自动控制原理第2章

1、12-1 导论2-2 控制系统的微分方程2-3 控制系统的传递函数2-4 控制系统结构图与信号流图附加 拉普拉斯变换第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型 22-1 导论导论v数学模型数学模型:描述系统性能的数学表达式，叫做系描述系统性能的数学表达式，叫做系统的数学模型统的数学模型v动态模型：动态模型：描述系统动态过程的方程式称为动态模型。描述系统动态过程的方程式称为动态模型。 如微分方程、偏微分方程、差分方程等。如微分方程、偏微分方程、差分方程等。v静态模型：静态模型：在静态条件下在静态条件下(即变量的各阶导数为零即变量的各阶导数为零)，描，描述系统各变量之间关系的方程式，称为静态述

2、系统各变量之间关系的方程式，称为静态模型。模型。3建立数学模型应注意建立数学模型应注意v全面了解系统的自然特性，分析研究的目的全面了解系统的自然特性，分析研究的目的和要求，决定能否忽略一些次要因素而使系和要求，决定能否忽略一些次要因素而使系统数学模型简化。统数学模型简化。v根据所应用的系统分析方法，建立相应形式根据所应用的系统分析方法，建立相应形式的数学模型（微分方程、传递函数等）的数学模型（微分方程、传递函数等）4建立系统数学模型的途径建立系统数学模型的途径：v演绎法：演绎法：在建立模型时，通过对系统本身机理（物在建立模型时，通过对系统本身机理（物理、化学规律理、化学规律)的分析确定模型的的

3、分析确定模型的 结构和参结构和参数，从理论上推导出系统的数学模型的一数，从理论上推导出系统的数学模型的一种方法。种方法。v归纳法：归纳法：根据对系统的观察，通过测量所得到的大根据对系统的观察，通过测量所得到的大量输入、输出数据，推断出被研究系统的量输入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。数学模型。返回返回52-2 控制系统的微分方程控制系统的微分方程(1)在条件许可下适当简化，忽略一些次要因素。(2)根据物理或化学定律，列出元件的原始方程式。(3)列出原始方程式中中间变量与其它因素的关 系式。这种关系式可能是数学方程式，或是 曲线图。(4)将上述关系式代入原始方程式，消去中间 变量，就得到

4、元件的输入输出关系方程式。(5)求出其它元件的方程式。(6)从所有元件的方程式中消去中间变量,最后得 系统的输入输出微分方程式。建立系统(或元件)微分方程式的一般步骤：6微分方程式的建立 例1 弹簧质量阻尼器系统 输入f (t) 输出y(t) （1）列出原始方程式要求写出系统在外力f (t)作用下的运动方程式2221d)(d)()()(ttyMtftftf阻尼器阻力 弹簧力 （2）消去中间变量 ttyBtfd)(d)(1阻尼系数f2 (t) = Ky(t) 弹性系数)()(d)(dd)(d22tftKyttyBttyM整理线性定常二阶微分方程式7例例2 R-L-C电路电路 ur(t)为输入电压

5、uc(t)为输出电压要求列出uc(t)与ur(t)的关系方程式。 （1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式）根据克希霍夫定律可写出原始方程式)(d1ddtutiCRitiLr（2）式中）式中i是中间变量，它与输出是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系有如下关系 tiCtucd1)(（3）消去中间变量）消去中间变量 i 后，输入输出微分方程式后，输入输出微分方程式 )()(d)(dd)(d22tututtuRCttuLCrccc)()(d)(dd)(d22221tututtuTttuTTrccc或8例例3 直流电动机直流电动机电枢控制的直流电动机电枢控制的直流电动机 （1）列写原始方程式。电枢回

6、路方程式：）列写原始方程式。电枢回路方程式： 输入输入电枢电压电枢电压ua ，输出，输出轴角位移轴角位移q q, ,或角速或角速度度w w ，扰动，扰动负载转矩负载转矩ML变化变化ddaaa aeaiLR iKutw式中 La 电枢回路总电感(亨)； Ra 电枢回路总电阻(欧)； Ke 电势系数(伏/弧度/秒)； w 电动机角速度(弧度/秒)； ua 电枢电压(伏)； ia 电枢电流(安)。 根据刚体旋转定律得：tJMMLdddw式中 J 转动部分转动惯量(公斤米2) ； ML 电动机轴上负载转矩(牛顿米)；Md 电动机转矩(牛顿米)。 9tMKKLMKKRuKtKKJRtKKJLLmeaLm

7、eaaemeameadd1dddd22www联立求解，整理后得 （2）Md和和ia是中间变量。是中间变量。由于电动机转矩与电枢 电流和气隙磁通的乘积成正比，磁通恒定， 所以有 amdiKMKm 电动机转矩系数(牛顿米/安)。 tMJTTMJTuKtTtTTLmaLmaemmadd1dddd22www或或meamKKJRT机电时间常数机电时间常数(秒秒)；aaaRLT 电动机电枢回路时间常数电动机电枢回路时间常数 (秒秒)若输出为电动机的转角q ，则有 tMJTTMJTuKttTtTTLmaLmaemmadd1dddddd2233qqq 三阶线性定常微分方程三阶线性定常微分方程 10例例3 直流

8、电动机直流电动机磁场控制的直流电动机磁场控制的直流电动机设电枢电流Ia=常数，气隙磁通F(t)= Kf if (t)，激磁回路电感Lf为常值。（1）激磁回路方程式tiRufffdd uf 激磁电压(伏)； if 激磁电流(安)； Rf 激磁回路电阻(欧)； 激磁绕组磁链(韦)。 11ffiffffuBRKtBJRLtBJRLwwwdd)(dd22fdmfmfuKtTTtTTwwwdd)(dd22或（3）消去中间变量）消去中间变量 , , Md ffiLfiffmmdiKiKKKM（2 2）设电动机转矩）设电动机转矩Md是用来克服系统的惯性和是用来克服系统的惯性和 负载的阻尼摩擦的，因此有负载的

9、阻尼摩擦的，因此有 dMBtJwwdd Tf激磁回路时间常数激磁回路时间常数( (秒秒) ), Tm 惯性和阻尼摩擦时间常数惯性和阻尼摩擦时间常数( (秒秒) ), Kd 电动机传递系数，电动机传递系数， fffRLT BJTmBRKKfidJ 转动部分转动惯量；转动部分转动惯量；B 阻尼摩擦系数。阻尼摩擦系数。 12例例4 电动机转速控制系统电动机转速控制系统已知控制系统其输出为角速度w ，参考输入为ur 扰动输入为负载转矩ML。（1）列各元件方程式。电动机方程式为： tMJTTMJTuKtTtTTLmaLmaemmadd1dddd22wwweKuaawttKu truueKt为测速反馈系数

10、 测速发电机输出电压反馈电压13可以看出，假如K足够大，由于应用了反馈，扰动ML对转速的影响大大降低（为原来的1/(1+K)）,所以控制精度提高了 tMJTTMJTuKtTtTTLmaLmaemmadd1dddd22wwwetaKKKK 为各元件传递系数的乘积，称为系统的开环放大系数。 tMJTTMJTuKKKtTtTTLmaLmreammadd)1 (dddd22www两式相比较（2 2）消去中间变量。）消去中间变量。从以上各式中消去中间变 量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式14例5 热力系统 输入量为 i 输出量为q 0 （1）按能量守恒定律可写出热流量平衡方程 scti0 t 供

11、给水箱中水的热流量(瓦特)；0 出水带走的热流量(瓦特)；c 进水带入的热流量(瓦特)；s 通过热绝缘耗散的热流量(瓦特)。 （2）找出中间变量 tCtdd0qC 水箱中水的热容量(焦耳/）；q 0 水箱中水的温度()。 00qpQC Q 出水流量(千克/秒)； Cp 水的比热(焦耳/千克)。 Risqq0R 由水箱内壁通过热绝缘扩散到周围环境的等效热值(/瓦特)。 15ipRRQCtTqq)(dd1当出水流量Q一定，环境温度和进水温度q i也为常值时，系统为一阶线性定常微分方程 一阶非线性微分方程式一阶非线性微分方程式 ipipRQCRRQCtTqqq) 1() 1(dd00ipipRQCR

12、QCtCqqq)1()1(dd00T=RC为热时间常数(秒) 或（3）将以上各式代入热平衡方程16非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化严格地说，实际物理元件或系统都是非线性的。严格地说，实际物理元件或系统都是非线性的。在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽略非在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽略非线性的影响，将物理元件视为线性元件，这就是线性的影响，将物理元件视为线性元件，这就是通常使用的线性化方法。通常使用的线性化方法。此外，还有一种线性化方法，称为切线法或小偏此外，还有一种线性化方法，称为切线法或小偏差法，这种线性化方法特别适合于具有连续变化差法，这种线性化方法特别适合于具有连

13、续变化的非线性特性函数，其实质是在一个很小的范围的非线性特性函数，其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。内，将非线性特性用一段直线来代替。17小偏差线性化示意图小偏差线性化示意图设连续变化的非线性函数为设连续变化的非线性函数为y=f(x)，如左图所示。取某平，如左图所示。取某平衡状态衡状态A为工作点，对应有为工作点，对应有y0=f(x0)。当当 时，有时，有 ，设，设y=f(x)在在（x0,y0）处连续可微。）处连续可微。xxx0yyy0在该点附近用泰勒级数展开为：在该点附近用泰勒级数展开为： 000 xxxfxfxfy200 ! 21xxxf18 0000 xxxfxfx

14、fyy当增量（当增量（x-x0）很小时，略去其高次幂项，）很小时，略去其高次幂项，则有则有令令 ， ， 00 xfxfyyy0 xxx0 xfK xKy则，线性化方程可简记为则，线性化方程可简记为略去增量符号略去增量符号，便得函数，便得函数y=f(x)在工作点在工作点A附近的附近的线性化方程为线性化方程为y = Kx式中，式中， 是比例系数，它是函数是比例系数，它是函数f(x)在在A点点的切线斜率。的切线斜率。0 xfK 19 对于有两个自变量对于有两个自变量x1,x2的非线性函数的非线性函数f(x1,x2)，同样，同样可以在某工作点可以在某工作点(x10,x20)附近进行线性化。附近进行线性

15、化。这种小偏差线性化对控制系统大多数工作状态是可这种小偏差线性化对控制系统大多数工作状态是可行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与期望值保持一致，控制系统也不进行控制动作。一期望值保持一致，控制系统也不进行控制动作。一旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始控制动作，以便减小这个偏差。因此控制系统中被控制动作，以便减小这个偏差。因此控制系统中被控量的偏差一般不会很大，只是控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差小偏

16、差”。20例例 6 6 设铁芯线圈电路如图（设铁芯线圈电路如图（a）所示，其磁通）所示，其磁通 f f 与与 线线圈中电流圈中电流 i 之间关系如图（之间关系如图（b）所示。试写以）所示。试写以 ur 为输为输入量，入量，i 为输出量的电路微分方程。为输出量的电路微分方程。(a)(b)解：解： 设铁芯线圈磁通变化时产生的感应电势为设铁芯线圈磁通变化时产生的感应电势为 dtidKuff121 RidtdidiidKRidtidKurff11根据基尔霍夫定律写出电路微分方程为：根据基尔霍夫定律写出电路微分方程为：式中式中df f(i)/di是线圈中电流是线圈中电流i的非线性函数，因此该的非线性函数

17、，因此该方程是一个非线性微分方程。方程是一个非线性微分方程。设电压和电流只在某平衡点设电压和电流只在某平衡点(u0,i0)附近做微小变化，附近做微小变化，并设并设f f(i)在在i0邻域内连续可导，将邻域内连续可导，将f f(i)在在i0附近用泰勒附近用泰勒级数展开为级数展开为 20 00! 21iiiiiiffff22当当 足够小时，略去高阶导数项，可得足够小时，略去高阶导数项，可得i iKiiii00fff因此得到在平衡点因此得到在平衡点(u0,i0)附近的线性化微分方程为：附近的线性化微分方程为：1rdiK KRiudt式中式中K 。令。令f f=f f(i)-f f(i0),并略去增量

18、符号并略去增量符号，得到磁通与电流之间的增量线性化方程为得到磁通与电流之间的增量线性化方程为f f (i)=K i 0 if返回返回232-3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 一、传递函数的概念一、传递函数的概念)()(d)(dtututtuRCrccRC电路如下：根据克希霍夫定律，列写微分方程电路如下：根据克希霍夫定律，列写微分方程)()()(tututRircttiCtucd)(1)(拉氏变换：拉氏变换： )()()()(sUsURCusRCsUrccc0)(1)(11)(0crcuRCsRCsURCssURCtcRCtceueutu)0()1 ()(0)( 1)(0tutur当输入

19、为阶跃电压 时，对 求拉氏反变换： )(sUc24或或1111)()()(TsRCssUsUsGrc式中式中 T=RC 若若uc(0)=0 )(11)(sURCssUrc)(tuc0u)0(cu)1 (0RCteuRCtceu)0()(tuc0tRC网络的阶跃响应曲线网络的阶跃响应曲线零状态响应，由输入电压决定零输入响应，由初始电压决定)(sG)(sUr)(sUc传递函数传递函数G(s)确立了电路输入电压与输出电压之间的关系方框内为传递函数进入和离开方框的箭头分别表 示为输入信号和输出信号25线性线性(或线性化或线性化)定常系统在零初始条件下，定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的

20、拉氏变换之比输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为称为传递函数传递函数。 线性定常系统由下述线性定常系统由下述n阶微分方程描述：阶微分方程描述：)()(dd)(dd)(dd)()(dd)(dd)(dd0111101111trbtrtbtrtbtrtbtcatctatctatctammmmmmnnnnnnc(t)是系统输出量；r(t)是系统输入量a0，a1，an；b0，b1，bm是与系统结构参数有关的常系数 令C(s)=Lc(t)，R(s)=Lr(t)，在初始条件为零时，进行拉氏变换，得到关于s的代数方程 ansn+an-1sn-1+a1s+a0C(s) =bmsm+bm-1sm-1+b1s

21、+b0R(s) )()()()()(01110111sDsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmmM(s) 为传递函数的分子多项式D(s)为传递函数的分母多项式。 26二、二、 传递函数的性质传递函数的性质 1.传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m一般低于或等于分母的阶数n， 即mn ，且所有系数均为实数。2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用及初始条件无关。3.一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。 )()()()()()()(2121nmpspspszszszsksRsCsG例如：-z1

22、,-zm传递函数的零点，传递函数的零点，m m个个 -p1,-pn传递函数的极点，传递函数的极点， n个个G(s)= 的的零极点分布图零极点分布图 )(22322ssss5.一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。4.令s = 0，则 称为传递系数，或 静态放大系数。 00)0(abG27三、典型环节及其传递函数三、典型环节及其传递函数（一）比例环节（一）比例环节 G(s)= K 表明输出量与输入量成正比。 无弹性变形的杠杆、不计非线性和惯性的电子放大器、测速发电机都可认为是比例环节。 比例环节：(a) (b) 28（二）惯性环节（二）惯性环节1)(TsKsG式中式中 K环节的比例系

23、数环节的比例系数 T 环节的时间常数环节的时间常数 当环节的输入量为单位阶当环节的输入量为单位阶跃函数时，环节的输出量跃函数时，环节的输出量将按指数曲线上升，具有将按指数曲线上升，具有惯性，惯性，R-C回路、回路、R-L回路回路等等都可看做惯性环节。都可看做惯性环节。 29（三）积分环节 TssG1)(当积分环节的输入信号为当积分环节的输入信号为单位阶跃函数时，则输出单位阶跃函数时，则输出为为t/T，它随着时间直线，它随着时间直线增长。如图增长。如图(a)(a)所示：所示： 图图(b)为控制系统中经常为控制系统中经常用到的积分控制器。积分用到的积分控制器。积分时间常数为时间常数为RC30（四）

24、微分环节（四）微分环节 G(s) = Ts （理想微分环节 ）1)(21sTsTsG（实际微分环节） (a)测速发电机与(b)微分运算放大器为理想微分环节; (c)和(d)实际微分环节31（五）振荡环节（五）振荡环节 222222121)(nnnsssTsTsGwww式中：式中： w wn无阻尼自然振荡频率，无阻尼自然振荡频率，w wn=1 1/T； 阻尼比，阻尼比，0 1。单位阶跃函数作用下的响应曲线单位阶跃函数作用下的响应曲线:振荡环节实际上是一振荡环节实际上是一个二阶系统。如左图个二阶系统。如左图所示的所示的R-L-C电路，电路，从传递函数的特性来从传递函数的特性来看就是振荡环节。看就是

25、振荡环节。单位阶跃函数作用下的传递函数单位阶跃函数作用下的传递函数:32式中式中x x = t t t，所以延滞环节的传递函数为，所以延滞环节的传递函数为: 系统具有延滞环节对系统的稳系统具有延滞环节对系统的稳定性不利，延滞越大，影响越大。定性不利，延滞越大，影响越大。sesGt)()()()()(0)(0sRe dert detrsCssstttxxxtc(t)= r(tt) 延滞环节的传递函数延滞环节的传递函数:拉式变换（六）延滞环节（六）延滞环节 sesGt)(延滞环节是线性环节， t 称为延滞时间（又称死时）。具有延滞环节的系统叫做延滞系统。返回返回332-4 控制系统结构图与信号流控

26、制系统结构图与信号流图图 ( (一一) )、 结构图的概念结构图的概念RiuucrtiCucd1拉氏变换拉氏变换 )()()(sRIsUsUcr)(1)(sICssUc)()()(1sIsUsURcr RC网络的微分方程式为网络的微分方程式为一一 、控制系统的结构图、控制系统的结构图34( (二二) )、系统结构图的建立、系统结构图的建立步骤步骤（1 1）建立控制系统各元部件的微分方程。建立控制系统各元部件的微分方程。（2 2）对各元件的微分方程进行拉氏变换，并作对各元件的微分方程进行拉氏变换，并作 出各元件的结构图。出各元件的结构图。（3 3）按照系统中各变量的传递顺序，依次将各）按照系统中

27、各变量的传递顺序，依次将各 元件的结构图连接起来，置系统的输入变元件的结构图连接起来，置系统的输入变 量于左端，输出变量于右端。量于左端，输出变量于右端。35例例7. 位置随动系统如下，试建立系统的结构图。位置随动系统如下，试建立系统的结构图。 )()()(ssscreqqq)()(sKsUessq)()(sUKsUsaaaabaaRsLsEsUsI)()()()()(ssKsEmebqBsssMsMsLdm2)(J()(q)()(sIKsMamd)(1)(sismcqq)(srq)(seq)(scqsK)(seq)(sUsaK)(sUs)(sUa)(sIa)(sEb)(sUaaaRsL1mK

28、)(sMd)(sIa)(smq)(sMLBsJs 21)(sMd)(smq)(scqi1sKe)(smq)(sEb36例例8. 试绘制无源网络的结构图。试绘制无源网络的结构图。 ur为网络输入为网络输入uc为网络输出为网络输出(uruc) 为为R1与与C并联支路并联支路的端电压的端电压i1+i2=iR2i= uc直接建立结构图直接建立结构图注意：一个系统或一个环节，其结构图不是唯一的注意：一个系统或一个环节，其结构图不是唯一的37例例9. 绘制两级绘制两级RC网络的结构图网络的结构图 )()()(111sIRsUsUr)()(1)(2111sIsIsCsU(1)列写原始方程：列写原始方程：)(

29、)()(221sIRsUsUc)(1)(22sIsCsUc(2)画出子方程结构图：画出子方程结构图：（3）连接相关信号线）连接相关信号线得到最终结构图：得到最终结构图：38负载效应负载效应后一级网络作为前一级网络的负载，对前级网络的输出电压u1产生影响。如果在两级网络之间，接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，则该电路的结构图就可由两个简单的RC网络结构图组成，这时，网络之间的负载效应已被消除。 注意：此时，不能用两个单独网络结构图的串注意：此时，不能用两个单独网络结构图的串 联表示组合网络的结构图。联表示组合网络的结构图。39(三三)、 结构图的等效变换结构图的等效变换 1结构图的

30、基本组成形式结构图的基本组成形式 （1）串联连接方框与方框首尾相连。前一个方框的输出，方框与方框首尾相连。前一个方框的输出，作为后一个方框的输入，这种结构形式称作为后一个方框的输入，这种结构形式称为串联连接。为串联连接。 （2）并联连接 两个或多个方框，具有同一个输入，而以各两个或多个方框，具有同一个输入，而以各方框输出的代数和作为总输出，这种结构称方框输出的代数和作为总输出，这种结构称为并联连接。为并联连接。 （3）反馈连接 一个方框的输出，输入到另一个方框，得到的输出再返回作用于前一个方框的输入端，这种结构称为反馈连接。如图所示： 返回至A处的信号取“+”，称为正反馈；取“-”，称为负反馈

31、。负反馈连接是控制系统的基本结构形式。402结构图的等效变换法则结构图的等效变换法则 （1）串联方框的等效变换串联方框的等效变换 )()()()()()(21sUsGsCsRsGsU)()()()()()(21sRsGsRsGsGsC)()()(21sGsGsG如图所示：得出如图所示：得出结论：串联结构总传递函数等于各个环节传递结论：串联结构总传递函数等于各个环节传递 函数的乘积。函数的乘积。41结论：并联结构总传递函数等于各个环节传递函结论：并联结构总传递函数等于各个环节传递函 数的代数和。数的代数和。)()()()()()(2211sRsGsCsRsGsC)()()( )()()()()(

32、2121sRsGsGsRsGsRsGsC)()()()()(21sGsGsRsCsG如图所示：得出如图所示：得出（2）并联连接）并联连接的等效变的等效变换换 42（3）反馈连接）反馈连接的等效变换的等效变换 )()()()()()()()()(sBsRsEsCsHsBsEsGsC按照信号传递的关系可写出：按照信号传递的关系可写出： )()()()()()()()()()(sCsHsGsRsGsCsHsRsGsC)()()()()(1 )()()()(sRsGsCsHsGsCsHsGsC消去消去E(s)和和B(s)，得，得 )()()(1)()()(sGsHsGsGsRsCB若反馈通路的传递函数

33、H(s)=1，常称作单位反馈 因此因此 分母中的加号对应于负反馈；减号对应于正反馈。43（4）综合点与引出点的移动）综合点与引出点的移动 a. 综合点前移综合点前移 QRsGC)()()(1QsGRsGCQRsG)( 移动前的结构图中，信号关系为： 移动后，信号关系为： b. 综合点之间的移动综合点之间的移动 YXRCXYRC移动前，总输出信号: 移动后，总输出信号: c. 引出点后移引出点后移 RRsGsGR)()(1 移动后的支路上的信号为: d. 相邻引出点之间的移动相邻引出点之间的移动 44结构图的等效变换法则结构图的等效变换法则ACBABABCACBACABCACBABCCACBAB

34、ABA1G1AG2G21GAGA1G2AG2G21GAGA21GG21GAGA1G1AG2G21GAGA1G1AG2G21AGAG 2AG21AGAG 21GG A45BAGBABGAGBGAGGAGGBGAB1G2GAB1G2G21GBABAGAGBAGGG1BAG GBA BAGBA1G1AG2G21AGAG 2AG1AGA2G2AG21G1GA21AGAG 463. 结构图变换举例结构图变换举例 例例10. 对如图所示的结构图进行结构变换，求出对如图所示的结构图进行结构变换，求出 RC网络的传递函数。网络的传递函数。 利用串联法则，求得前向通路的等效传递函数G(s)=1/RCs，再由反馈

35、法则将图(a)变换得图(b)，方框中即为网络传递函数 47二二、控制系统的信号流图控制系统的信号流图(一一) 信号流图的定义信号流图的定义 信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络。节点标志变量(信号)，在图中用小圆圈表示；方框图信号流图运算表达式节点支路支路是连接两个节点的定向线段，它有一定的复数增益(即传递函数)，称为支路增益;信号只能在支路上沿箭头方向传递，经支路传递的信号应乘以支路的增益。 48信号流图的常用术语：信号流图的常用术语：输入节点：输入节点： 只有输出支路的节点，它一般表示系只有输出支路的节点，它一般表示系统的输入变量。统的输入变量。

36、 输出节点：输出节点：只有输入支路的节点称为输出节点，只有输入支路的节点称为输出节点，它一般表示系统的输出变量。它一般表示系统的输出变量。混合节点：混合节点： 既有输入支路又有输出支路的节点称既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点。为混合节点。通路：通路： 从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点所构成的路径称为通路。连支路到另一节点所构成的路径称为通路。前向通路：前向通路： 是指从输入节点开始并终止于输出节是指从输入节点开始并终止于输出节点且与其它节点相交不多于一次的通点且与其它节点相交不多于一次的通路。路。 回路：回路： 如果通路的终点就

37、是通路的起点，并且与如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次的通路称为任何其它节点相交不多于一次的通路称为回路。回路。不接触回路：不接触回路： 如果一信号流图有多个回路，各回路如果一信号流图有多个回路，各回路之间没有任何公共节点，则称为不接之间没有任何公共节点，则称为不接触回路，反之称为接触回路。触回路，反之称为接触回路。49图中：图中：x0为输入节点（只有输出支路的节点），为输入节点（只有输出支路的节点），x6为输出节点（只有输入支路的节点）。为输出节点（只有输入支路的节点）。x1,x2,x3,x4和和x5是混合节点。是混合节点。a b c d e j 是前向通路。是前

38、向通路。a b c d e和和f g h i是通道。是通道。a i不是通道（两条支不是通道（两条支路的方向不一致）路的方向不一致）a b i 不是通道，因为两次经过节点不是通道，因为两次经过节点x1。b i是闭通道（回环），是闭通道（回环），b c h i 不是回环，因为两次经过节点不是回环，因为两次经过节点x2。图中有四个闭环，即图中有四个闭环，即bi， ch， dg 和和ef。两个不相接触的回路有三个两个不相接触的回路有三个: bief， bidg 和和 chef。没有三个及三个以上互不接触的回环。没有三个及三个以上互不接触的回环。50（二）信号流图的基本性质（二）信号流图的基本性质v以节

39、点代表变量。输入节点代表输入量，输出节点以节点代表变量。输入节点代表输入量，输出节点代表输出量。用混合节点表示变量或信号的汇合。代表输出量。用混合节点表示变量或信号的汇合。在混合节点处，出支路的信号等于入支路信号的叠在混合节点处，出支路的信号等于入支路信号的叠加。加。v以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当在方框图中经过一个用方框表示的一条支路，相当在方框图中经过一个用方框表示的环节。环节。v增加一个具有单位传输的支路，可以把混合节点化增加一个

40、具有单位传输的支路，可以把混合节点化为输入节点。为输入节点。v对于同一个系统，信号流图的形式不是唯一的。对于同一个系统，信号流图的形式不是唯一的。51结构图与信号流图的对比结构图与信号流图的对比此处的单位传此处的单位传输不能舍去输不能舍去练习题练习题52二、梅逊二、梅逊(S.J.Mason)公式求传递函数公式求传递函数梅逊公式的表达式为：梅逊公式的表达式为：nkkkPsG1)(G(s) kjijiiLLLLLL1nk 在在中，将与第中，将与第k条前向通路相接触的回路条前向通路相接触的回路除去后所余下的部分，称为余子式；除去后所余下的部分，称为余子式；LiLiLj 所有两两互不接触回路的回路增益

41、乘积所有两两互不接触回路的回路增益乘积之和；之和；LiLjLk 所有三个互不接触回路的回路增益乘所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和。积之和。所有回路的增益之和；所有回路的增益之和；所有前向通路的条数；所有前向通路的条数；Pk 第第k条前向通路的增益；条前向通路的增益；总传递函数；总传递函数；特征式；特征式；动画53例例: 根据信号流图求系统传递函数根据信号流图求系统传递函数系统有两条前向通路系统有两条前向通路543211GGGGGP 6512GGGP 112321HG四条单回路四条单回路32163423121HHHGHGHGHGL两两不相交回路两两不相交回路31422HHGGL 54211

42、LL 2122111LLPPsRsC3412321634231226531651543211HGHGHHHGGGHGHGHGGGGGGGGGGGG系统传递函数为：系统传递函数为：55例例16 绘制三级绘制三级RC滤波网络结构图，并求其滤波网络结构图，并求其传递函数传递函数Uc/Ur 。1. 绘制结构图。绘制结构图。用复阻抗与电压、电流关系， 可以直接绘出网络的结构图： 56有有1组三个互不接触的回路，即组三个互不接触的回路，即-，故，故 3331sCRLLLkji有有6组两两互不接触的回路，它们是组两两互不接触的回路，它们是-、-、-、-、-及及-，因此，因此 222sCRLLji6该结构图有

43、该结构图有5个反馈回路，回路传递函数均相同，个反馈回路，回路传递函数均相同，即即RCsLi5RCsLLL15212. 求传递函数求传递函数5711 11122233333322233311RCssCRsCRsCRsCRRCssCRPUUrc6565且前向通路与各反馈回路均有接触，余子式且前向通路与各反馈回路均有接触，余子式 1 = 1。则由梅逊公式可求得总传递函数：则由梅逊公式可求得总传递函数：练习题练习题前向通路只有一条，即前向通路只有一条，即 33311sCRP 33322211 1sCRsCRRCsLLLLLLkjijii65特征式：特征式： 58三、控制系统的传递函数三、控制系统的传递

44、函数 闭环控制系统的典型结构如下图所示：闭环控制系统的典型结构如下图所示： r(t)输入信号输入信号n(t)扰动（或干扰）扰动（或干扰）1.系统的开环传递函数系统的开环传递函数断开系统的主反馈通路，这时前向通路传递函数与反馈通路传递函数的乘积G1(s)G2(s)H(s)，称为该系统的开环传递函数。也即 )()()()()(21sHsGsGsRsB注意：开环传递函数并不是第一章所述注意：开环传递函数并不是第一章所述 的开环系统的传递函数，而是指的开环系统的传递函数，而是指 闭环系统在开环时的传递函数。闭环系统在开环时的传递函数。 592. r(t)作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数

45、 )()()(1)()()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCsGB输出函数的拉氏变换式输出函数的拉氏变换式 ：)()()()(1)()()()()(2121sRsHsGsGsGsGsRsGsCB求出闭环传递函数：求出闭环传递函数：令令n(t)=0，结构图变为：，结构图变为：输入信号输入信号r(t)作用下系作用下系统的闭环传递函数。统的闭环传递函数。603. n(t)作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数输出函数的拉氏变换式输出函数的拉氏变换式 ：求出闭环传递函数：求出闭环传递函数：)()()(1)()()()(212sHsGsGsGsGsNsCn)()()()(1)()(

46、)()(212sNsHsGsGsGsNsGsCn令令r(t)=0，结构图变为：，结构图变为：干扰干扰n(t)作用下系统作用下系统的闭环传递函数。的闭环传递函数。614. 系统的总输出系统的总输出 根据线性系统的叠加原理，系统的总输根据线性系统的叠加原理，系统的总输出应为各外作用引起的输出的总和。出应为各外作用引起的输出的总和。例：系统结构图如下，试求系统在给定值例：系统结构图如下，试求系统在给定值R(s)作用下的传递函数及在扰动作用下的传递函数及在扰动N作用下的传递函作用下的传递函数数，并求两信号同时作用下系统的总输出。，并求两信号同时作用下系统的总输出。62当当N0时，系统的结构图时，系统的

47、结构图 12121( )( )rG s GsGsG s G s H s传递函数为：传递函数为：当当R(s)=0时，系统的结构图为时，系统的结构图为传递函数为：传递函数为： sHsGsGsGsGN212163)()()(1)()()()()(1)()()()(2122121sHsGsGsNsGsHsGsGsRsGsGsC由叠加原理，得到系统的输出为由叠加原理，得到系统的输出为645. 闭环系统的误差传递函数闭环系统的误差传递函数 )()()(11)()()(21sHsGsGsRsEsGe)()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsNsEsGen系统的总误差系统的总误差: E(s

48、)= Ge(s)R(s)+ Gen(s)N(s) 或 )()()(tbtrte)()()(sBsRsE规定：代表被控量c(t)的测量装置的输出b(t)和给定输入r(t)之差为系统的误差e(t)，即r(t)作用下的误差传递函数，取n (t)=0时的E(s)/R(s)。n(t)作用下系统的误差传递函数，取r(t)=0时的E(s)/ N(s)。 656. 闭环系统的特征方程闭环系统的特征方程D(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)=0 闭环系统的特征方程闭环系统的特征方程 如果系统中控制装置的参数设置，能满足如果系统中控制装置的参数设置，能满足|G1(s)G2(s)H(s)|1及及 | G1(s)

49、H(s)|1如果将上式改写成如下形式：如果将上式改写成如下形式： sn+a an-1sn-1+ +a a1s+a a0 =(s+p1)(s+p2)(s+pn)=0则则-p1,-p2,-pn称为特征方程的根，或称为闭环称为特征方程的根，或称为闭环系统的极点。系统的极点。 66即即: : E(s) = R(s)-B(s) =R(s)-H(s)C(s) 0表明：采用反馈控制的系统，适当地匹配结构表明：采用反馈控制的系统，适当地匹配结构参数，有可能获得较高的工作精度和很强的抑参数，有可能获得较高的工作精度和很强的抑制干扰的能力，同时又具备理想的复现、跟随制干扰的能力，同时又具备理想的复现、跟随指令输入

50、的性能，这是反馈控制优于开环控制指令输入的性能，这是反馈控制优于开环控制之处。之处。 )()()(1)(sNsRsHsC0可近似为：可近似为：系统的总输出表达式系统的总输出表达式:)()()(1)()()()()(1)()()()(2122121sHsGsGsNsGsHsGsGsRsGsGsC返回返回67拉普拉斯变换拉普拉斯变换f (t)的拉普拉斯变换被定义为：的拉普拉斯变换被定义为：00)()()()(dtetftfdtesFtfLstst时间t的函数，并且当t0时 f (t) = 0)(tfs = 复变数；L = 运算符号，放在某量之前，表示该量用拉 普拉斯积分 进行变换F(s) = f

51、(t)的拉普拉斯变换 dtest0)()(tfLsF68例例1 指数函数指数函数假设函数： (t0) (t0)tAetftfa)(0)(式中A和a 是常数，求f (t)的拉普拉斯变换aaasAdteAdteAetfLtsstt0)(0)(解：解：69例例2 阶跃函数阶跃函数假设阶跃函数： (t0)Atftf)(0)(求f (t)的拉普拉斯变换解：解：此阶跃函数在s=0处是不确定的，因此求000dtAestsAdtAetfLst0)(定义：高度为定义：高度为1的阶跃函数叫做单位阶跃函数。的阶跃函数叫做单位阶跃函数。单位阶跃函数的拉普拉斯变换是stL1)( 170例例3 斜坡函数斜坡函数 斜坡函数

52、： (t0) (t 0)Attftf)(0)(式中A是一个常数，求f (t)的拉普拉斯变换解：解：20000)(sAdtesAdtsAeseAtdtteAtfLstststst71例例4 正弦函数正弦函数 正弦函数： (t0) (t 0)tAtftfwsin)(0)(式中A和w是一个常数，求f (t)的拉普拉斯变换dtetAtfLst0)(sin)(w解：解：)(21sintjtjeejtwwwtjtetjtetjtjwwwwwwsincossincos因为2201212)(2)(wwwwwwsAjsjAjsjAdteeejAtfLsttjtj所以72拉普拉斯变换定理拉普拉斯变换定理平移函数：

53、平移函数：求平移函数f (t-a)的拉普拉斯变换。假设当t0时f (t)=0，或当ta 时 f (t-a) = 0。函数f (t)和f (t-a)的曲线如下图所示：0tf (t) f (t-a)0at)()()(0sFedtetftfLsstaaa当0ta 时，f (t-a) = 00)(0)()()()(dtetfedtetfdefsFststssaattaaattat式中方程说明时间函数f (t)通过a 的平移相当于拉普拉斯变换F(s)与 相乘。sea73例例5 脉动函数脉动函数 脉动函数： 常数 0)()(tfAtf求f (t)的拉普拉斯变换)0(0tt ), 0(0ttt解：解：脉动函

54、数f (t)可以看作是一个从 t = 0 开始的高度为A的阶跃函数，再叠加一个从 开始的高度为A的负的阶跃函数，即0tt )( 1)( 1)(0ttAtAtf)1 ()( 1)( 1)(000ststesAesAsAttALtALtfL74 脉冲函数： 0)(lim)(000tftAtft求f (t)的拉普拉斯变换)0(0tt ), 0(0ttt例例6 脉冲函数脉冲函数解：解：AsAsstdtdeAdtdestAtfLsttstt)()1 (lim)1 (lim)(0000000000脉冲函数的拉普拉斯变换等于在那个脉冲下的面积定义：面积等于定义：面积等于1的脉冲函数叫做单位脉冲函的脉冲函数叫

55、做单位脉冲函 数。在数。在 处的单位脉冲函数通常用处的单位脉冲函数通常用 来表示，并满足下列条件：来表示，并满足下列条件：0tt )(0tt 0)(0tt)(0tt)(0tt )(0tt 1)(0dttt75微分定理微分定理函数函数 f (t)的导数的拉普拉斯变换为的导数的拉普拉斯变换为)0()()(fssFtfdtdL式中式中 f (0) 是是 f (t) 在在t = 0处的初始值。处的初始值。证明：证明：000)()()(dtsetfdtdsetfdtetfststst)(1)0()(tfdtdLssfsF)0()()(fssFtfdtdL注意：注意：如果f (t)在t = 0处 ，则需要

56、 对上述方程进行修正，结果为：)0()0(ff)0()()(fssFtfdtdL)0()()(fssFtfdtdL76例例7 余弦函数（微分定理应用）余弦函数（微分定理应用） 余弦函数： (t0) (t 0)tAtgtgwcos)(0)(式中A和w是一个常数，求g(t)的拉普拉斯变换解：解： 假定正弦函数： (t0) (t 0)ttftfwsin)(0)(22sin)(wwwstLsF22220)0()(sincoswwwwwwwwsAsssAfssFAtAdtdLtAL余弦函数拉普拉斯变换为：77终值定理终值定理假设假设 和和 可以进行拉普拉斯变换，可以进行拉普拉斯变换， 存在，并且除在原点

57、处唯一的极点外，存在，并且除在原点处唯一的极点外， 在包在包含含 轴的右半轴的右半s平面内是解析的平面内是解析的 意味着当意味着当 时时 趋近于一个确定值趋近于一个确定值 ，于是，于是dttdf)()(limtft)(ssFwjt)(lim)(lim0ssFtfst)(tf)(tf证明：令在 的导数的拉普拉斯变换式中的s趋 近于零，即 )(tf)0()(lim)(lim000fssFdtetfdtdssts)0()(lim)0()()()(000fssFfftfdttfdtds)(lim)(lim)(0ssFtffst1lim0stse注意：注意：当 f (t) 是正弦函数 时， 在 处有极点

58、，并且 不 存在，因此，对于这样的函数此定理 无效。如果当t趋近于无穷大时，f (t) 也趋近于无穷大，则 不存在， 终值定理同样不适用。twsin)(ssFwjs)(limtft)(limtft78初值定理初值定理如果如果 和和 不但可以拉普拉斯变换，而且不但可以拉普拉斯变换，而且 存在，则存在，则dttdf)()(lim)0(ssFfs)(tf)(limssFs0)0()(limfssFs证明：证明：运用 的 变换的方程式，即)0()()(fssFtfdtdLdttdf)(L0)(lim0dtetfdtdsts对于 的时间间隔，当s趋近于无穷大时， 趋近于零。因此t0ste79积分定理积分

59、定理010000)()0()(1)(1)()()()(ssFsfdtetfsdttfssedttfsedttfdtedttfdttfLsttstststsfssFdttfL)0()()(1f (t)的积分的拉普拉斯变换为的积分的拉普拉斯变换为dttff)()0(1式中式中 在在 t = 0 处的值。处的值。注意：注意：如果f (t)在t = 0处包含一个脉冲函数，那么 ，则需要对上述方程进行修正。)0()0(11ffsfssFdttfL)0()()(1sfssFdttfL)0()()(1证明：证明：80拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 由复变数表达式推导成时间表达式的数学运算叫做由复变数表达式推导成时间表达式的数学运算叫做反变换，拉普拉斯反变换的符号是反变换，拉普拉斯反变换的符号是 ,因而