北师大版高中数学必修5-1.3《等比数列》参考课件

1、等比数列等比数列 国际象棋起源于印度，关国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国于国际象棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：他有什么要求，发明者说：“请请在棋盘上的第一个格子上放在棋盘上的第一个格子上放1粒麦粒麦子，第二个格子上放子，第二个格子上放2粒麦子，第粒麦子，第三个格子上放三个格子上放4粒麦子，第四个格粒麦子，第四个格子上放子上放8粒麦子，依次类推，直到粒麦子，依次类推，直到第第64个格子放满为止。个格子放满为止。” 国王慷国王慷慨地答应了他。慨地答应了他。你认为国王有能你认为国王有能力满足上述要求吗？力满足上述

2、要求吗？左图为国际象棋的棋盘，棋左图为国际象棋的棋盘，棋盘有盘有8*8=64格格 1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8上述棋盘中各格子里的上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成麦粒数按先后次序排成一列数：一列数：23631 2 2 2 2， ， ， ，情景展示（情景展示（1 1）1844,6744,0737,0955,1615给你一张足够大的纸，假设给你一张足够大的纸，假设其厚度为其厚度为0.1毫米，那么当你毫米，那么当你把这张纸对折了把这张纸对折了51次的时候，次的时候，所达到的厚度有多少？所达到的厚度有多少？ 猜一猜：猜一猜：把一张纸折叠把一张纸折叠5151次，次

3、，得到的大约是地球与得到的大约是地球与太阳之间的距离！太阳之间的距离！曰：曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”庄子庄子意思：意思：“一尺长的木棒，一尺长的木棒，每日取其一半，永远也每日取其一半，永远也取不完取不完” 。11111 24816， 如果将如果将“一尺之棰一尺之棰”视为一份，视为一份，则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为： 某种汽车购买时的价格是某种汽车购买时的价格是3636万元，每年万元，每年的折旧率是的折旧率是10%10%，求这辆车各年开始时的价，求这辆车各年开始时的价格（单位：万元）。格（单位：万元）。3636，36360.90.9，36

4、360.90.92 2, , 360.93,各年汽车的价格组成数列：各年汽车的价格组成数列：1, 3, 5, 7, 9; (1)3, 0, -3, -6, ; (2)(3) . , , , , 104103102101 回忆回忆什么是等差数列？什么是等差数列？，比较下列数列比较下列数列共同特点？共同特点？ 从第从第2项起，每一项与项起，每一项与前前一项的比都一项的比都等于等于同一常数同一常数.(1) (2) (3）63322,2,2,2,1,161,81,41,219 9，9 92 2，9 93 3，9 94 4，9 95 5，9 96 6， 9 97 73636，36360.90.9，363

5、60.90.92 2, , 360.93,（4）等比数列定义等比数列定义 一般的，如果一个数列从一般的，如果一个数列从第第2项起项起，每一项与它，每一项与它前一项的前一项的比等于同一个常数比等于同一个常数，这个数列就叫做，这个数列就叫做等比等比数列数列。这个。这个常数常数叫做等比数列的叫做等比数列的公比公比，公比通常用，公比通常用字母字母q表示。表示。) 2(1nqaann或或)(*1Nnqaann其数学表达式：其数学表达式：(q0）问：如果问：如果an+1=anq(nN+,q为常数），那么数列为常数），那么数列an是是否是等比数列？为什么？否是等比数列？为什么？答：不一定是等比数列。这是因为

6、：（答：不一定是等比数列。这是因为：（1）若）若an=0,等等式式an+1=anq对对nN恒成立，但从第二项起，每一项与恒成立，但从第二项起，每一项与它前一项的比就没有意义，故等比数列中任何一项都它前一项的比就没有意义，故等比数列中任何一项都不能为零；（不能为零；（2）若）若q=0，等式，等式an+1=anq，对，对nN仍恒仍恒成立，此时数列成立，此时数列an从第二项起均为零，显然也不符从第二项起均为零，显然也不符合等比数列的定义，故等比数列中的公比合等比数列的定义，故等比数列中的公比q不能为零。不能为零。所以，所以，如果如果an+1=anq(nN，q为常数），为常数），数列数列an不一不一定

7、是等比数列。定是等比数列。名名 称称等差数列等差数列等比数列等比数列定定 义义如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起，每一项与前项起，每一项与前一项的一项的差差都等于都等于同同一个常数一个常数，那么这，那么这个数列叫做等差数个数列叫做等差数列列. .这个常数叫做等这个常数叫做等差数列的公差，用差数列的公差，用d d表示表示如果一个数列从第如果一个数列从第项起，每一项与它项起，每一项与它一项的一项的比比都等于都等于,那那么这个数列叫做等么这个数列叫做等比数列比数列. 这个常数这个常数叫做等比数列的叫做等比数列的公公比比，用，用q表示表示.注意：注意： 1. 公比是等比数列，从第公比是等比数列

8、，从第2项起，每一项与前项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。一项的比，不能颠倒。 2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个非个非零零常数。常数。1、判别下列数列是否为等比数列、判别下列数列是否为等比数列? (2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 (3)2, 2, 2, 2, (4)1, 0, 1, 0 练习练习是是不是不是是是不是不是q = =22,21,22, 1,2) 1 (q = =1思考：等比数列中思考：等比数列中(1)公比公比q为什么不能等于？首项能等于吗？为什么不能等于？首项能等于吗？(2)公比公比q=1时是什么数列？时是什么数

9、列？(3)q0数列递增吗？数列递增吗？q0数列递减吗？数列递减吗？说明：说明：(1)公比公比q0，则，则an0(nN)；(2)既是等差又是等比数列为非零常数列；既是等差又是等比数列为非零常数列；(3)q=1，常数列；，常数列；q0q0，摆动数列；，摆动数列；1100101naaaqq或递增；1100011naaaqq或递减； 例例1:求出下列等比数列中的未知项求出下列等比数列中的未知项. (1) 2. a, 8 (2) -4 , b, c, ）根据题意，得）根据题意，得（ 1解：解：a82a 解得解得 a=4或或a=-4）根据题意，得）根据题意，得（2 bcc21bc4-b 1c2b解得解得2

10、1 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数列，成等比数列，那么那么G叫做叫做a与与b的等比中项。的等比中项。abG等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：数就会成为一个等比数列：（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4（3）-12， ，-3 （4）1， ，13261小小 结：结：等比数列的概念。等比数列的概念。方程的思想。方程的思想。类比类比知识内容知识内容研究方法研究方法思想方法思想方法通项公式通项公式 数学式数学式 子表示子表示定定 义义等比数列等比数列 等差数列等差数列

11、名称名称如果一个数列从第如果一个数列从第2项项起，每一项与前一项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等那么这个数列叫做等差数列差数列.这个常数叫做这个常数叫做等差数列的公差，用等差数列的公差，用d表示表示an+1-an=dan = a1 +（n-1）d如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与它前项起，每一项与它前一项的比都等于一项的比都等于同一同一个常数个常数,那么这个数那么这个数列叫做等比数列列叫做等比数列.这这个常数叫做等比数列个常数叫做等比数列的公比，用的公比，用q表示表示qaann 1? ?qaa 12qaa 23qaann 1qaa 12

12、2123qaqaa 11 nnqaa当当n=1时，时，)N, 0,(1 nqa11aa 公式成立公式成立*Nn （等比数列通项公式）（等比数列通项公式） 如果等比数列如果等比数列 an的首项是的首项是a1 ,公比是公比是q,那么那么这个等比数列的第这个等比数列的第n 项项an 如何表示如何表示? 猜一猜猜一猜？想一想？想一想？证明：证明：qaa12qaa23qaann1将等式左右两边分别相乘可得：将等式左右两边分别相乘可得：1 nq化简得：化简得：11 nnqaa即：即：11 nnqaa此式对此式对n=1也成立也成立)(11 Nnqaann1 nqq 12312nnaaaaaa叠乘法推导叠乘法

13、推导一般形式：一般形式： ( ,)n mnmaaqn mN等比数列的通项公式练习1求下列等比数列的第求下列等比数列的第4，5项：项：（2）1.2，2.4，4.8， ,)(13535a144 .)(40535a155 ,.69221a144 .219221a155 （1） 5，-15，45，,)(8321323,3294332a144 ,128274332a155 ,)(22124,21222a144 ,42222a155 1n1nqaa 602051qaqa121解得解得 因此，因此，3620,160aan 1n5 2a 125qa例例1在等比数列在等比数列an中，已知中，已知 求求an.解：

14、设等比数列解：设等比数列an的公比为的公比为q,由题意得由题意得巩固巩固 应用应用变形、变形、等比数列等比数列an中中,a1=2,q=-3,求求a8与与an.变形变形 2、等比数列等比数列an中中,a1=2, a9=32,求求q.变形、变形、等比数列等比数列an中中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4, 求求q的值的值.变形、变形、等比数列等比数列an中中,a3+ a6=36,a4+a7=18, an =1/2,求求n.例题讲解例题讲解11()()nnn mnmaa qnNaaqnN一般形式：推广：世界杂交水稻之父世界杂交水稻之父袁隆平袁隆平从从1976年至年至1999年在我国累计推广种植

15、杂交水稻年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亿多亩，增产稻谷亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。万人口。 西方世界称他的杂交稻是西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻东方魔稻” ，并认为是解决，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝。下个世纪世界性饥饿问题的法宝。例例2 袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的种子都可以得到下一代的120粒种子，到第粒种子，到第5代时大代时大约可以得到这个新品种的种子多少

16、粒（保留两位有约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有效数字）？效数字）？由于每代的种子数是它的前一代种子数的由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，倍，因此，逐代的种子数组成等比数列，记为因此，逐代的种子数组成等比数列，记为 na5,120,1201nqa其中155120120a因此10105 . 2答：到第答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子代大约可以得到这种新品种的种子2.51010粒粒.解：解：巩固巩固 应用应用练一练练一练某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（一个分裂为两个），经过小时，这种细菌由一（一个分裂为两个），经过小时

17、，这种细菌由一个可繁殖成个可繁殖成_个？个？42.已知等比数列的通项公式已知等比数列的通项公式 ，求首项为，求首项为（）公比为（）。（）公比为（）。nna10412563.在等比数列中，已知首项为在等比数列中，已知首项为 ，末项为，末项为 ，公比，公比为为 ，则项数，则项数 等于（）等于（）893132n2510数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列定义式定义式公差（比）公差（比）定义变形定义变形 通项公式通项公式 一般形式一般形式 an+1-an=dqaann1d 叫叫公差公差q叫叫公比公比 an+1=an+d an+1=an q an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-m归纳：归纳：例题讲解例题讲解例例 已知已知anbn是项数相同的等比数是项数相同的等比数列，试证列，试证anbn是等比数列是等比数列. 变形变形1：已知已知an、bn为等比数列，为等比数列，c是非零常是非零常数，则数，则can、an+c、an+bn