高等数学上第一章第一节课件

1、微积分微积分(一一)任课教师：任课教师：邵志超邵志超 信息学院信息学院. .应用数学系应用数学系. .博学楼博学楼1306.Tel:644938791306.Tel:64493879网络联系：网络联系：教务处教学辅助系统教务处教学辅助系统TAS. TAS. E-mail: E-mail: 教材：教材：高等数学高等数学. .同济大学同济大学. .高教出版社高教出版社 第六版第六版. .参考书参考书: : 高等数学附册高等数学附册 学习辅导与习题选解学习辅导与习题选解. .同济同济. .高教高教. . 微积分解题思路和方法微积分解题思路和方法. .刘书田等刘书田等. .世界图书出版社世界图书出版社

2、. . 高等数学典型题精解高等数学典型题精解. .韩云瑞韩云瑞. .大连理工大出版社大连理工大出版社. .总评成绩总评成绩: :（大概）（大概）平时成绩平时成绩10% 10% + + 期中成绩期中成绩15% 15% + + 期末成绩期末成绩75%75%要求：要求： 按时交作业按时交作业. . 不迟到、不早退、不旷课不迟到、不早退、不旷课. . 答疑：答疑：每周四每周四 下午下午2:004:00.2:004:00. 博学楼博学楼13061306室室. .一、一、What is 微积分（高等数学）微积分（高等数学）? ? 就是就是用古希腊数学家们关于线段、长方形和长方用古希腊数学家们关于线段、长方

3、形和长方体的已知结果（长度、面积和体积）来量度一般曲线、体的已知结果（长度、面积和体积）来量度一般曲线、曲面曲面和曲体的长度、面积和体积。和曲体的长度、面积和体积。 研究内容：研究内容：极限极限、微分学、积分学及其应用、微分学、积分学及其应用.初等数学初等数学 有限有限 高等数学高等数学 无限无限研究对象：研究对象：函数函数（事物变化的相互关系）（事物变化的相互关系）基本基本idea：“弯曲弯曲”的东西在的东西在“小尺度小尺度”下是平直下是平直的！的！二、如何学好微积分二、如何学好微积分? ?1. 1. 注意培养四种能力：注意培养四种能力： 形象思维、形象思维、抽象思维、逻辑抽象思维、逻辑思维

4、思维、等价变形、等价变形. .3. 3. 每天一小时复习原则每天一小时复习原则. .2. 2. 做题做题：快速理解和掌握所学的概念：快速理解和掌握所学的概念. . 科学学习方法的核心：科学学习方法的核心：思考思考. .4. 4. 非智力因素的重要性！非智力因素的重要性！一、基本概念一、基本概念元素元素 a 属于集合属于集合 M , , 记作记作元素元素 a 不属于集合不属于集合 M , , 记作记作1.1.集合及集合间的关系和运算集合及集合间的关系和运算具有某种特定性质的事物的总体称为具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合. .组成集合的事物称为组成集合的事物称为元素元素. .不含任何元素的

5、集合称为不含任何元素的集合称为空集空集 , ,记作记作 . Ma( 或Ma) .Ma第一章第一章 函数与极限函数与极限1.1 1.1 集合与函数集合与函数整数集合整数集合例例: : ZxNx或Nx有理数集有理数集qpQ,N,Zqp p p 与与 q q 互质互质实数集合实数集合 Rx x 为有理数或无理数为有理数或无理数*M表示表示 M 中排除中排除 0 的集合的集合 ;M表示表示 M 中排除中排除 0 与负数的集与负数的集 合合.自然数集合自然数集合N0,1,2, , n是是 B B 的的子集子集 , , 或称或称 B B 包含包含 A A , ,定义定义. .则称则称 A A.BA例如例如

6、, ,ZNQZ RQ, , ,若若Ax,Bx设有集合设有集合,BA若若BA,AB 且且则称则称 A A 与与 B B 相等相等, ,.BA 记作记作记作记作必有必有显然有下列关系显然有下列关系 : :;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CAAOyxAcABB定义定义. . 给定两个集合给定两个集合 A A, , B B, , 并集并集 xBAAx交集交集 xBAAxBx且差集差集 xBAAxBx且定义下列定义下列运算运算: :ABBA余集余集)(ABBABcA其中直积直积 ),(yxBA,AxBy特例特例: :RR记记2R为平面上的全体点集为平面上的全体点集ABABBABABx或 2.2

7、.区间和领域区间和领域: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实这两个实数叫做区间的端点数叫做区间的端点.分为有限区间和无限区间两大分为有限区间和无限区间两大类。类。.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxabbxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)

8、称为区间的长度称为区间的长度. 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设a).(0aU 记作记作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 . )( axaxaUxa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a. 0)(0 axxaU,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 记为记为二、映射二、映射定义定义. .设设X , ,Y是两个非空集合是两个非空集合, ,若存在一个对应规则若存在一个对应规则f , ,使得使得,Xx有唯一确定的有唯一确定的Yy与之对应与之对应, ,则称则称 f 为从为从 X 到到Y 的的映射映射, ,记作记作.:YXf元素元素 y 称为元

9、素称为元素 x 在映射在映射 f 下的下的像像, , 记作记作).(xfy 元素元素 x 称为元素称为元素 y 在映射在映射 f 下的下的原像原像 . . 集合集合 X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域 ; ; Y 的子集的子集)(XfRfXxxf)(称为称为 f 的的值域值域 . . XYfxy注意注意: : 1) 1) 映射的三要素：定义域映射的三要素：定义域 , ,对应规则对应规则, ,值域值域. . 2)2)元素元素 x 的像的像 y 是唯一的是唯一的, ,但但 y 的原像不一定唯一的原像不一定唯一. . 对映射对映射YXf:若若YXf)(, , 则称则称 f 为为满射满射; ;

10、 XYf)(Xf若若,2121xxXxx有有 )()(21xfxf则称则称 f 为为单射单射; ;若若 f 既是满射又是单射既是满射又是单射, ,则称则称 f 为为双射双射 或或一一映射一一映射. . XY)(Xff因变量因变量自变量自变量 .)(,000处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时时当当xxfDx .),(称为函数的值域称为函数的值域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集DxxfyyW 定定义义 设设x和和y是是两两个个变变量量, ,D是是一一个个给给定定的的数数集集，数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 如如果果对对于于每每个个数数Dx ,1.1

11、.函数定义函数定义三、函数概念三、函数概念 ()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则.xyDW约定约定: : 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.如分母不为如分母不为0，偶次根式大于等，偶次根式大于等于于0。21xy 例如，例如，1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D 是相同的函数？是相同的函数？是不是不与与问函数问函数例例2lglg21xyxy 解解),0(:lg2 Dxy，对对于于),0()0,(:lg2 Dxy，对对于于

12、不不同同的的函函数数。同同，所所以以是是这这两两个个函函数数其其定定义义域域不不解1,0(:0102Dxx解得解得由题意由题意 352arcsin245lg12xyxxy 、求下列函数的定义域求下列函数的定义域自我练习自我练习1,5124,11 、答案答案的定义域的定义域求求例例21lg2xxy 解析法（公式法）解析法（公式法）)1(1,2132 xygts如如图形法图形法)2(表示一条曲线表示一条曲线中中在在如如yxxy02 缺点：不精确缺点：不精确直观直观优点：优点：2 2、函数表示法、函数表示法缺点：不直观缺点：不直观精确精确优点：优点：-2-1121234列表法列表法)3(三角函数表三

13、角函数表对数表，对数表，如如缺点：不完整缺点：不完整便于查找；便于查找；优点：优点： (1) (1) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当3 3、几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例xxx sgn1-1xyo(2) (2) 取整函数取整函数 y y =x=xxx表示不超过表示不超过 的最大的最大整数整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3) (3) 狄利克雷狄利克雷 ( Dirichlet( Di

14、richlet ) ) 函数函数(4) (4) 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的一个函数式子来表示的一个函数,称为称为分段函数分段函数.4 、分段函数、分段函数的定义域。的定义域。求函数求函数设设例例)3(,212101)(1 xfxxxf 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf解：解： 122231xx 1, 3 : fD 是一一对应是一一对应与与如果如果。，函数函数yx

15、Dxxfy ，则则存存在在一一个个定定义义在在时时，的的，且且当当WyDx 的反的反，称为函数，称为函数上的函数上的函数xfyyfxW 1 。，函数，也可记为函数，也可记为Wxxfy 1，的反函数为的反函数为，如，如，11101 yyxxxxy. 111 xxy，或写作或写作5 5、反函数、反函数)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 6 6、复合函数、复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义:,自变量自变量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y注意注意: :1.1

16、.不是任何两个函数都可以构成复合函数不是任何两个函数都可以构成复合函数; ;但是但是例如例如,2,arcsin2xuuy )2arcsin(2xy 2.2.复合函数可以由两个以上的函数复合构成复合函数可以由两个以上的函数复合构成. .由由例如例如,2cotxy 2,cot,xvvuuy .复复合合而而成成复合函数有两类问题：复合函数有两类问题：（1 1）给出一些函数，要求复合，注意定义域、值域）给出一些函数，要求复合，注意定义域、值域（2 2）分解复合函数，要求准确，从外到里，逐层分解）分解复合函数，要求准确，从外到里，逐层分解例例11002)1()1( xy复合而成。复合而成。由由1,210

17、0 xuuy)3(sin22)2(xy 复合而成复合而成由由xwwvvuyu3,sin,22 xy41arcsin)3(2 复合而成复合而成由由xwwvvuuy41,arcsin,2 21lg)4(2 xy复合而成复合而成由由21,lg,2 xvvuuy复合而成复合而成由由13,)1( xuuy复合而成复合而成由由xvvuauy 1,)3(3复合而成复合而成由由xvvuuy ,ln,)2(复合而成复合而成由由32,arccos,lg,)4(xttvvuuy 323arccoslg)4(1)3(ln)2(13)1(xyxayxyxy 练习：练习：三、函数的几种特性三、函数的几种特性,)(, 0,

18、成立成立有有若若MxfXxMDX 1 1函数的有界性函数的有界性: :.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数XxfM-Myxoy=f(x)XM-MyxoX0 x函函数数有有界界也也可可定定义义为为：上上有有界界. .否否则则称称无无界界. .则则称称函函数数f f( (x x) )在在X X 的的图图像像落落在在曲曲线线有有界界函函数数的的特特点点xfy :.之之间间直直线线My 有有且且常常数数若若,XxbabaDX bxfa b b为为函函数数的的上上界界. .界界, ,特特别别地地，a a为为函函数数的的下下 ., 0ln而无下界而无下界上只有上界上只有上界在区间在区

19、间exy 其中其中事实上事实上上则是无界的上则是无界的, 1ln, 0 xe而而在在区区间间; ;1 1l ln nx x0 0上上有有界界, ,e e1 1, ,l ln nx x在在y y ; 1sin,sin, xxy上有界上有界在在函数函数如如2 2函数的单调性函数的单调性: :,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2x

20、fxyoI;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ),()()2(21xfxf 恒有恒有3 3函数的奇偶性函数的奇偶性: :偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 4

21、4函数的周期性函数的周期性: :（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l设设的定义域为的定义域为D. 如果如果( )f x0,l 使得对于任一使得对于任一xD 有有(),xlD且且()( )f xlf x恒成立，恒成立，则称则称 f (x) 为周期函数为周期函数, l 称为称为f (x) 的周期的周期. .例例3 3 狄利克雷狄利克雷 ( Dirichlet( Dirichlet ) ) 函数函数解解 QxQxxD01)(设设.)().21(),57(的性质的性质并讨论并讨论求求xDDDD , 1)57( D, 0)21( D,

22、1)( xDDoxy1单值函数单值函数, 有界函数有界函数, 偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)不是单调函数不是单调函数,四、初等函数四、初等函数(1).(1).幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy) 1 , 1 (112xy xy xy1 xy 1 1、基本初等函数（常函数）、基本初等函数（常函数）内总有定义。内总有定义。幂函数在幂函数在取什么值，取什么值，无论无论), 0( (2).(2).指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey ),(: D(3).(3).对数函数对数函数)1, 0(log aaxyax

23、yln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( (4).(4).三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin xycos xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot (5).(5).反三角函数反三角函数xyarcsin 反反正正弦弦函函数数xyarccos 反反余余弦弦函函数数xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数幂函数幂函数, ,指数函数指数函数, ,对数函数对数函数, ,三角函数和反三三角函数和反三角函数统称为角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot 反余切函数反余切函数ar

24、cyxarccot双曲函数双曲函数: （自学）（自学）记住记住P17P17双曲正弦、双双曲正弦、双曲余弦、双曲正切的曲余弦、双曲正切的定义及图形定义及图形xycosh xysinh xey21 xey 21 由常数和基本初等函数经过有限次四则由常数和基本初等函数经过有限次四则运算、运算、 有限次的函数复合所构成并可由有限次的函数复合所构成并可由一个一个解解析析式子表示式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.1arctan,sin,2 xyxyxeyx特别：幂指函数是初等函数，例如特别：幂指函数是初等函数，例如.)(,xxxx11 2 2、初等函数初等函数定义：定义：说明：说明：分段函数

25、一般不是初等函数，但每个式子分段函数一般不是初等函数，但每个式子均为初等函数均为初等函数.小结：小结：主要内容主要内容: :一、集合概念一、集合概念二、函数定义、函数二要素（定义域对应规则）二、函数定义、函数二要素（定义域对应规则）三三、函数的几种特性函数的几种特性: 有界、单调、奇偶、周期有界、单调、奇偶、周期四、基本初等函数、初等函数；分段函数四、基本初等函数、初等函数；分段函数重点：重点：求函数定义域，函数相等条件，复合求函数定义域，函数相等条件，复合函数函数结构结构及特性及特性难点：难点：分段函数分段函数思考：思考：下下列列函函数数能能否否复复合合为为函函数数)(xgfy ，若若能能，写写出出其其解解析析式式、定定义义域域、值值域域,)()1(uufy 2)(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)( xxgu思考答案思考答案：2)()1(xxxgfy ,10| xxDx21, 0)( Df)2(不能不能01sin)( xxg)(xg的值域与的值域与)(uf的定义域之交集是空集的定义域之交集是空集. 作业作业 P21 4 (5),(8); 6; 8; 9; 13 ; 16; 18 补充知识补充知识-微积分学的创始人微积分学的创始人: : 牛顿牛顿(1642 1727)伟大的英