矩阵行列式方程组

1、习习 题题 课课初初 等等 变变 换换逆逆 变变 换换换法变换换法变换倍法变换倍法变换消法变换消法变换三种初等变换都是可逆的三种初等变换都是可逆的, 且其逆变换是同一类且其逆变换是同一类型的初等变换型的初等变换.)(ccrrjiji)(ccrrjiji)(kckrii )1(1kckrii )(ckcrkrjiji )()(ckcrkrjiji 如果矩阵如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵可经过有限次初等变换变为矩阵B, 则则称称矩阵矩阵A与矩阵与矩阵B等价等价. 记作记作A B. 定义定义: 由单位矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方阵称为阵称为初等矩阵初等矩阵

2、. 三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.对调两行或两列对调两行或两列对调对调E中第中第i, j两行两行, 即即rirj, 得初等方阵得初等方阵: 用用m阶初等矩阵阶初等矩阵Em(i, j)左左乘乘A=(aij)m n, 相当于对矩相当于对矩阵阵A施行第一种初等施行第一种初等行行变换变换: 把把A的第的第i 行与第行与第j 行对调行对调(rirj). 用用n阶初等矩阵阶初等矩阵En(i, j)右右乘乘A=(aij)m n, 相当于对矩相当于对矩阵阵A施行第一种初等施行第一种初等列列变换变换: 把把A的第的第i 列与第列与第j 列对调列对调(cicj).以非零数以非零数k

3、乘某行或某列乘某行或某列以数以数k 0乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第i 行得初等矩阵行得初等矩阵E(i (k).以数以数k 0乘某行乘某行(列列)加到另一行加到另一行(列列)上去上去以以k乘乘E的第的第j 行加到第行加到第i 行上行上(ri+krj),或以或以k乘乘E的第的第i 列加到第列加到第j 列上列上(cj+kci). 以以Em(i(k)左左乘矩阵乘矩阵A=(aij)m n, 相当于以数相当于以数k乘乘A的的第第i 行行(ri k). 以以En(i (k)右右乘矩阵乘矩阵A=(aij)m n, 相当于以数相当于以数k乘乘A的的第第i 列列(ci k). 以以Em(ij(k)左左乘矩阵乘矩阵

4、A=(aij)m n,相当于把相当于把A的的第第j 行行乘数乘数k加到加到A的的第第i 行行上上(ri+krj). 以以En(ij(k)右右乘矩阵乘矩阵A=(aij)m n, 相当于把相当于把A的的第第i 列列乘数乘数k加到加到A的的第第j 列列上上(cj+kci). 设设A是一个是一个m n矩阵矩阵, 对对A施行一次初等行施行一次初等行(列列)变换变换, 相当于相当于A左左(右右)乘相应的乘相应的m(n)阶初等矩阵阶初等矩阵. 定理定理: 设设A为可逆方阵为可逆方阵, 则存在有限个初等方阵则存在有限个初等方阵P1, P2, Pl , 使使A=P1, P2, , Pl . 推论推论: m n矩

5、阵矩阵A B的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在m阶可阶可逆方阵逆方阵P及及n阶可逆方阵阶可逆方阵Q, 使使 PAQ = B .利用初等变换求逆阵的方法利用初等变换求逆阵的方法:当当| A | 0时时, 则由则由A=P1, P2, , Pl , 得得,11111EAPPPll .111111 AEPPPll及及 1| AE EAPPPll|11111 所以所以即对即对n 2n矩阵矩阵(A|E), 施行初等施行初等行行变换变换, 当把当把A变成变成E时时, 原来的原来的E就变成了就变成了A-1.经过初等行变换经过初等行变换, 可把矩阵化为行阶梯形矩阵可把矩阵化为行阶梯形矩阵, 其其特点特点是

6、是: 可画出一条阶梯线可画出一条阶梯线, 线的下方全为线的下方全为0; 每个台阶每个台阶只有一行只有一行, 台阶数即是非零行的行数台阶数即是非零行的行数, 阶梯线的竖线阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元也就是非零行的第一个非零元.经过初等行变换经过初等行变换, 行阶梯形矩阵还可以进一步化行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵为行最简形矩阵, 其其特点特点是是: 非零行的非零首元为非零行的非零首元为1, 且且这些非零元所在列的其它元素都为这些非零元所在列的其它元素都为0.对行阶梯形矩阵再进行初等列

7、变换对行阶梯形矩阵再进行初等列变换, 可得到矩阵可得到矩阵的标准形的标准形, 其特点是其特点是: 左上角是一个单位矩阵左上角是一个单位矩阵, 其余元其余元素都为素都为0.nmrOOOEF 所有与矩阵所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合等价的矩阵组成的一个集合, 称为称为一个一个等价类等价类, 标准形标准形F是这个等价类中最简单的矩阵是这个等价类中最简单的矩阵.任一个矩阵任一个矩阵Am n总可经过初等变换化为标准形总可经过初等变换化为标准形 标准形由标准形由m, n, r三个数唯一确定三个数唯一确定, 其中其中r 就是行阶就是行阶梯形矩阵中梯形矩阵中非零行的行数非零行的行数. 若在矩阵若在矩阵A

8、中有一个中有一个r 阶子式阶子式D非零非零, 且所有的且所有的r+1阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话)都为零都为零, 则称则称D为为矩阵矩阵A的一个的一个最高阶非零子式最高阶非零子式, 称称数数 r 为为矩阵矩阵A的秩的秩, 记作记作R(A). 定理定理: 若若A B, 则则 R(A) = R(B).如果如果A中有一个中有一个r 阶子式非零阶子式非零, 则则 R(A) r .如果如果A的所有的的所有的r+1阶子式都为零阶子式都为零, 则则 R(A) r .行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数.若若A为为n阶可逆矩阵阶可逆矩阵, 则则(1) A的最高阶非零子式为

9、的最高阶非零子式为|A|; (2) R(A)=n;(3) A的标准形为单位矩阵的标准形为单位矩阵E; (4) A E.性质性质1: 0 R(Am n) minm, n;性质性质2: R(AT) = R(A);性质性质3: 若若A B, 则则R(A) = R(B);性质性质4: 若若P, Q可逆可逆, 则则R(PAQ) = R(A); 性质性质5: maxR(A), R(B) R(A B) R(A) + R(B), 特别当特别当B = b时时, R(A) R(A b) R(A) + 1;性质性质6: R(A + B) R(A) + R(B); 性质性质7: R(AB) minR(A), R(B)

10、;性质性质8: 若若Am nBn l =O, 则则R(A)+R(B) n. 齐次线性方程组的解法齐次线性方程组的解法: 系数矩阵化成行最简形系数矩阵化成行最简形矩阵矩阵, 便可写出其通解便可写出其通解. 非齐次线性方程组的解法非齐次线性方程组的解法: 增广矩阵化成行阶梯增广矩阵化成行阶梯形矩阵形矩阵, 便可判断其是否有解便可判断其是否有解. 若有解若有解, 化成行最简形化成行最简形矩阵矩阵, 便可写出其通解便可写出其通解. 定理定理1: n元线性方程组元线性方程组Am nx=b (1) 无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是R(A)R(B); (2) 有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必

11、要条件是R(A)=R(B)=n; (3) 有无穷多解的充分必要条件是有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(B)n.例例1: 求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩.34147191166311110426010021 A解解: 对对A施行初等行变换化为阶梯形矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵, 3514721015639010426010021A,00000000005213010021B 因此因此, R(A)=R(B)=2.注意注意: 在求矩阵的秩时在求矩阵的秩时, 初等行初等行, 列变换可以同时列变换可以同时兼用兼用, 但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形.例例2

12、: 求非齐次线性方程组的通解求非齐次线性方程组的通解. 解解: 对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵B行初等行变换行初等行变换, 使其成使其成为行最简单形为行最简单形. 225512221321231323214321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2025511222111321112311321B 35135011420135102284011321r23r1r32r1r4 2r1r55r1 35135011420000001351011321r22r4r3 (-1)r2r3 210120015600000001351011321r4+2r2r5+5r2 0

13、0000000006/16/51001351011321r52r4r4 6r4r3r25r3r13r3 00000000006/16/51006/16/70106/36/9021r12r2 00000000006/16/51006/16/70106/16/5001 0000020354111322025520453r1+r3r2+r3r4+r3r5r2 2025511222111321112311321B由此可知由此可知, R(A)=R(B)=3, 而方程组而方程组(1)中未知量的中未知量的个数是个数是n=4, 故有一个自由未知量故有一个自由未知量. 在此选在此选x4. 令令x4=6k (为任

14、意常数为任意常数). 得方程组得方程组(1)的通解为的通解为:.65750111614321 kxxxxx 0000000101111322025500202r1r2r4r2r12r4r4r1 0000000000111322025500101另解另解: 0000000000113302075000101r2+5r1r3+2r1r2 5r3-3r2r1 (-1) 00000000005/ 115/6005/205/71000101由此可知由此可知, R(A)=R(B)=3, 而方程组而方程组(1)中未知量的中未知量的个数是个数是n=4, 故有一个自由未知量故有一个自由未知量. 在此选在此选x3

15、. 令令x3=5k (为任意常数为任意常数). 得方程组得方程组(1)的通解为的通解为:.65751020514321 kxxxxx 例例3: 当当a取何值时取何值时, 下述齐次线性方程组有非零解下述齐次线性方程组有非零解, 并且求出它的通解并且求出它的通解.0323002204321432143214321 axxxxxaxxxxxxxxxxx解法一解法一: 系数矩阵系数矩阵A的行列式为的行列式为aaA32311121211111| 3050212010101111 aa2000010010101111 aa)2)(1( aa 10000000001001011323111121211111

16、当当a=-1时时, 把系数矩阵把系数矩阵A化成最简形化成最简形:,01014321 kxxxxx从而得到方程组的通解从而得到方程组的通解:k为任意常数为任意常数.当当a=-1或者或者a=2时时, |A|=0, 方程组有非零解方程组有非零解. 00000300101011112323121121211111 0000010010100001当当a=2时时, 把系数矩阵把系数矩阵A化成最简形化成最简形:,10104321 kxxxxx从而得到方程组的通解从而得到方程组的通解:k为任意常数为任意常数. aaA32311121211111 3050212010101111aa解法二解法二: 用初等行变

17、换把系数矩阵用初等行变换把系数矩阵A化为阶梯形化为阶梯形 2000010010101111aa 当当a=1或者或者a=2时时, R(A)4, 此时方程组有非零解此时方程组有非零解.可仿照解法一求出它的解可仿照解法一求出它的解.例例4: 求矩阵求矩阵 111211120A解解: 作分块矩阵作分块矩阵(A|E), 施行初等行变换施行初等行变换.的逆矩阵的逆矩阵. 100111010211001120 10011100112001021121rr 11010000112001021113rr 11010011102001021132rr 110100111020210011231rr 1101002

18、1212101021001122r 11010021212101025232100121rr.1102121212523211 A所以所以 注意注意: 用初等行变换求逆矩阵时用初等行变换求逆矩阵时, 必须始终用必须始终用行变行变换换, 其间其间不能作任何列变换不能作任何列变换. 同样地同样地, 用初等列变换求用初等列变换求逆矩阵时逆矩阵时, 必须始终用列变换必须始终用列变换, 其间不能作任何行变换其间不能作任何行变换.)(BA)(1BAE 初初等等行行变变换换.1BAX BA 1BAE初初等等列列变变换换.1 BAX)(TTBA)(1TTBAE 初初等等行行变变换换TTTBAX1)( 或者或者

19、(1) AX=B(2) XA=B.1 BAX例例5: 设设,410011103 A且且AX=A+2X, 求矩阵求矩阵X.解解: 因为因为 AX=A+2X,2100111012 EA所以所以(A2E)X=A,而而 410210011011103101)|2(AEA,322100234010225001 初等行变换初等行变换.322234225 X又又所以所以例例5: 设设,410011103 A且且AX=A+2X, 求矩阵求矩阵X.证证.0, 0, 01,),(0000从而有系数行列式从而有系数行列式的非零解的非零解可视为齐次线性方程组可视为齐次线性方程组则则点点设所给三条直线交于一设所给三条直

20、线交于一必要性必要性 bzaycxazcybxczbyaxzyyxxyxM. 00, 0, 0 cbabaycxacybxcbyax条件是条件是相交于一点的充分必要相交于一点的充分必要直线直线证明平面上三条不同的证明平面上三条不同的 例11例11. 0)()()( )(21(222 accbbacbabacacbcba（） baycxacybxcbyax,. 0, cbacba故故同同也不全相也不全相所以所以因为三条直线互不相同因为三条直线互不相同将方程组将方程组如果如果充分性充分性, 0 cba. 00,唯唯一一解解下下证证此此方方程程组组（）有有（）到到第第三三个个方方程程，得得的的第第一

21、一、二二两两个个方方程程加加 acybxcbyax. 00)(2)()(002222222 accaaccacacaaccabbacbaccbba，从而有，从而有，于是，于是得得。由。由，则，则如果如果.)1(.)2(. 0.00. 0, 02直直线线交交于于一一点点有有唯唯一一解解，即即三三条条不不同同方方程程组组从从而而知知有有唯唯一一解解组组由由克克莱莱姆姆法法则则知知，方方程程故故，与与题题设设矛矛盾盾得得再再由由得得由由不不妨妨设设 cbbaccbabacba例例12有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮克含氮70克，磷克，磷8克，钾克，钾2克；乙

22、种化肥每千克含克；乙种化肥每千克含氮氮64克，磷克，磷10克，钾克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮克；丙种化肥每千克含氮70克，磷克，磷5克，钾克，钾1.4克若把此三种化肥混合，要克若把此三种化肥混合，要求总重量求总重量23千克且含磷千克且含磷149克，钾克，钾30克，问三种化克，问三种化肥各需多少千克？肥各需多少千克？解解题意得方程组题意得方程组依依千克千克、各需各需设甲、乙、丙三种化肥设甲、乙、丙三种化肥,1xxx .304 . 16 . 02,1495108,23321321321xxxxxxxxx,527 D此此方方程程组组的的系系数数行行列列式式8127581 321 DDD，又又.

23、15, 5, 332 xxx组组有有唯唯一一解解由由克克莱莱姆姆法法则则，此此方方程程.15,5 ,3 千千克克千千克克千千克克各各需需即即甲甲、乙乙、丙丙三三种种化化肥肥).(40,1552.1355.1357.1360.133020100:.)(000000332210准准确确到到小小数数两两位位时时水水银银密密度度求求由由实实验验测测得得以以下下数数据据的的关关系系为为与与温温度度设设水水银银密密度度 thttatataathth例例1313)1(.52.132700090030,5557 6 .13),(3210321032100 a

24、aaaaaaaaaaaath得得方方程程组组将将测测得得的的数数据据分分别别代代入入解解)2(.008. 02700903,005. 0800402,003. 010010,60.133213213210 aaaaaaaaaa得得方方程程组组分分别别代代入入其其余余三三个个方方程程将将,12000 D此此方方程程组组的的系系数数行行列列式式.0000033. 0,00015. 0,0042. 0)2(,321 aaa的的唯唯一一解解得得方方程程组组由由克克莱莱姆姆法法则则,04. 0, 8 . 1,50321 DDD又又得得将将以以上上四四个个数数代代入入又又),(,60.130tha 由此得

25、由此得.0000033. 000015. 00042. 060.13)(32tttth .46.13,56.13,40,15,00水银密度分别为水银密度分别为时时当当所以所以 t.46.13)40(,56.13)15( hh填空题填空题 1. 若若n元线性方程组有解元线性方程组有解, 且其系数矩阵的秩为且其系数矩阵的秩为r, 则当则当时时, 方程组有唯一解方程组有唯一解; 当当 时时, 方程组有无方程组有无穷多解穷多解.2. 齐次线性方程组齐次线性方程组 0302032321321xkxxxxxkxx只有零解只有零解, 则则k应满足的条件是应满足的条件是 .,111111111 A则齐次线性方程组则齐次线性方程组Ax=O3. 设设的通解为的通解为 .r=nrn53 k零解零解4. 线性方程组线性方程组 515454343232121axxaxxaxxaxxaxx有解的充要条件是有解的充要条件是 . . 0011102210111000A5. 设设A为为4阶方阵阶方阵, 且且R(A)=2, 则则R(A*)= .6. 矩阵矩阵的秩为的秩为 .20051 iia第一章 测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共4040分分) ) ijijnaDaaD则则若若, . 1