高中数学《数学归纳法》学案4新人教A版选修2

1、数学归纳法一、知识回顾数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法.1 .用数学归纳法证明命题的步骤为：验证当n取第一个值n0时命题成立，这是推理的基础；假设当n=k(kwN,kn0)时命题成立.在此假设下,证明当n=k+1时命题也成立是推理的依据.结论.2 .探索性问题在数学归纳法中的应用(思维方式)：观察，归纳，猜想，推理论证.3 .特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证n=n0时成立,注意n0不一定为1；(2)在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，尤其要弄清由k到k+1时命题的变化二.基本训练1 .已知某个命题与正整数有关，如果当n=k(kwN)时该命题成立，那

2、么可以推得n=k+1时该命题也成立.现已知n=5时该命题不成立，则()An=4时该命题成立Bn=6时该命题不成立Cn=4时该命题不成立Dn=6时该命题成立2 .用数学归纳法证明2n>n2(nN,n>5),则第一步应验证n=;1113.用数学归纳法证明：1十一十一十一十<n(nN,n>1)时，第一步验证不等式232n-1成立；在证明过程的第二步从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是三、例题分析11111111例1:已知n二N,证明：1一_十_+-=+.2342n-12nn1n22n,一，一n1111例2、求证：1.1n2232n2例3.是否存在正整数m使得f(n)=

3、(2n+7)3n+9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论。若不存在说明理由。*例4.平面内有n(n=N)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每二个圆都不相交于同一点求证：这n个圆把平面分成n2-n+2个部分.例5.设f(k)满足不等式log2x+log2(32k-x)>2k-1(keN*)的自然数x的个数(1)求f(k)的解析式；记Sn=f(1)+f(2)+f(n),求Sn的解析式；8(3)令Pn=n2+n-1(neN*，试比较Sn与R的大小。三、课堂小结1数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法2用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写

4、必须规范；3两个步骤中结论四、作业同步练习一一11.若f(n)=1+2，第一步是基础，第二步是依据.在第二步证明中，关键是一凑假设，二凑数学归纳法11+32n1(nCN*),则当n=1时，f(n)为(A)1(B)31(C)1+2(D)非以上答案2.用数学归纳法证明1+a+a2+an11-an2(aw1,nCN*),在验证n=1成立时，左边计算所得的项是(A)1,一、2(C)1+a+a3.用数学归纳法证明.1111234边应添加的项为(A)-(B)1+a23(D)1+a+a+a(C)2k112k24.某个命题与自然数2n-1n有关,时命题也成立.现在已知当5.Sk2nn11+十一(n=n),则从

5、k到k+1时，左2n(B)(D)如果当n=5时,n=k2k22k4112k12k2(kCN*)时，该命题成立，那么可推得当n=k+1(A)当n=6时该命题不成立;(C)当n=4时该命题不成立该命题不成立，那么可推得(B)当n=6时该命题成立(D)当n=4时该命题成立1,+'(k=1,2,3,)，则&+1=2k(A)Sk+(B)S2(k-1)八c11c(C)Sk+-(D)S2k12k211k+-2k2k12k12k26.由归纳原理分别探求:(1)凸n边形的内角和f(n)=;(2)凸n边形的对角线条数f(n)=;(3)平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一

6、点，则该n个圆分平面区域数f(n尸.为真，进而需验证n=,命题为真。7.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2nx1x2x3x-(2n1)(nCN),从“k到k+1”左端应增乘的代数式为8.是否存在常数a,b,c,使得等式1 2+23+ n(n +1) = n(n +1)(an + bn + c)对一12切自然数n成立？并证明你的结论_111n9.求证：1+一+一中一+->-(nWN)232n-1210.11.已知4=(1+lgx)n,Bn=1+nlgx+n(n1)lg2x,其中nN,n>3,xS(,-Hc),试比较210An与R的大小.答案基本训练1.C2.53.2k

7、例题分析1.证明：用数学归纳法证明一 ，一 1当n =1时，左边=1:2(2)假设当n = k时等式成立1=,右边二2.，即有:1 一，、一,等式成立;21-12111+ _ +3 4 2k -112k12k那么当n=k,1时,11左边=1 2 34 2k -11112k 2(k 1)-1 2(k 1)11111=r*十r-k1k22k2k12(k1)1111111-1k2k32k2k1k12(k1)(k 1) (k 1)二右边;111+(k1)1(k1)2(k1)k所以当n=k+1时等式也成立综合(1)(2)知对一切nN，等式都成立.思维点拨：仔细观察欲证等式的结构特征，在第二步证明当n=k

8、+1时向目标式靠拢是关Ir1.2.证明：(1)当n=1时，f(1)=1+,原不等式成立2(2)设n=k(kwN*)时，原不等式成立rrk1111,.即1+M1+-+-+-*+<-+k成立，当n=k+1时，2232k211f k 1 =fk12k 11 K，.2 2k 12k212k 1k12 2k 1 =12dk111d.1122k12k12k1共2k项+2k12k 22k 1111fk1二fk二五1 111：-k2 2k12k12k1共2k项,1.,一二f(k+1)M一十仅+1)即n=k+1时，命题成立2综合(1)、(2)可得：原命题nWN冲对恒成立。3.证明：由f(n)=(2n+71

9、3n+9得，*1)=36,"2)=3h36,“3)=10父36,f(4)=3436,由此猜想m=36下面用数学归纳法证明(1)当n=1时，显然成立。(2)假设n=k时，f(k)能被36整除，即f(k)=(2k+713k+9能被36整除；当n=k+1时，2k1713k19=312k73k91183k4-1由于3k.-1是2的倍数，故18(3k4-1)能被36整除，这就说，当n=k+1时，f(n)也能被36整除，此时n2n+2=2,即命题成立由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7>3n+9能被36整除，m最大值为36。4.解：(1)当n=1时，一个圆把平面分成两部

10、分2(2)假设当n=k时命题成立,即k个圆把平面分成kk+2个部分.那么当n=k+1时,这k+1个圆中的k个把平面分成k2-k+2个部分.第k+1个圆被前k个圆分成2k条弧,这2k条弧中的每一条把所在的部分分成了2块,这时共增加2k个部分，故k+1个圆把平面分成k2k+2+2k=(k+1)2(k+1)+2个部分，这说明当n=k+1时命题也成立.*综上所述，对一切nwN,命题都成立.例5.设f(k)满足不等式log2x+log2(32k,x)之2k1(kwN")的自然数x的个数(1)求f(k)的解析式；记&=f6+f(2)+f(n),求Sn的解析式；(3)令pn=n2+n-1(

11、neN*，试比较Sn与R的大小。x0x05.解：(1)原不等式u«x<32k，uxx<32k,u2kWxE2kx432k-x泛22k，(x-2kJx-2k)<0fk)=2k-2kd1=2k21(2) Sn=f(1)+f(2)+f(n)=20+21+一+2n,+n=2n十n1(3) Sn-Pn=2n-n2n=1时，21-12>0;；n=2时，2222=0;n=3时，2332<0；n=4时，2442=0;n=5时，2552>0；n=6时，2662a0；猜想：n之5时SnAPn下面用数学归纳法给出证明(1)当n=5时，S5已证(2)假设n=k(k至5)时结论成立即Sk>Pk,2k>k2那么n=k+1时，2k+>Pk+而2k2-(k+1f=k2-2k-1=(k-1f-2在k之5范围内，&-122>0恒成立则2k2>(k+1f,即Sk41>Pk书由(1)(2)可得，猜想正确，即n之5时，Sn>Pn综述：当n=2,