正态总体方差的假设检验

1、第三节 正态总体方差的假设检验一、单个总体一、单个总体的情况的情况二、两个总体的情况二、两个总体的情况三、小结三、小结一、单个总体 的情况),(2 N , , ),( 22均均为为未未知知设设总总体体 NX , : , : 20212020 HH(1) 要求检验假设要求检验假设: , ,21的样本的样本为来自总体为来自总体 XXXXn . 0为为已已知知常常数数其其中中 , 22的无偏估计的无偏估计是是由于由于 S , 0为真时为真时当当H 1,1 ,1 202或或过过分分小小于于不不应应过过分分大大于于附附近近摆摆动动在在比比值值 s , 设显著水平为设显著水平为根据根据第六章第六章2, )

2、,1()1( ,22020 nSnH 为真时为真时当当 , )1( 2022作作为为统统计计量量取取 Sn , )1()1( 22021202kSnkSn 或或拒拒绝绝域域的的形形式式 :21的值由下式确定的值由下式确定和和此处此处kk , 00HHP拒绝拒绝为真为真.)1( )1(2202120220 kSnkSnP指它们的和集指它们的和集为了计算方便为了计算方便, 习惯上取习惯上取,2 )1(120220 kSnP,2 )1(220220 kSnP . )1( , )1( 22/222/11 nknk 故故得得拒绝域为拒绝域为: )1( 202 sn)1(22/1 n )1( 202 sn

3、或或. )1(22/ n (2)单边检验问题的拒绝域单边检验问题的拒绝域 ) ( 设显著水平为设显著水平为 , : , : 20212020 HH右边假设检验右边假设检验: , 2120要要小小中中的的都都比比中中的的全全部部因因为为 HH , , 221往往往往偏偏大大的的观观察察值值为为真真时时当当sSH拒绝域的形式为拒绝域的形式为:.2ks :的的值值由由下下式式确确定定此此处处 k , 00HHP拒拒绝绝为为真真2202kSP )1()1(20202202 knSnP) (. )1()1(2022022202 因为因为knSnP, , 00 HHP拒拒绝绝为为真真要要使使. )1()1

4、( 2022202 knSnP只只需需令令),1()1( 222 nSn 因因为为, )1()1(220 nkn 所以所以),1(1 220 nnk 故故),1(12202 nns 右边检验问题的拒绝域为右边检验问题的拒绝域为).1()1( 22022 nsn 即即同理左边检验问题同理左边检验问题: , : , : 20212020 HH拒绝域为拒绝域为).1()1(212022 nsn . 2检验法检验法上述检验法称为上述检验法称为 解解 ,5000:,5000: 2120 HH要检验假设要检验假设,26 n,02. 0 ,500020 ,314.44)25()1(201. 022/ n)0

5、2. 0( 例例1 某厂生产的某种型号的电池某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以其寿命长期以来服从方差来服从方差 =5000 (小时小时2) 的正态分布的正态分布, 现有一现有一批这种电池批这种电池, 从它生产情况来看从它生产情况来看, 寿命的波动性有寿命的波动性有所变化所变化. 现随机的取现随机的取26只电池只电池, 测出其寿命的样本测出其寿命的样本方差方差 =9200(小时小时2). 问根据这一数据能否推断问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?2 2s,524.11)25()1(299. 022/1 n )1( 20

6、2 sn,524.11拒绝域为拒绝域为: )1( 202 sn或或. 4.3144 465000920025)1( 202 sn因为因为 , 4.3144 , 0H所以拒绝所以拒绝 认为这批电池的寿命的波动性较以往的有认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化显著的变化.例例2 (续第八章第二节例续第八章第二节例1)如果只假设切割长度如果只假设切割长度服从正态分布服从正态分布, 问该机切割的金属棒长度的标准问该机切割的金属棒长度的标准差有无显著变化差有无显著变化?)05. 0( 解解 , , ),( 22均均为为未未知知因因为为总总体体 NX ,15. 0:,15. 0: 10 HH要要检

7、检验验假假设设,15 n,48.10 x,05. 0 ,0225. 0:,0225. 0: 2120 HH即即,056. 02 s )1( 202 sn 因因为为 ,844. 430225. 0056. 014 查表得查表得,629. 5)14()1(2975. 022/1 n,119.26)14()1(2025. 022/ n0225. 0056. 014)1( 202 sn于于是是 ,0H所所以以拒拒绝绝认为该机切割的金属棒长度的标准差有显著变化认为该机切割的金属棒长度的标准差有显著变化. ,119.26844. 43 例例3 某厂生产的铜丝的折断力指标服从正态分某厂生产的铜丝的折断力指标

8、服从正态分布布, 现随机抽取现随机抽取9根根, 检查其折断力检查其折断力, 测得数据如下测得数据如下(单位单位:千克千克): 289, 268, 285, 284, 286, 285, 286, 298, 292. 问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力的方问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力的方差为差为20?解解 ,20:,20: 2120 HH按按题题意意要要检检验验, 9 n,89.287 x,36.202 s查表得查表得)05. 0( ,18. 2)8(2975. 0 , 5 .17)8(2025. 0 ,14. 82036.208)1( 202 sn于于是是 , 5 .1714. 818.

9、 2 , 0H故接受故接受认为该厂生产铜丝的折断力的方差为认为该厂生产铜丝的折断力的方差为20.解解 , 1 . 0:, 1 . 0: 2120 HH要检验假设要检验假设,25 n,415.36)24(205. 0 4 .471 . 01975. 024)1( 202 sn因为因为,415.36 ,0H所所以以拒拒绝绝认为该车床生产的产品没有达到所要求的精度认为该车床生产的产品没有达到所要求的精度. 例例4 某自动车床生产的产品尺寸服从某自动车床生产的产品尺寸服从正态分布正态分布,按规定产品尺寸的按规定产品尺寸的方差方差 不得超过不得超过0.1, 为检验该为检验该自动车床的工作精度自动车床的工

10、作精度, 随机的取随机的取25件产品件产品, 测得样测得样本方差本方差 s2=0.1975, . 问该车床生产的产品问该车床生产的产品是否达到所要求的精度是否达到所要求的精度?2 86. 3 x)05. 0( 二、两个总体 的情况),(),(222211 NN,),( , 21121的的样样本本为为来来自自正正态态总总体体设设 NXXXn , 222121均均为为未未知知又又设设 , : , : 2221122210 HH需要检验假设需要检验假设: ,),(,22221的的样样本本为为来来自自正正态态总总体体 NYYYn ., ,2221SS其其样样本本方方差差为为且且设设两两样样本本独独立立

11、 , 0为真时为真时当当H),()(22222121SESE , 1为真时为真时当当H),()(22222121SESE , 1为真时为真时当当H , 2221有有偏偏大大的的趋趋势势观观察察值值SS, 2221kss 故故拒拒绝绝域域的的形形式式为为 :的的值值由由下下式式确确定定此此处处 k , 00HHP拒拒绝绝为为真真 kSSP22212221 )1 (,2221222122212221 因因为为kSSP, , 00 HHP拒拒绝绝为为真真要要使使. 222122212221 kSSP只只需需令令).1, 1(2122212221 nnFSS 定理四定理四根据根据第六章第六章2定理四定

12、理四知知).1, 1(212221 nnFssF 检验问题的拒绝域为检验问题的拒绝域为上述检验法称为上述检验法称为 F 检验法检验法.).1, 1( 21 nnFk即即试对第八章第二节例试对第八章第二节例4中的数据检验假设中的数据检验假设 . : , :2221122210 HH)01. 0 ( 取取解解,1021 nn拒绝域见表拒绝域见表 8.1. 2221 ss)110, 110( 005. 0 F54. 6 2221 ss或或)110, 110( 005. 01 F)9, 9(1005. 0F ,153. 054. 61 附表附表8-1例例5 2.225,3.325, 2221 ss因因

13、为为,49. 1 2221 ss所以所以,54. 649. 10.153 2221 ss , 0H故接受故接受认为两总体方差相等认为两总体方差相等.两总体方差相等也称两总体具有两总体方差相等也称两总体具有方差齐性方差齐性. 试对第七章第五节例试对第七章第五节例9中的数据检验假设中的数据检验假设 . : , : 2221122210 HH)1 . 0 ( 取取解解,13,1821 nn拒绝域见表拒绝域见表 8.2. )1, 1(21nnF )113, 118(1 . 0 F,96. 1 1.96, 2221 ss拒绝域为拒绝域为 0.29,0.34, 2221 ss因因为为1.172221 ss

14、1.96, , 0H故接受故接受认为两总体具有方差齐性认为两总体具有方差齐性.附表附表8-2例例6例例7 两台车床加工同一零件两台车床加工同一零件, 分别取分别取6件和件和9件测件测量直径量直径, 得得: 假定零件直径假定零件直径服从正态分布服从正态分布, 能否据此断定能否据此断定 0.357.0.345,22 yxss.22yx )05. 0( 解解本题为方差齐性检验本题为方差齐性检验:.:,:221220yxyxHH 22yxssF 取取统统计计量量,82. 4)8, 5(025. 0 F,9644. 0357. 0345. 0 ,148. 0)8, 5(975. 0 F,82. 4148

15、. 0 F , 0H故接受故接受.22yx 认为认为例例8 分别用两个不同的计算机系统检索分别用两个不同的计算机系统检索10个资料个资料, 测得平均检索时间及方差测得平均检索时间及方差(单位单位:秒秒)如下如下:解解,21. 1,67. 2,179. 3,097. 322 yxssyx假定假定检索时间服从正态分布检索时间服从正态分布, 问这两系统检索资问这两系统检索资料有无明显差别料有无明显差别? 根据题中条件根据题中条件, 首先应检验方差的齐性首先应检验方差的齐性.:,: 221220yxyxHH 假设假设,03. 4)9, 9(025. 0 F,248. 0)9, 9(975. 0 F 2

16、2yxssF 取取统统计计量量,12. 221. 167. 2 )05. 0( ,03. 412. 2248. 0 F , 0H故接受故接受.22yx 认为认为 , yx 再再验验证证.:,: 10yxyxHH 假假设设,11 21nnSYXtw 取统计量取统计量.2)1()1( 212222112 nnSnSnSw其其中中 ,0为真时为真时当当H).2(21 nntt,101 n,102 n,101. 2)18(05. 0 t2111 nnSYXtw 因为因为10218)21. 167. 2(10179. 2097. 3 436. 1 ,101. 2 , 0H故接受故接受认为两系统检索资料时

17、间无明显差别认为两系统检索资料时间无明显差别.三、小结正态总体均值、方差的检验法见下表正态总体均值、方差的检验法见下表) ( 显著性水平为显著性水平为 ; . 12检检验验法法验验法法单单个个正正态态总总体体方方差差的的检检 ; . 2检验法检验法验法验法两个正态总体方差的检两个正态总体方差的检F 1 2 3 40H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz) 1() 1() 1(2/nttnttntt2/zzzzzz)(22221212121未知000) 1()

18、2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2() 1(1121222211221nnSnSnSnnSYXtww5670H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(202202202未知),(21222122212221未知)(000成对数据DDD2022) 1(Sn2221SSF nSDtD/0202202202222122212221000DDD) 1() 1() 1() 1(22/1222/221222nnnn或) 1, 1() 1, 1() 1, 1() 1, 1(212/1212/21121nnFFnnFFnnFFnnFF或) 1() 1() 1(2/nttnttntt附表8-10H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(202202202未知),(21222122212221未知)(000成对数据DDD2022) 1(Sn2221SSF nSDtD/0202202202222122212221000DDD) 1() 1() 1() 1(22/1222/221222nnnn或) 1, 1() 1, 1() 1, 1() 1, 1(212/1212/21121nnFFnnFFnnFFnnFF或)