正定二次型及正定矩阵

1、中南财经政法大学信息系中南财经政法大学信息系第六章第六章 二次型二次型一、正一、正(负负)定二次型的概念定二次型的概念定义定义6.6 具有实对称矩阵具有实对称矩阵A的的n元二次型为元二次型为 TfXX AX 如果对于任意的非零向量如果对于任意的非零向量 ，都有，都有 （或（或如果对于任意非零向量如果对于任意非零向量 ，都有，都有 （或（或 ）成立，并且存在某向量）成立，并且存在某向量X0,使得使得 那么称二次型为那么称二次型为半正定半正定（半负定）二次型，（半负定）二次型，A为为半正定（半负定）矩阵。半正定（半负定）矩阵。 X0TX AX 0 000,TX AX 3）如果对某向量）如果对某向量

2、 ，有，有 ，而对另一，而对另一向量向量 ，有，有 ，则称该二次型为不定，则称该二次型为不定二次型。矩阵二次型。矩阵A称为不定矩阵。称为不定矩阵。1X110TXAX 2X220TXAX 为正定二次型为正定二次型23222132164,)1(xxxxxxf 例如例如为正定矩阵。为正定矩阵。 600040001 为半正定二次型为半正定二次型232221432164,)2(xxxxxxxf 为半正定矩阵为半正定矩阵 0641 为为负负定定矩矩阵阵。为为负负定定二二次次型型 313,)3(222121xxxxf 为半负定矩阵。为半负定矩阵。为半负定二次型为半负定二次型 0313,)4(2221321x

3、xxxxf 为为不不定定矩矩阵阵。为为不不定定二二次次型型 313,)5(222121xxxxfiiiiiiAAni 特特征征向向量量，则则的的为为对对应应于于的的特特征征值值，为为假假设设),2 , 1(iTiiiTiA ，正定知正定知，由，由特征向量特征向量0iTiiAA 0 0即即iTii n),1,2,(i 0 i 准则准则1 1 对称矩阵对称矩阵A A为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是： A A的的特征值全为正特征值全为正 二、正二、正(负负)定二次型的判别定二次型的判别证明证明 必要性必要性充分性充分性),(,),2 , 1(021nTidiagAPPPnAni 其中其

4、中，使得，使得交矩阵交矩阵个特征值，则存在正个特征值，则存在正的的为为假设假设)()()(1111xPxPxPPxAxxxTTTT 对对于于任任意意非非零零向向量量为非零向量为非零向量则则）（设设yyyyxPyTn,211 02222211 nnTTyyyyyAxx 为为正正定定矩矩阵阵。A推论推论1 n1 n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指元实二次型正定的充要条件是其正惯性指数为数为n.n. .)3(21的的标标准准型型的的系系数数全全为为负负；）其其负负惯惯性性指指数数为为（的的特特征征值值全全为为负负；）（列列之之一一：为为负负定定的的充充要要条条件件是是下下实实二二次次型型AnAA

5、xxfT 对对负定矩阵负定矩阵也有类似结论：也有类似结论：正正。它它的的标标准准型型的的系系数数全全为为为为正正定定的的充充要要条条件件是是实实二二次次型型推推论论AxxfT 2准则二准则二 实对称矩阵实对称矩阵A A正定的充分必要条件为正定的充分必要条件为A A合同于单合同于单位阵位阵E.E.证明证明: 若二次型正定若二次型正定,则则A的特征值全部为正的特征值全部为正 nTiAPPPnAni 21),2 , 1(0，使得，使得则存在正交矩阵则存在正交矩阵个特征值，个特征值，的的为为假设假设，则，则设设 nQ 11121 APQPQQQTTTEnnn 111111212121与单位阵合同。与单

6、位阵合同。所以所以则则设设AEACCPQCT, 推论推论1 1 对称矩阵为正定矩阵的充要条件是其存对称矩阵为正定矩阵的充要条件是其存在可逆矩阵在可逆矩阵C C 使得使得A=CA=CT TC.C.)()(CxCxCxCxAxxTTTT 若若A与单位阵合同，则存在可逆矩阵与单位阵合同，则存在可逆矩阵C,使使A= CTEC= CTC，则对于非零向量则对于非零向量x正定。正定。所以所以，则，则故故可逆，可逆，fCxCxCxxCT0)()(0, 0 推论推论2 2 对称矩阵为正定矩阵，则对称矩阵为正定矩阵，则A A的对角线上的对角线上的元素均大于零。的元素均大于零。, 011 a, 022211211

7、aaaa,; 01111 nnnnaaaa ., 2 , 1, 011111nraaaarrrrr 准则准则3 3 对称矩阵对称矩阵 为为正定正定的充分必要条件是：的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即的各阶主子式为正，即AA对称矩阵对称矩阵 为为负定负定的充分必要条件是：奇数阶主的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即子式为负，而偶数阶主子式为正，即A例例1 1 判别二次型判别二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解 的的矩矩阵阵为为321,xxxf,524212425 它的顺序主子式它的顺序主子式, 05 , 0

8、11225 , 01524212425 故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例2 2 判别二次型判别二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为,502040202 A用用特征值判别法特征值判别法.0 AE 令令. 6, 4, 1321 故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，A例例3 3 判别二次型判别二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性.解解的矩阵为的矩阵为f, 0511 a, 026622522211211 aaaa, 080 A.3为负定知根据定理f,4

9、02062225 At例例4 4 当当 取何值时，实二次型取何值时，实二次型32312123222132142232),(xxxxxtxxxxxxxf是正定二次型是正定二次型 解解 实二次型的矩阵为实二次型的矩阵为3212211ttA为了使为了使 ),(321xxxf为正定二次型，为正定二次型， 式都应大于零，即式都应大于零，即 的各阶顺序主子的各阶顺序主子A0221, 01221tttdd31111|2222201232320ttdAtttt2222(34 )0.232ttttt 由 0)43(022ttt可得 034t， 于是当 430t时， 二次型 ),(321xxxf为正定例例5 5设

10、设U为可逆矩阵为可逆矩阵,UUAT证明证明AXXfT是正定二次型是正定二次型.证证显然显然, AAT即即.实对称A令令,YUX则则,YY)UX()UX(UXUXAXXfTTTTT对任意对任意,0X 因因U可逆可逆, 所以所以, 0Y 故故, 0yyyYYf2n2221T即即AXXfT是正定二次型是正定二次型.正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质;,. 11定定矩矩阵阵均均为为正正则则为为正正定定实实对对称称阵阵设设kAAAA TA, ., . 2 矩矩阵阵也也是是正正定定则则阶阶正正定定矩矩阵阵均均为为若若BAnBA 是是正正定定矩矩阵阵一一定定矩矩阵阵，可可逆逆，但但不不

11、注注意意：若若，为为正正定定 2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法；定义法；(3)(3)顺次主子式判别法；顺次主子式判别法；(2)(2)特征值判别法特征值判别法.1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法，请大）相应的判别方法，请大家自己推导家自己推导三、小结三、小结.00, 是是否否为为正正定定矩矩阵阵矩矩阵阵试试判判定定分分块块阶阶正正定定矩矩阵阵阶阶分分别别为为设设 BA