高中数学4.4参数方程4.4.3参数方程的应用知识导航学案苏教版

1、4.4.3参数方程的应用自主整理1 .圆的标准方程为,则其参数方程为（。为参数，9C0,2兀），几何意义为旋转角）.答案：(x-a)2+(y-b)2=r2xarcosybrsin222.椭圆与-y-1的参数方程为a2b2为离心角）.（0为参数，00,2兀），几何意义答案：acosbsin3.直线的参数方程为（l为参数，l的几何意义是有向线段PoP的数量）.答案：x0lcosy0lsin4.直线参数方程一般式:其中（1）k=XXoat,yv。bt（t为参数）.;（2）设直线上两点AB对应的参数分别为ti、t2,则|AB|答案：（i）b（2）a2b2|ti-t2|a高手笔记1 .参数方程的应用比较

2、广泛，可以用来解决许多几何问题、三角函数问题、物理学问题，所以首先要正确理解曲线的参数方程的概念，掌握直线、椭圆、圆以至于抛物线、双曲线等曲线的参数方程，要深刻理解其中的参数的几何意义.2 .参数方程的最突出的优点是曲线上的动点的坐标（x,y）中的x、y可以分别用第三个变量t来表示，因此在利用参数方程解题时就可以消去x、y,转化为关于t的方程或关于t的函数问题了.3 .利用参数方程或参数的方法解题时，要注意合理选参，巧妙消参.名师解惑参数方程在解题中的应用.剖析：参数方程在解析几何中是一个十分重要的内容，而且是高中数学的一个难点.近几年来高考对参数方程和极坐标的要求稍有降低，但是，可用参数方程

3、求解的问题和内容有所增加且与三角函数联系紧密.参数方程在解题中的应用主要体现在以下几个方面：1 .探求几何最值问题：在求多元函数的几何最值有困难时，我们不妨采用参数方程进行转化，化为求三角函数的最值问题来处理；2 .解析几何中证明型问题：运用直线和圆的标准形式的参数方程中参数的几何意义，能简捷地解决与过定点的直线上的动点到定点的距离有关的问题；3 .探求解析几何定值型问题：在解析几何中点的坐标为（x,y）,有两个变元，若用参数方程则只有一个变元，则对于有定值和最值的问题，参数法显然比较简捷.讲练互动【例题1】设P是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为,最小值为.解析：思路

4、一：注意到变量（x,y）的几何意义，故研究二元函数x+2y的最值时，可转化为几何问题.若设x+2y=t,则方程x+2y=t表示一组直线（t取不同的值，方程表示不同的直线），显然（x,y）既满足2x2+3y2=12,又满足x+2y=t ,故点（x,y）是方程组222x2 3y2x 2y t12,的公共解.由题意，可知直线x+2y=t与椭圆总有公共点，从而转化为研究消元后的一元二次方程的判别式A>0.x2yt,令x+2y=t,联立得方程组9''该方程组有解，消去x,得关于y的一元二次方2x23y212,程11y2-8ty+(2t2-12)=0.由A=64t2-4X11x(2t

5、2-12)>0,解得-V22<t<722.所以x+2y的最大值为<22,最小值为-花.思路二：由于研究二元函数x+2y相对困难，因此有必要消元，但由x、y满足的方程2x2+3y2=12表示出x或y,会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简捷，能否有其他途径把二元函数x+2y转化为一元函数呢？由椭圆的方程2x2+3y2=12,可设x“6COsY0C0,2兀），代入到x+2y中，得y2sinx+2y=<6cos0+2X2sin0=J22sin（0+（）,其中tan（）=.由于一1wsin（0+（）<1,所以-V22<x+2y<a22.所以x+2y

6、的最大值为22,最小值为-722.答案：22-22绿色通道以上两种方法都是通过引入新的变量来转化问题，方法一是通过引入t,而把x+2y几何化为直线的纵截距的最值问题；方法二则是利用椭圆的参数方程，设出点P的坐标（<6cos0,2sin0）代入到x+2y中，转化为一元函数f（0）求最值.变式训练221.点P在椭圆-y-1上，求点P到直线3x-4y=24的最大距离和最小距离.1122 cos( 一) 24|4169112cos12sin24解：设P(4cos0,3sin0),贝Ud=-当cos(0+一)=-1时ddma)=-(2+22)；当COS(0+一)=1时，dmin=(2-J2).45

7、45【例题2】求函数y叫一1的最大值和最小值.cos2sin1Vcysin1思路分析：y的形式类似于斜率y"的形式，因此可以把ycos2X2Xicos2看作是动点(cos0,sin0)与定点(2,1)连线的斜率.所求问题转化为求斜率y的最大值和最小值.由于动点(cos0,sin0)在圆x2+y2=l上，因此可以把这个问题转化到图形上来处理.解：如图所示，依题意，要求函数y=f(。户身一1的最大值与最小值，等于求动点P(x,y)cos2与定点(2,1)连线的斜率的最大值和最小值.从图上可以得知，直线PM的方程为y-1=k(x-2)，即kx-y+1-2k=0.当直线PM与圆相切时，斜率分

8、别为最大、最小值，此时|OP|=1,即"2kL_=1,解得k=0或k=4.、(Q)min=0,f(。)maF4.1(k)233绿色通道可以看出，转化的思想方法与数形结合的思想方法对于解题是相当有帮助的.变式训练2 .求函数f(x)=Jx43x26x13Jx4x21的最大值.解：f(x)=J(x3)2(x22)2J(x0)2(x21)2,构造三点P(x,x2),A(3,2),B(0,1),则动点P的轨迹方程为y=x2,则f(x)=|PA|-|PB|<|AB|=v；10,所以f(x)的最大值为10.点P为线段MM的中点,【例题3】如图，设M为抛物线y2=2x上的动点，M(-1,0)

9、为一定点,求点P的轨迹方程.思路分析：合理选取参数，将抛物线方程转化为参数方程，用参变量表示出动点的坐标，再根据中点坐标公式表示出动点P的坐标，则所求点的轨迹方程就很容易确定下来.“,v2x2t2,2一一解：令y=2t,则x=J=2t：得抛物线的参数方程为,则动点M(2t2,2t),定点2y2t,1_2X12t),x1t2M0(-1,0),由中点的坐标公式得点P的坐标为2即W这就是点1,y2(02t),yt.P的轨迹的参数方程，可化为普通方程y2=x+1,这是以x轴为对称轴，顶点在(1,0)22的抛物线.绿色通道用参数法求解轨迹问题时，首先要建立适当的坐标系，然后选择参数，表示出有关点的坐标，

10、求出动点轨迹的参数方程，必要时还要化成普通方程，根据方程确定轨迹的形状、大小等特征.变式训练OA OB3 .如图所示，过抛物线y2=2px(p>0)的顶点任作两条互相垂直的弦(1)设OA的斜率为k,试用k表示点AB的坐标;(2)求弦AB中点M的轨迹方程.解：(1)直线OA的方程可设为y=kx,因为OALOB故直线OB的方程为y=1xkykx,2p2p联立方程组,解之，得xa=24，ya=2p.y2px,kk1y-x.一解方程组k解之，得xb=2pk,yb=-2pk.y22px,所以A(2p，2p),B(2pk2,-2pk).k2kxp(k22)，(2)设M(x,y),则k消去参数k,得y

11、2=px-2p2,此即为点M轨迹的普通yp(1k),k方程.4.一炮弹在某处爆炸，在F1(5000,0)处听到爆炸声的时间比在F2(5000,0)处晚如017秒，已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在曲线的参数方程.思路分析：本题与实际生活紧密相关，主要考查学生能否将所学数学知识应用于实际生活中来解决相关的问题，并注意曲线的普通方程与参数方程之间的关系.解：由声速为340米/秒，可知Fi、F2两处与爆炸点的距离为340X200=6000（米）.因此17爆炸点在以Fi、F2为焦点的双曲线上.二爆炸点离Fi处比F2处更远，爆炸点应在靠近F2的一支上.设爆炸点P的坐标为（x,y）,则|PF