易知F(k,1)=Ak,将其代入式(9.58),得ddkksAkt这里以k=k(t)为未知函数的伯努利方程.令z=k1,则有d(1)(1)dzzAt 这是关于z的一阶线性方程,其通解为(1)etsAzC 将z=k1=(K/L)1代入上式,得1(1)1 etsAKCL 1(1)100etsALCL 其中C为任意常数.设K(0)=K0,则由上式,得111000()sCKALL10sAk于是