chIIR数字滤波器的设计

1、16.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR DF6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR DF6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计第六章第六章 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计2u数字滤波器数字滤波器( (DF,Diginal Filter) )，是一种具是一种具有有频率选择性频率选择性的离散线性系统，即的离散线性系统，即选频滤波选频滤波器器。它在确定信号与随机信号的数字处理中。它在确定信号与随机信号的数字处理中有着广泛的应用。有着广泛的应用

2、。u数字滤波器的设计是确定其数字滤波器的设计是确定其系统函数系统函数H(z)并实现的过程。并实现的过程。6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念3数字滤波器和模拟滤波器一样，从频率响数字滤波器和模拟滤波器一样，从频率响应上可以分为应上可以分为低通低通，高通高通，带通带通和和带阻带阻四类。四类。但要注意，但要注意，DFDF的幅频特性是序列的傅立叶变换，的幅频特性是序列的傅立叶变换，而序列的傅立叶变换而序列的傅立叶变换具有具有以以 为周期的周期性为周期的周期性， DF DF的幅频特性的幅频特性也具有这一特性。也具有这一特性。njwnjwnheH)()(4DF的理想幅频特性的理想幅频特性低通

3、频带低通频带位于位于2 的的整数倍整数倍附附近近高通频带高通频带位于位于 的的奇数倍奇数倍附附近近5n理想理想滤波器是物理滤波器是物理不可实现的不可实现的。（由于从。（由于从一个频带到另一个频带之间的突变）一个频带到另一个频带之间的突变）n要物理可实现要物理可实现：应从一个带到另一个带之：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带且在通带和止带内也不间设置一个过渡带且在通带和止带内也不应该严格为应该严格为1或或0。应给以较小容限。应给以较小容限。n我们在进行滤波器设计时，需要我们在进行滤波器设计时，需要确定其性确定其性能指标能指标。1、数字滤波器的设计指标数字滤波器的设计指标6l在大多数应用中，关

4、键的问题是用一个可实现在大多数应用中，关键的问题是用一个可实现的系统函数去逼近给定的滤波器的系统函数去逼近给定的滤波器幅频响应指标幅频响应指标，而滤波器的而滤波器的相位响应相位响应可以通过级联全通滤波器来可以通过级联全通滤波器来校正。校正。l在设计数字滤波器前，通常要事先给定在设计数字滤波器前，通常要事先给定DF的的频域指标，即频域指标，即频域容差图频域容差图。l一个实际一个实际DF 的幅度特性在通带内允许有一定的幅度特性在通带内允许有一定的的波动波动（或起伏），阻带内（或起伏），阻带内衰减衰减大于给定的衰减，大于给定的衰减，且在通带与阻带间有一定宽度的且在通带与阻带间有一定宽度的过渡带过渡带

5、。7在在通带通带(0 p)范围内，起伏不超过（范围内，起伏不超过（通带容限通带容限） 在在阻带阻带( s )范围内，起伏不超过范围内，起伏不超过 （阻带容限阻带容限） 在在过渡带过渡带( p s)范围内，一般要单调下降范围内，一般要单调下降 u设计时要给出：设计时要给出：通带截止频率通带截止频率 p，阻带截止频率阻带截止频率 s，通带允许的最大衰减通带允许的最大衰减 P，阻带允许的最小衰减阻带允许的最小衰减 s。12理想低通滤波器理想低通滤波器通带阻带（1）低通低通滤波器的技术指标滤波器的技术指标8)lg(20| )(|lg10| )(|lg20|)()(|lg20)1lg(20| )(|lg

6、10| )(|lg20|)()(|lg20220120ssspppjwjwjwjsjwjwjwjpeHeHeHeHeHeHeHeH一般情况下都规定一般情况下都规定 |H(ej0)| 被归一化为。被归一化为。 P ， s通常用通常用dB来表示，来表示， 其定义分别为：其定义分别为：22当当|H(ejw)|下降到下降到 时，时， P =3dB，w= wc，故称，故称wc为为3dB截止频率截止频率。9（2）高通高通滤波器的性能指标滤波器的性能指标pspwswp1w|H(ejw)|l通带截止频率：通带截止频率：wp，又称，又称为通带下限频率。为通带下限频率。l通带衰减：通带衰减：l阻带截止频率阻带截止

7、频率：ws ，又又称阻带上限截止频率。称阻带上限截止频率。l阻带衰减：阻带衰减：s010（3）带通带通滤波器的性能指标滤波器的性能指标ws1wp11w|H(ejw)|l通带截止频率：上限通带截止频率：上限截止频率截止频率wp2，下限截下限截止频率止频率wp1。l通带衰减：通带衰减：l阻带截止频率阻带截止频率：上限：上限截止频率截止频率ws2，下限截止下限截止频率频率ws1。l阻带衰减：阻带衰减：wp2ws20psps11（4）带阻带阻滤波器的性能指标滤波器的性能指标ws1wp11w|H(ejw)|l通带截止频率：上限通带截止频率：上限截止频率截止频率wp2，下限截下限截止频率止频率wp1。l通

8、带衰减：通带衰减：l阻带截止频率阻带截止频率：上限：上限截止频率截止频率ws2，下限截下限截止频率止频率ws1。l阻带衰减：阻带衰减：wp2ws20psps121) 按任务要求确定频域容差图；按任务要求确定频域容差图；2) 理想滤波器是非因果的理想滤波器是非因果的 、不可实现的，因此，我们要用一、不可实现的，因此，我们要用一因果（可实现的）稳定的系统函数去逼近理想滤波器；因果（可实现的）稳定的系统函数去逼近理想滤波器；NkkkMkkkzazbzH101)(确定阶数确定阶数N、M ，所有的所有的ak 、bk 确定确定N，h(n)=bnIIR:FIR:10)()(NnnznhzH3）用有限精度算法

9、实现该系统，包括网络结构、系数的量化、）用有限精度算法实现该系统，包括网络结构、系数的量化、运算中间过程的存储；运算中间过程的存储；4）指标的验证。）指标的验证。2、数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计步骤13 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 IIR: AF的的Ha(s) DF的的H(z) 双线性变换法双线性变换法 窗函数法窗函数法FIR: 频率采样法频率采样法3、数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 IIR滤波器的设计是将一个模拟的原型系统函数转换滤波器的设计是将一个模拟的原型系统函数转换为一个数字的系统函数；为一个数字的系统函数；FIR滤波器的设计则是基于滤波器的设计则是基于对指定幅度响

10、应的直接逼近。对指定幅度响应的直接逼近。14nFIR 滤波器可以设计为线性相位，并且总是稳定的。滤波器可以设计为线性相位，并且总是稳定的。n 在多数情况下，在多数情况下，FIR滤波器的阶数滤波器的阶数 NFIR 显著大于具显著大于具有等效幅度响应的有等效幅度响应的IIR滤波器阶数滤波器阶数NIIR 。NFIR/NIIR 通常通常为为10的量级或更高的量级或更高。n IIR 滤波器通常计算更简便。滤波器通常计算更简便。 在很多应用中，并不在很多应用中，并不要求滤波器具有严格的线性相位，此时通常会因计算要求滤波器具有严格的线性相位，此时通常会因计算简便而选择简便而选择IIR滤波器。滤波器。4、 滤

11、波器类型的选择滤波器类型的选择15l借助模拟滤波器借助模拟滤波器(AF) 来设计数字滤波器来设计数字滤波器(DF)。 典型的典型的 AF：巴特沃斯巴特沃斯Butterworth、 切比雪夫切比雪夫ChebyshevlAF的设计：给定的设计：给定AF的技术指标，设计一个传输函的技术指标，设计一个传输函数数Ha (s)使其满足技术指标。使其满足技术指标。 因为因为 P， s和和幅度平方函数幅度平方函数|Ha(j )|2 有有关，因关，因此根据幅度平方函数可以确定此根据幅度平方函数可以确定Ha (s)。6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计16根据根据FT的的共轭对称性共轭对称性：|Ha(j )|

12、2= Ha(j ) Ha(-j ) ，令令s= j ： |Ha(s)|2= Ha (s)Ha(-s)由此，给定由此，给定|Ha(j )|2的形式，即可得到的形式，即可得到Ha (s)。)36)(49()25(16)(22222jHa求：求： Ha(s)。例例已知已知17零点零点： s= j5 (二阶）；二阶）；极点极点：s= 7; s= 6，所以，所以421325)6)(7()5)(5()(2200ssskssjsjsksHa4364925164225020kk，(2)求系统的增益求系统的增益k0 ：(1) 令令j =s 即即 =s/j 代入等式，得：代入等式，得： )36)(49()25(1

13、6)(22222ssssHa解解：18一、一、 Butterworth滤波器的设计滤波器的设计NcajH22)(11)(其中：其中：N为滤波器的阶数为滤波器的阶数； c 为为3dB 截止角频率截止角频率。c归一化归一化频率频率1、Butterworth滤波器滤波器的特性的特性：最大平坦幅度特性最大平坦幅度特性 Butterworth滤波器的幅度平方函数为：滤波器的幅度平方函数为：19 给定给定Ha(j )，求，求Butterworth滤波器的系统函数滤波器的系统函数Ha(s):NcaajssHsH2)(11)()(P=0,1,2,2N-1NcpNcjsjs212) 1)(1)(2）极点：（21

14、221Npjcpes （1）令令s= j ，代入，代入幅度平方函数，得：幅度平方函数，得：20u2N 个极点以个极点以 2 /2N= /N 等间隔均匀分布在半径为等间隔均匀分布在半径为 c 的圆上，这一圆称的圆上，这一圆称Butterworth圆圆。u所有的极点所有的极点以虚轴（即以虚轴（即j 轴）为对称轴轴）为对称轴，成轴对，成轴对称分布，且没有根落在称分布，且没有根落在j 轴上（落在此轴上是临界轴上（落在此轴上是临界稳定的）。稳定的）。l当当N是奇数时，实轴上有是奇数时，实轴上有2个极点个极点；l当当N是偶数时，实轴上无极点是偶数时，实轴上无极点。（3）为了得到稳定的）为了得到稳定的Ha(

15、s)，取全部左半平面的极点：，取全部左半平面的极点：10)()(NppNcasssH21当当 c时，随时，随 增加，幅度迅速下降，下降的增加，幅度迅速下降，下降的速度与阶数速度与阶数N有关，有关， N愈大，幅度下降越快，过渡带愈大，幅度下降越快，过渡带越窄。越窄。222Butterworth低通低通滤波器的幅度特性滤波器的幅度特性22由幅频特性可以看出由幅频特性可以看出Butterworth滤波器的特性滤波器的特性：(1) 最大平坦性最大平坦性：可以证明：可以证明Butterworth 函数在函数在 =0点附点附近一带范围内近一带范围内“最平直最平直”，所以滤波器具有最，所以滤波器具有最大平坦

16、幅大平坦幅度特性。也就是度特性。也就是Butterworth滤滤波器是以原点的最大平坦波器是以原点的最大平坦性来逼近理想低通滤波器的。性来逼近理想低通滤波器的。(2) 通带、阻带下降的单调性通带、阻带下降的单调性：因而这种滤波器具有良：因而这种滤波器具有良好的相频特性（相对于切比雪夫来讲）。好的相频特性（相对于切比雪夫来讲）。(3) 3dB不变性不变性：不管：不管N是多少是多少, 所有特性都通过所有特性都通过 3dB点。点。232、Butterworth 低通滤波器的设计方法低通滤波器的设计方法1) 首先确定首先确定技术指标技术指标：通带截止频率通带截止频率 p 和通带允许的最大衰减和通带允许

17、的最大衰减 p 阻带阻带截止截止频率频率 s 和阻带允许的最小衰减和阻带允许的最小衰减 s2) 确定确定阶数阶数N：10/2210/22101)()(1lg10101)()(1lg10spsasaspapapjHjHjHjH24NcssaNcppajHjH2222)(11)()(11)(10210210)(110)(1spNcsNcp10/210/2101)(101)(spsapajHjH110110)(10/10/spNsp25110110)(10/10/spNsp3) 确定确定3dB 截止频率：截止频率： cNpcp2110) 110()/lg(110110lg10/10/spspN102

18、10)(1pNcpNscs2110) 110(N取大于该值的最小整数取大于该值的最小整数)或或10210)(1sNcs264) 求求N个极点个极点Sp (左半平面）左半平面） ：5) 写出写出 :)(sHa4）查）查表表6.2.1（P157）得）得归一化归一化系统函数系统函数：5）写出实际的系统）写出实际的系统函数：函数：21221Npjcpes10)()(NppNcasssH)(1)(pBpGacspaapGsH/)()(273、举例、举例已知通带截止频率已知通带截止频率fp=5 kHz,通带最大衰减通带最大衰减阻带截止频率阻带截止频率fs=10 kHz，阻带最小衰减，阻带最小衰减 =30

19、dB,试根据以上要求设计试根据以上要求设计Butterworth 低通滤波器。低通滤波器。,3dBps598. 4)10/5lg() 110() 110(lg10/3010/3NN取阶数解解：(1) 求阶数求阶数28(3) 求极点求极点 5352102210jcjcees)()(405ppcaSSsH5745632541;jcjcjcjceseseses(2) 求求 csradpc/10523(4)写出系统函数写出系统函数293、举例、举例已知通带截止频率已知通带截止频率fp=5 kHz,通带最大衰减通带最大衰减阻带截止频率阻带截止频率fs=10 kHz，阻带最小衰减，阻带最小衰减 =30 d

20、B,试根据以上要求设计试根据以上要求设计Butterworth 低通滤波器。低通滤波器。,3dBps解二解二：用用MATLAB函数实现。函数实现。（1）buttord()（2）butter()P16030二二、chebyshev滤波器的设计滤波器的设计 其中：其中： 表示通带内起伏大小的系数，表示通带内起伏大小的系数， 越大，通越大，通带内波动越大。带内波动越大。CN(x)是阶切比雪夫多项式。是阶切比雪夫多项式。切比雪夫切比雪夫 型滤波器型滤波器：通带等波纹，与理想低通逼近的一种方式：通带等波纹，与理想低通逼近的一种方式切比雪夫切比雪夫 型滤波器型滤波器：阻带等波纹：阻带等波纹切比雪夫切比雪夫

21、 型滤波器型滤波器：椭圆滤波器：椭圆滤波器 )(11222cNaCjH幅度平方函数幅度平方函数31u切比雪夫滤波器所需要的切比雪夫滤波器所需要的阶数阶数比巴特沃斯低，因而比巴特沃斯低，因而结构上简单；结构上简单；u通带有等波纹起伏，使得通带有等波纹起伏，使得相位非线性失真相位非线性失真比巴特沃比巴特沃斯大。斯大。32chebyshev 型低通滤波器的设计方法型低通滤波器的设计方法1) 首先确定技术指标：首先确定技术指标：通带截止频率通带截止频率 p 和通带允许的最大衰减和通带允许的最大衰减 p 阻带阻带截止截止频率频率 s 和阻带允许的最小衰减和阻带允许的最小衰减 s2) 确定阶数确定阶数N和

22、参数和参数：)/(1101101.01.0psarcharchNps1101 . 0p333) 求归一化极点求归一化极点pk和归一化系统函数和归一化系统函数Ga(p)：(k=1,2,N)NkarshNjchNkarshNchpk2)12(cos)11(2)12(sin)11(NiiNapppG11)(21)(4) 求实际的系统函数求实际的系统函数Ha(s)：pspaapGsH/)()(34三、模拟高通、带通、带阻滤波器的设计三、模拟高通、带通、带阻滤波器的设计如果要设计模拟如果要设计模拟高通高通滤波器，可以通过滤波器，可以通过频率转换关频率转换关系系，将高通指标转换为低通指标，先设计出一低通，

23、再，将高通指标转换为低通指标，先设计出一低通，再转换成高通。转换成高通。135例例：设计巴特沃斯高通滤波器，要求：设计巴特沃斯高通滤波器，要求fp=200Hz,fs=50Hz, p=3dB, s=10dB。解解：（1）确定）确定高通滤波器技术指标高通滤波器技术指标：归一化频率归一化频率：1200200cppff25. 020050cssff p=3dB, s=10dB（2）确定相应低）确定相应低通滤波器技术指标通滤波器技术指标：1111pp p=3dB, s=10dB425. 011ss36解解：（3）设计相应的归一化低）设计相应的归一化低通滤波器通滤波器G(p)：（4）频率转换，得到高）频率

24、转换，得到高通滤波器系统函数通滤波器系统函数H(s)：spcpGsH)()(对巴特沃斯滤波器关于对巴特沃斯滤波器关于dBdB截止频率归一化的截止频率归一化的系统函数称为归一化低通原型，记为系统函数称为归一化低通原型，记为G(p) 。37带通滤波器带通滤波器：38DF的间接设计法，步骤：的间接设计法，步骤：(1)先设计一模拟滤波器先设计一模拟滤波器Ha(s)（上述方法）（上述方法）（s平面）平面）(2)再按一定的转换关系，将再按一定的转换关系，将Ha(s)转换成数字滤波器转换成数字滤波器 H(z) (z平面平面)所以问题变成了所以问题变成了:将将s平面上的平面上的AF Ha(s) z平面的平面的

25、DF H(z)。6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器Ha(s)是按技术要求设计的，为了使得保证转换后的是按技术要求设计的，为了使得保证转换后的 H(z)仍满足技术要求，仍满足技术要求，Ha(s) H(z)的转换应满的转换应满足以下要求：足以下要求：39AF是因果稳定的，则转换后的是因果稳定的，则转换后的DF也应该是。也应该是。 AF因果稳定，则因果稳定，则Ha(s) 的极点位于的极点位于s平面的左半平平面的左半平面面 DF因果稳定，则因果稳定，则H(z)的极点位于的极点位于z平面的单位圆平面的单位圆内内由由Ha(s)到到H(z)的转换应该使的

26、转换应该使s平面的左半平面影射到平面的左半平面影射到z平面的单位圆内平面的单位圆内(2) s平面的虚轴平面的虚轴（稳定不稳定的交界处（稳定不稳定的交界处)j 映射到映射到z平平面的单位圆上面的单位圆上。注意注意这种映射只适应于这种映射只适应于低通低通滤波器滤波器的映射关系。的映射关系。40已求得已求得AF的传输函数的传输函数Ha(s)，通过拉氏逆变换可求得，通过拉氏逆变换可求得它所对应的单位冲激响应它所对应的单位冲激响应 ha(t)；对单位冲激响应对单位冲激响应ha(t)等间隔采样，设采样间隔为等间隔采样，设采样间隔为T,得到得到ha(nT)=h(n)；将将h(n)作为数字滤波器的单位脉冲响应

27、，对作为数字滤波器的单位脉冲响应，对h(n)的的取取z变换，即为变换，即为DF的系统函数的系统函数H(z)。由雷道（由雷道（Rader)、戈尔登、戈尔登(Golden)提出提出脉冲响应不变法的思路脉冲响应不变法的思路：41设设ha( s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，它可表示为子多项式的阶次，它可表示为NiiiassAsH1)()()()(1tueAthNitsiai（1）取）取Ha(s) 拉氏逆变换，得到拉氏逆变换，得到ha(t)：1、变换方法变换方法42（2）对）对ha(t)等间隔采样，采样间隔为等间隔采样，采样间隔为 T，得到

28、，得到h(n)：)()()(1nTueAnThnhNinTsiai（3）求）求h(n)的的z变换，得变换，得DF的系统函数的系统函数H(z)：NiTsizeAzHi111)(1111)(111aznuazessnTsii对照对照Ha(s)和和H(z):s平面的极点平面的极点si，变成，变成z平面的极点平面的极点Tsie43例例：一个：一个RC模拟低通滤波器模拟低通滤波器RcsRcscRscsHa/ 1/ 1/ 1/ 1)(UoUi则则这一低通这一低通 DF的网络结构：的网络结构：Z-1y(n)x(n)1/RcTRce1111/ 1)(zeRczHTRcRC442、优缺点优缺点在在w= 的奇数倍

29、附近，脉冲响应不变法的频谱产生混叠，的奇数倍附近，脉冲响应不变法的频谱产生混叠，因此，在此处因此，在此处DF的频率响应会偏离的频率响应会偏离AF的频率响应，混的频率响应，混叠的结果使频率特性在叠的结果使频率特性在高频端高频端严重失真。严重失真。模拟域模拟域：以以 为周期的延拓为周期的延拓T2数字域数字域：以以 为周期的延拓为周期的延拓245n脉冲响应不变法的脉冲响应不变法的优优缺缺点：点：优点优点：（：（1）从时域出发，使得数字滤波器的从时域出发，使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好。就是时域逼近良好。 （2）AF D

30、F的频率转换关系是的频率转换关系是w= T，是线性的，不会扭曲；是线性的，不会扭曲； 缺点缺点： 高频端会产生频率混叠现象，高频端会产生频率混叠现象，只适合只适合低通、带通滤波器的设计低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻，不适合高通、带阻滤波器的设计。滤波器的设计。对于带通和低通滤波器，需充对于带通和低通滤波器，需充分限带，分限带，若阻带衰减越大，则混叠效应越小。若阻带衰减越大，则混叠效应越小。46当给定当给定DF的技术指标时，采样周期的技术指标时，采样周期T的取的取值对值对频谱混叠程序的影响很小，因此为了计算频谱混叠程序的影响很小，因此为了计算方便，一般取方便，一般取T=1s。l若要用脉

31、冲响应不变法设计高通和带阻滤波若要用脉冲响应不变法设计高通和带阻滤波器，则必须先对高通和带阻滤波器器，则必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤加一保护滤波器波器，滤掉高于折叠频率以上的频带。它会增，滤掉高于折叠频率以上的频带。它会增加设计的复杂性和滤波器的阶数，因而只有在加设计的复杂性和滤波器的阶数，因而只有在一定要追求频率线性关系时才使用。一定要追求频率线性关系时才使用。473、设计举例、设计举例设计一低通数字滤波器，要求在通带内频率低于设计一低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2 rad时，容许幅度误差在时，容许幅度误差在1dB内，在内，在频率频率0.3 到到 之间的之间的阻带衰减大于阻带

32、衰减大于15 dB 。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通，用脉冲响不变法求该通，用脉冲响不变法求该DF的系统函数。的系统函数。dBdBspsp1513 . 02 . 0，解解：1) 确定数字滤波器的指标：确定数字滤波器的指标：2) 将将DF的指标转换成的指标转换成AF的指标：的指标： dBdBTTspsspp1513 . 02 . 0，48解解：3) 设计设计AF：NiiiassAsH1)()(NisizeAzHi111)(MATLAB中，中，用脉冲响应不变法将模拟用脉冲响应不变法将模拟滤滤波器转换成数字滤波器可用函数波器转换成数字滤波器可用函数impinvar()

33、实现。实现。4) 利用脉冲响应不变法得利用脉冲响应不变法得DF的的H(z)：49脉冲响应不变法的缺点是会产生频率混叠现象，脉冲响应不变法的缺点是会产生频率混叠现象，而双线性变换法的优点之一是不会产生频率混叠。而双线性变换法的优点之一是不会产生频率混叠。l双线性变换法采用双线性变换法采用非线性频率压缩非线性频率压缩方法。方法。6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器1、变换方法变换方法由凯塞由凯塞(Kaiser)和戈尔登和戈尔登(Golden)提出提出l双线性变换法：是从双线性变换法：是从频域频域出发，使出发，使DFDF的频率响应与的频率响应与AFAF的的频

34、率响应相似的频率响应相似的一种变换法。一种变换法。50由上式得由上式得11112zzTssTsTz22合称为合称为双线性变换法双线性变换法则：已知则：已知Ha(s)，利用，可以，利用，可以直接求得直接求得H(z)。11112zzTs由由s平面到平面到z平面的变换关系是：平面的变换关系是：51例例 已知模拟滤波器已知模拟滤波器Ha(s)=2/(s+1), 试利用双线性变试利用双线性变换法将换法将Ha(s)转换成转换成 DF的的H(z)。解解：11112)()(zzTsasHzH1112211zzT11)2()2()1 (2zTTzT52u双线性变换主要用在：双线性变换主要用在：n用用反双线性变换

35、反双线性变换来将数字滤波器的性能指标来将数字滤波器的性能指标转换为模拟原型滤波器的性能指标转换为模拟原型滤波器的性能指标n用用双线性变换双线性变换来从模拟系统函数得到所希望来从模拟系统函数得到所希望的数字滤波器的系统函数的数字滤波器的系统函数H(z)H(z)u参数参数T T对对H(z)H(z)的表达式没有影响，可以选择的表达式没有影响，可以选择T=2T=2来简化设计的过程。来简化设计的过程。sszzzs1111115300011jjzjs20202020000000)1 ()1 ()(11zjjzjs（单位圆）虚轴1)(00z（单位圆内）（左半平面）100zIm(z)Re(z)-1100j采用

36、这种转换方法得到的采用这种转换方法得到的 H(z)是否满足技术要求？是否满足技术要求？5411112zzTsjwjweeTj112、模拟角频率模拟角频率 到到数字频率数字频率 w的映射关系的映射关系s=j z=ejw)2/(2)2/cos()2/sin(2wtgTjwwTj)()(22/2/2/2/2/2/jwjwjwjwjwjweeeeeeT55)2/(2wtgTs平面上的平面上的 与与z平面上的平面上的w成成非线性正切非线性正切关系关系，是一对一的转换。，是一对一的转换。)2/arctan(2T)2/(2wtgTjj反双线反双线性变换性变换则则取取T=2s：)2/(wtgarctan256

37、在在w=0附近，接近线性关系；附近，接近线性关系；当当w增加时，增加时， 增加的越来越快；增加的越来越快；当当w 时，时， 无穷。无穷。 ：0 w: 0 正是因为这种正是因为这种非线性频非线性频率压缩率压缩关系，关系，消除了高消除了高频端的频率混叠现象。频端的频率混叠现象。573 3、优缺点、优缺点u优点优点：（：（1 1）双线性变换没有任何混叠，都）双线性变换没有任何混叠，都是单值一一对应关系。是单值一一对应关系。（2 2）可用于设计任意类型（低通，高通，带通，）可用于设计任意类型（低通，高通，带通，带阻）的带阻）的 DFDF。u缺点缺点：双线性变换是非线性变换，因而给频：双线性变换是非线性

38、变换，因而给频率特性带来失真，这种失真还包括相位特性率特性带来失真，这种失真还包括相位特性的失真，在要求线性相位的情况下，要考虑的失真，在要求线性相位的情况下，要考虑这种失真是否可以容忍，否则就不能应用。这种失真是否可以容忍，否则就不能应用。584、设计举例设计举例wp=0.25 ， p= 0.5dBws=0.55 ， s= 15dB用双线性变换法，设计该用双线性变换法，设计该DF。已知低通已知低通DF 的设计指标为：的设计指标为：解解：（1）将将DF的指标转换成的指标转换成AF的指标：的指标： 4142136. 0)225. 0tan()2tan(pp1708496. 1)255. 0tan

39、()2tan(ss59解解： （2） 设计设计AF：66.2)/lg(110110lg10/10/spspN取取N=3588148. 0) 110(2110Npcp60三阶归一化低通三阶归一化低通Butterworth系统函数：系统函数：) 1)(1(1)(2ppppG)345918. 0588148. 0)(588148. 0(203451. 0)()(2ssssGsHca解解： （2） 设计设计AF：低通低通Butterworth实际系统函数：实际系统函数：61由双线性变换法得由双线性变换法得：)3917468. 06762858. 01)(2593284. 01 ()1 (0662272

40、. 0)()(211311111zzzzsHzGzzsa解解： （3） 设计设计DF：MATLAB中，中，用双线性变换法将模拟用双线性变换法将模拟滤滤波器转换成数字滤波器可用函数波器转换成数字滤波器可用函数bilinear() 实现。实现。62一、变换原理一、变换原理u低通数字滤波器的设计：脉冲响应不变法，低通数字滤波器的设计：脉冲响应不变法，在滤波器的高频端产生混叠现象，因此只适应在滤波器的高频端产生混叠现象，因此只适应于低通滤波器的设计；而双线性变换法，可适于低通滤波器的设计；而双线性变换法，可适用于任意种类的滤波特性，但存在非线性失真。用于任意种类的滤波特性，但存在非线性失真。u如果希望设计一个数字高通、带通或带阻滤如果希望设计一个数字高通、带通或带阻滤波器，波器，有两种实现有两种实现方法。方法。6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计63第二条途径第二条途径先设计模先设计模拟低通拟低通 模拟滤波模拟滤波器数字化器数字化 所需数字所需数字滤波器滤波器在模拟域进行，通在模拟域进行，通过频率转换得到满过频率转换得到满足指标的足指标的AF(高通、高通、带通等带通等) 模拟模拟 模拟模拟只能用双线性变换法只能用双线性变换法将将模拟低通滤波器模拟低通滤波器转换为转换为数字低通数字低通 模拟模拟 数字数字在数字域内进在数字