第2章推理与证明章末综合检测（人教A版）

1、金太阳新课标资源网 第2章推理与证明(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC中，sin Asin C>cos Acos C，则ABC一定是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析：选D.由sin Asin C>cos Acos C，可得cos(AC)<0，即cos B>0，所以B为锐角，但并不能判断A，C，故选D.2如果两个数的和为正数，则这两个数()A一个是正数，一个是负数B两个都是正数C至少有一个是正数D两个都是负数解析：选C.两个数的和为正数，则有三种情况：(1)一

2、个是正数，一个是负数且正数的绝对值大于负数的绝对值；(2)一个是正数，一个是零；(3)两个数都是正数可综合为“至少有一个是正数”3已知a，bR，若ab，且ab2，则()A1<ab< Bab<1<Cab<<1 D.<ab<1解析：选B.b2a，aba(2a)(a22a)(a1)21<1，a22a2(a1)21>1，故选B.4在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形的中心角为、半径为r时，扇形周长最小，这时，r的值分别是()A1， B2，C2， D2，解析：选D.由Sr2可得，又因为扇形周长P2rr2(r)4，所以当P最小时，r，解得r，此

3、时2.5观察式子：1<，1<，1<，则可归纳出一般式子为()A1<(n2)B1<(n2)C1<(n2)D1<(n2)解析：选C.由合情推理可归纳出1<(n2)故选C.6有以下结论：(1)已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；(2)已知a，bR，|a|b|<1，求证方程x2axb0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|1.下列说法中正确的是()A(1)与(2)的假设都错误B(1)与(2)的假设都正确C(1)的假设正确；(2)的假设错误D(1)的假设错误；(2)的假设正

4、确解析：选D.用反证法证题时一定要将对立面找全在(1)中应假设pq>2.故(1)的假设是错误的，而(2)的假设是正确的，故选D.7若a，b，cR，且abbcca1，则下列不等式成立的是()Aa2b2c22 B(abc)23C.2 Dabc解析：选B.abbcca1，a2b2c2abbcca1，(abc)2a2b2c22ab2bc2ca12(abc)3.8对于a，b(0，)，ab2，(大前提)x2，(小前提)所以x2，(结论)以上推理过程中的错误为()A大前提 B小前提C结论 D无错误解析：选B.大前提中a，b(0，)，而小前提中xR，故小前提出错，应改为x(0，)9.如图所示的是某旅游区

5、各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H不同的旅游路线的条数是()A15 B16C17 D18解析：选C.这是图论中的一个问题，如果一条一条的去数，由于道路错综复杂，哪些已算过，哪些没有算过就搞不清了，所以我们换一个思路，用分析法来试试要到H点，需从F，E，G走过来，那F，E，G各点又可由哪些点走过来呢，这样一步一步地倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算法：A至B，C，D的路数记在B，C，D圆圈内，B，C，D分别到F，E，G的路数亦记在F，E，G圆圈内，最后F，E，G各个路数之和，即得至H的总路数，如图所示10若a0，b0，则p(ab)与qabb

6、a的大小关系是()ApqBpqCpq Dpq解析：选A.ab，若ab0，则1，ab0，1；若0ab，则01，ab0，1；若ab，则1，pq.11已知f(xy)f(x)f(y)，且f(1)2，则f(1)f(2)f(n)不能等于()Af(1)2f(1)nf(1)BfCn(n1)Dn(n1)f(1)解析：选D.由已知f(xy)f(x)f(y)及f(1)2，得f(2)f(11)f(1)f(1)2f(1)4，f(3)f(21)f(2)f(1)3f(1)6，依此类推，f(n)f(n11)f(n1)f(1)nf(1)2n，所以f(1)f(2)f(n)2462nn(n1)故C正确，显然A，B也正确，只有D不可

7、能成立12从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级台阶，走完这n级台阶共有f(n)种走法，则下面的猜想正确的是()Af(n)f(n1)f(n2)(n3)Bf(n)2f(n1)(n2)Cf(n)2f(n1)1(n2)Df(n)f(n1)f(n2)(n3)解析：选A.当n1时，f(1)1；当n2时，f(2)2；当n3时，f(3)3；当n4时，f(4)5，由上面可推知选A(猜想)二、填空题(本大题共4小题把正确答案填在题中横线上)13在ABC中，D为BC的中点，则()，将命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_.解析：ABC中BC边上的中点类比为四面体中一个面的重心答案：在四面体AB

8、CD中，G为BCD的重心，则()14写出用三段论证明f(x)x3sinx(xR)为奇函数的步骤是_解析：按照三段论的要求写出即可答案：满足f(x)f(x)的函数是奇函数，(大前提)f(x)(x)3sin(x)x3sinx(x3sinx)f(x)，(小前提)所以f(x)x3sinx是奇函数(结论)15设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x对称，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_.解析：因为f(x)在R上是奇函数，所以f(0)0，f(x)f(x)，又因为f(x)的图象关于直线x对称，所以f(x)f(1x)，所以f(1x)f(x)f(x)，设tx，则f(1t)f(t)

9、所以f(2t)f1(1t)f(1t)f(t)f(t)，即f(2t)f(t)，所以f(x)的周期为2.所以f(1)f(3)f(5)，f(2)f(4)又因为f(1)f(11)f(0)0，f(2)f(12)f(1)f(1)0，所以f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0.答案：016将正ABC分割成n2(n2，nN)个全等的小正三角形(图，图分别给出了n2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)2，f(3)_，f(n

10、)_.解析：当n3时，如下图所示，各顶点的数用小写字母来表示，即由条件知abc1，x1x2ab，y1y2bc，z1z2ca.x1x2y1y2z1z22(abc)2.2gx1y2x2z1y1z2，6gx1x2y1y2z1z22(abc)2，即g.f(3)abcx1x2y1y2z1z2g12.进一步可求得f(4)5.由f(1)1，f(2)f(1)，f(3)f(2)，f(4)f(3)，可得f(n)f(n1).所以f(n)f(n1)f(n2)f(1)(n1)(n2)答案：(n1)(n2)三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17已知a是整数，a2是偶数，求证：a是偶数证明

11、：(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数，则设a2n1(nZ)a24n24n1.4(n2n)是偶数，4n24n1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾，所以假设错误，即a一定是偶数18用三段论证明：直角三角形两锐角之和是90°.证明：任意三角形的内角和为180°.大前提直角三角形是三角形小前提直角三角形的三内角之和为180°.结论设直角三角形的两个内角分别为A，B，则有AB90°180°.等量减等量差相等大前提(AB90°)90°180°90°.小前提AB90°.结论19观察下表1，2,3，4,5,6,7

12、，8,9,10,11,12,13,14,15，问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2011是第几行的第几个数？解：(1)由表知，每行的第一个数为偶数，所以第n1行的第一个数为2n，所以第n行的最后一个数为2n1.(2)由(1)知第n1行的最后一个数为2n11，第n行的第一个数为2n1，第n行的最后一个数为2n1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得，Sn22n322n22n2.(3)因为2101024,2112048，又第11行最后一个数为21112047，所以2011是在第11行中，由等差数列的通项公式得，2

13、0111024(n1)·1，所以n988，所以2011是第11行的第988个数20.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为正方形，P点在平面ABCD内的射影为A，且PAAB2，E为PD的中点求证：(1)PB平面AEC；(2)平面PCD平面PAD.证明：(1)如图所示，连结BD交AC于点O，连结EO.O为BD中点，E为PD中点，EOPB.EO平面AEC，PB平面AEC，PB平面AEC.(2)P点在平面ABCD内的射影为A，PA平面ABCD.CD平面ABCD，PACD.在正方形ABCD中CDAD且PAADA，CD平面PAD.又CD平面PCD，平面PCD平面PAD.2

14、1设函数f(x)|lgx|，若0ab，且f(a)f(b)证明：0<ab<1.证明：法一：由已知f(x)|lgx|.0ab，f(a)f(b)a、b不能同时在区间1，)上，又由于0ab，故必有a(0,1)若b(0,1)，显然有0ab<1；若b(1，)，由f(a)f(b)0，有lgalgb0，lg(ab)0，ab1.法二：由题设f(a)f(b)，即|lga|lgb|，上式等价于(lga)2(lgb)2，(lgalgb)(lgalgb)0，lg(ab)·lg0，由已知ba0，1，lg0，lg(ab)0，0ab1.22已知数列an的前n项和Snann12(n为正整数)令bn2nan，(1)求证：数列bn是等差数