【高中数学必修四】2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义复习实数与向量积复习实数与向量积=180 =90回顾向量夹角的定义回顾向量夹角的定义已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，则，则AOB= （0 180）叫）叫做向量做向量a与与b的的夹角夹角。=0特殊情况特殊情况OBA例例 如图，等边三角形中，求如图，等边三角形中，求 （1）AB与与AC的夹角；的夹角； （2）AB与与BC的夹角。的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！12060C找向量夹角必须保证向量有相同的起点找向量夹角必须保证向量有相同的起点我们学过功的概念，即一个

2、物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作的作用下产生位移用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角向量的夹角？向量的夹角？新课引入新课引入我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作的作用下产生位移用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角新课引入新课引入 在问题中，功是一个标量，它由力和位移两个向在问题中，功是一个标量，它由力和位移两个向量确定。这启示我们，能否把

3、功看成是这两个向量的量确定。这启示我们，能否把功看成是这两个向量的一种运算结果呢？一种运算结果呢？规定规定:零向量与任一向量的数量积为数零向量与任一向量的数量积为数0。 数量积数量积(向量的乘法向量的乘法)定义：定义：说明：说明：(1)两向量相乘两向量相乘(数量积数量积)结果是一个数量，而不是向量，结果是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定符号由夹角决定,怎么决定？怎么决定？(2)a b不能写成不能写成ab , 0已知两个已知两个非零非零向量向量a与与b，它们的夹角，它们的夹角为为，我们把数量，我们把数量|a| |b|cos叫做叫做a与与b的的数量积（或内积），记作数量积（或内积），记作ab.

4、 ab=|a| |b| cos，babababa求求：已知例,43)2(;,/) 1 (2, 11，分两种情况：）由解：（ba/1;2,baba 同向，当。反向，当2,baba143cos212ba）（ 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功向上的力做功sFbOBaOA ，作作，过点，过点B作作1BB垂直于直线垂直于直线OA，垂足为，垂足为 ，则，则1B 1OB| b | cosOABab 1BOABab )(1B| b | cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的方向上的投影投影为锐角时，为锐角时，| b | cos0为

5、钝角时，为钝角时，| b | cos0为直角时，为直角时，| b | cos=0BOAab 1B数量积的几何意义数量积的几何意义数量积数量积ab的几何意义：的几何意义： 数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向上的投影的方向上的投影|b|cos的乘积。的乘积。数量积的重要性质数量积的重要性质:baba)3(0) 1 (bababababa同向时，与当)2(量积的定义有：都是非零向量，根据数设ba,222aaaaaaaa或特别地，bababa反向时，与当说明：说明：“向量方等于向量模方向量方等于向量模方”是向量和向量模相互转化的重要依据，今后常是向量和向量模相互转化的重要依

6、据，今后常用。用。 平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律已知向量已知向量 和实数和实数 ，则向量的数量积满足：，则向量的数量积满足：, ,a b c （1）a bb a （交换律）（交换律）（2）()()()aba bab （数乘结合律）（数乘结合律）（3）()abca cb c （分配律）（分配律）注意：数量积运算不满足结合律注意：数量积运算不满足结合律1若若a=0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b=02若若a0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有a b03.若若a0，a b=0,则则b=04.若若a b=0,则则a b中至少有一个为中至少有一个为05.若若b0，

7、a b= b c,则则a=c6.若若a b= a c ,则则bc,当且仅当当且仅当a=0时成立时成立7.对任意向量对任意向量a , b ,c,有有(a b)ca (b c)8.对任一向量对任一向量a,有有a2=|a|2 练习：判断正误练习：判断正误( ）( ）( ）( ）( ）( ）( ）( ） 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律 例例2. 求证：（求证：（1） （2）2222bbaaba 22bababa证明：（证明：（1）2ba babaaabaabbb222bbaa（2） bababaabbb22ba baababbaababaa向量满足完全平方公式、平方差公向量满足完全平

8、方公式、平方差公式式，求的夹角为与，：已知例obaba120322）（）（）（；（；（）；（；（）（babababa3232122 ；）；（；（）（baba 54解：解：3)21(32120cos1 obaba）（22352323bbaababa ）（）（）（59422222 baba）（223120cos52bbaao 3427158 79642)(4222 bbaababa）（199642)(5222 bbaababa）（. 3例 例例4.已知已知, 4, 6baab与与 的夹角为的夹角为60，求：（求：（1） 在在 方向上的投影；方向上的投影； （2） 在在 方向上的投影；方向上的投影； （3）bbaa|cosb=2cosa=3当且仅当为何值时，与互相垂直？当且仅当为何值时，与互相垂直？kba2bak1 . ab=|a| |b| cos2. 数量积几何意义3. 重要性质课堂小结课堂小结4. 运算律运算律课堂练习课堂练习:1.在在ABC中中, =a , =b ,ab0 ,则则ABC 是是_三角形三角形BABC2.已知已知 |a| =4,为单位向