第二节二重积分的计算

1、1利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分double integral第二节第二节 二重积分二重积分的计算法的计算法2本节介绍计算二重积分的方法本节介绍计算二重积分的方法:二重积分化为二重积分化为累次积分累次积分( (即两次定积分即两次定积分).).二重积分的计算法二重积分的计算法3(1) 积分区域积分区域为：为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy aDX型型,ba在区间在区间 上连续上连续.二重积分的计算法二重积分的计算法一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标

2、系计算二重积分xOyxOy)(1xy )(2xy Dba4的的值值等等于于)0),(d),( yxfyxfD 计算截面面积计算截面面积),(yxfz ( 红色部分即红色部分即A(x0) )二重积分的计算法二重积分的计算法以以D为底为底,以曲面以曲面为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积.应用计算应用计算“平平行截面面积为行截面面积为已知的立体求已知的立体求体积体积”的方法的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法用二重积分的几何意义说明其计算法是区间是区间)(),(0201xx 为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形.),(0yxfz 为底为底,曲线曲线 xyzO),(yxfz D)(2xy )(0

3、 xAab)(1xy 0 x5是区间是区间 为底为底,)(),(0201xx 曲线曲线 为曲边为曲边 的曲边梯形的曲边梯形.),(0yxfz )(01x ,bax yyxfxAxxd),()()()(21 有有: DyxfV d),( baxxAd)(xbad 二重积分的计算法二重积分的计算法)d),()()(21 xxyyxf )(02x yyxfxAd),()(00 先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分称为称为累次积分累次积分. . Dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d )(0 xAxyzO),(yxfz D)(2xy ab)(1xy 0 x6(2) 积分区域积

4、分区域为：为：,dyc )()(21yxy D)(2yx cd)(1yx Y型型 Dyxf d),(先对先对x后对后对y的二次积分的二次积分也即也即 dcyyxyxfy)()(21d),(d Dyxf d),(二重积分的计算法二重积分的计算法其中函数其中函数 、)(1y )(2y ,dc在区间在区间 上连续上连续.xOyxOyD)(2yx cd)(1yx dcyd)d),( xyxf)(1y )(2y 7其中其中D为圆域为圆域.222Ryx DyxR d222将二重积分将二重积分写成二次积分，写成二次积分，解解 222yxRz 是被积函数，是被积函数，D是是X型区域：型区域：RR DxOy)(

5、2xy )(1xy ,RxR ,)(221xRx ,)(222xRx ),()(21xyx DyxR d222xRRd 2222d222xRxRyyxR8222yxRz 是被积函数，是被积函数，D是是Y型区域：型区域：RR DxOy)(2xy )(1yx ,RyR ,)(221yRy ,)(222yRy ),()(21yxy DyxR d222yRRd 2222d222yRyRxyxR积分区域：积分区域：9特殊地特殊地 Dbadcyyxfxyxfd),(dd),( 如如D是上述矩形域是上述矩形域, )()(),(21yfxfyxf 且且得得 yxyfxfDdd)()(21即等于两个定积分的乘积

6、即等于两个定积分的乘积.注注D为矩形域为矩形域:则则则则axb,cyd baxxfd)(1yyfdcd)(2 二重积分的计算法二重积分的计算法 yyfxfdcd)()(21 xd) ba(xd) badcxyxfyd),(d ba()(1xfyyfdcd)(2 10穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线轴的直线穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直线轴的直线X型区域的特点型区域的特点:Y型区域的特点型区域的特点:与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.二重积分的计算法二重积分的计算法11abdc 计算结果一样计算

7、结果一样.又是又是Y型型:(3)积分区域积分区域D既是既是X型型:, bxa )()(21xyx , dyc )()(21yxy 但可作出但可作出适当选择适当选择.xyO12(4) 若区域如图若区域如图,在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式. D(用积分区域的可加性质用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是都是X型区域型区域则则必须分割必须分割. 321DDD二重积分的计算法二重积分的计算法xyO3D2D1D13xyO例例解解 Dyxyxdd)(2xxxxxxd)(21)(42102 .14033 积分域既是积分域既是X型又是型又是Y型型 22xyyx y

8、yxd)(2 10dx法一法一)0 , 0(),1 , 1(所围平面闭区域所围平面闭区域.和和是是抛抛物物线线其其中中求求22,dd)(xyDyxyxD 2yx 两曲线的交点两曲线的交点2xx二重积分的计算法二重积分的计算法2xy 2yx )1 , 1( 14先对先对x后对后对y的积分的积分 Dyxyxdd)(214033 10dy法二法二 xyxd)(22yy二重积分的计算法二重积分的计算法 Dyxyxdd)(2xyO2xy 2yx )1 , 1( 15例例yyxxdsind1012 siny2 对对y的积分的积分而它对而它对x的积分的积分交换积分次序交换积分次序的方法是的方法是:改写改写D

9、为为:oxy 分析分析所以将所以将二次积分二次积分先先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2) 画出积分域的草图画出积分域的草图(3)计算二次积分计算二次积分不能用基本积分法算出不能用基本积分法算出,xy )1 , 1(可用基本积分法算出可用基本积分法算出.交换积分次序交换积分次序. .用联立不等式表示用联立不等式表示 D:, 10 x1 yx, 10 yyx 0二重积分的计算法二重积分的计算法16yyxxdsind1012 yxyyd)(sin0102 yyydsin102 2102dsin21yy )1cos1(21 xyydsin02 10dyoxyxy )1 , 1(, 10: yDy

10、x 0二重积分的计算法二重积分的计算法17计算二重积分计算二重积分,ddsin Dyxyy2, :yxxyD Dyxyyddsin围成围成.xyO2yx )1 , 1( xy 解解 积分区域积分区域: 10dyy xyydsin 2y 102dsin)(yyyyy1sin1 18例例 交换积分次序：交换积分次序：解解 积分区域积分区域: xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式原式= 10dyy 2 xyxfd),(211y 二重积分的计算法二重积分的计算法22xxy xy 2xyO1219例例axy2 22xaxy 22yaax 解解原式原式= xyxfd),(交

11、换积分次序：交换积分次序： axxaxayyxfx22202d),(d)0( a yday22xyxfd),( 22yaa 0aa222yaa yd0a xyxfd),( yda2ay22a2a二重积分的计算法二重积分的计算法xyOaa2aa2ayx22 20交换积分次序的步骤交换积分次序的步骤 (1) 将已给的二次积分的积分限得出相将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域应的二重积分的积分区域,(2) 按相反顺序写出相应的二次积分按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图并画出草图;二重积分的计算法二重积分的计算法211990 年研究生考题年研究生考题, 填空填空, 3分分)(dd

12、2202 yexxy)1(214 exy xoy22解解yexxydd2202 xeyyydd0202 yyeyd202 )(d212202yey )1(214 e二重积分的计算法二重积分的计算法交换积分次序交换积分次序 200d2yxeyy22又是能否进行计算的问题又是能否进行计算的问题. .计算二重积分时计算二重积分时, , 恰当的选取积分次序恰当的选取积分次序十分重要十分重要, , 它不仅涉及到计算繁简问题它不仅涉及到计算繁简问题, , 而且而且凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分: :,dsinxxx ,d2xex ,lnd xx等等等等, ,一定要放在一定要放在后面积分后面积分. .,d

13、sin2xx ,dcos2xx ,d2xex ,dxexy 二重积分的计算法二重积分的计算法23例例 求证求证 axaxxfxayyfx000d)()(d)(d 左边的累次积分中左边的累次积分中,积分域积分域可表为可表为提示提示 xayyfx00d)(d ayaxyfyd)(d0 ayyfya0d)()( axxfxa0d)()(定积分与积分变量的记法无关定积分与积分变量的记法无关不能具体计算不能具体计算.所以所以,)(yf是是y的抽象函数的抽象函数,)0( a,0ax xy 0,0ay axy aayyxyf0d)(证毕证毕.先交换积分次序先交换积分次序. .二重积分的计算法二重积分的计算法

14、axyOa),(aa 24例例 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程且这两个圆柱面的方程分别为分别为 及及222Ryx .222Rzx 解解 d DyxRd22 332R 313168RVV d),(1 DyxfV22xRy 222Rzx 立立体体顶顶部部222Ryx 立立体体底底部部求所围成的求所围成的立体的体积立体的体积.xoyzoxyDR22xR 22xR 0 xd0R二重积分的计算法二重积分的计算法22xRz 曲曲顶顶25二重积分的计算法二重积分的计算法2002 年研究生考题年研究生考题, 7分分计算二重积分计算二重积分,dd,max22 Dyxyxe其中其中.10

15、 , 10),( yxyxDxyO 解解 112D1D设设, 10),( 1 xyxDxy 0, 10),( 2 xyxD1 yx Dyxyxedd,max22 122dd,maxDyxyxe 222dd,maxDyxyxe 12ddDxyxe 22ddDyyxe xxyex010dd2 yyxey010dd2. 1 e xxyex010)dd2(2或或26 在平面内取一个定点在平面内取一个定点O， 叫叫极点极点，引一条射线，引一条射线Ox，叫做，叫做极轴极轴，再选定一个再选定一个长度单位长度单位和角度的和角度的正正方向方向(通常取逆时针方向通常取逆时针方向)。极坐标极坐标 rM xO 对于平

16、面内任何一点对于平面内任何一点M，用，用 r表示线段表示线段OM的长度，的长度，表示从表示从Ox到到OM的角度的角度. r叫做点叫做点M的的极径极径，叫做点叫做点M的的极角极角，有序，有序数对数对 (r,)就叫点就叫点M的的极坐标极坐标，这样建立的坐标系，这样建立的坐标系叫做极坐标系。叫做极坐标系。)0( r27极坐标与直角坐标的关系极坐标与直角坐标的关系为为y r),( yxM xO为常数为常数r为常数为常数 在坐标系在坐标系中中原点为圆心的原点为圆心的圆圆；过原点的过原点的射线射线,sin ry ,cos rx 28二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分i ii OxDi

17、 ii i i iiiiii iiniiDfyxf ),(limd),(10),(ii 在极坐标系下：在极坐标系下：,cosiii ,siniii 29iiinif ),(lim10即即 Dyxf d),( Dyxyxfdd),(也即也即 dd极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素 Df dd)sin,cos( Df dd)sin,cos( nif1(,cosii iii )sinii 0lim 二重积分的计算法二重积分的计算法30 )(1 )(2 Df dd)sin,cos(1) 积分区域积分区域D:, )()(21 AO)(1 )(2 D d)(1 d)sin,cos(f)(2 二重积分

18、的计算法二重积分的计算法OAD31D )(0d)sin,cos(d f(2)积分区域积分区域D(曲边扇形曲边扇形):, )(0 Df dd)sin,cos(AOAO 二重积分的计算法二重积分的计算法D )( )( 32 Df dd)sin,cos( )(020d)sin,cos(d f极坐标系极坐标系下区域的下区域的面积面积 D dd(3) 积分区域积分区域D:,20 )(0 DoA)( 注注一般一般,在极坐标系下计算在极坐标系下计算:积积分分再再对对先先对对 二重积分的计算法二重积分的计算法33解解 sincosyx Dyxyxfdd),( d)sin,cos(df例例 写出积分写出积分的的

19、极坐标二次积分极坐标二次积分 Dyxyxfdd),(其中积分区域其中积分区域形式形式,10 ,11),(2 xxyxyxD在极坐标系下在极坐标系下圆方程为圆方程为1 直线方程为直线方程为 sincos1 1 cossin1 02 二重积分的计算法二重积分的计算法yxO11122 yx1 yxD34解解yxeDyxdd22 ae020dd2 )1(2ae a例例 计算计算,dd22yxeDyx 其中其中D是由中心在原点是由中心在原点,半径为半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下在极坐标系下:D,20 a 0二重积分的计算法二重积分的计算法xOy35R2解解0, 0,| )

20、,(2221 yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222 yxRyxyxD0 ,0| ),(RyRxyxS 022 yxe Syxyxedd22 222ddDyxyxe求反常积分求反常积分.d02xex 例例显然有显然有21DSD 二重积分的计算法二重积分的计算法 122ddDyxyxeR1DS2DyxO36 Rxxe0d220)d(2 Rxxe)1(2Re yxeDyxdd22 )1(2ae 222:ayxD 又又yxeISyxdd22 yxeIDyxdd1221 yxeIDyxdd2222 )1(422Re 4 Ryye0d2 二重积分的计算法二重积分的计算法0, 0,| ),(222

21、1 yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222 yxRyxyxD对称性对称性质质0 ,0| ),(RyRxyxS 37,41 I42 I,4 I21III )1(4)d()1(4222220RRxRexee 概率积分概率积分夹逼定理夹逼定理,时时当当 R,时时故故当当 R即即4)d(202 xex所求反常积分所求反常积分2d02 xex),1(421ReI )1(4222ReI ,)d(202 RxxeI二重积分的计算法二重积分的计算法3803 yx解解32 61 sin4 sin2 yxyxDdd)(22 dd2)834(15 03 xy计算计算,dd)(22yxyxD 为为由由圆圆其其

22、中中D所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.例例yyxyyx4,22222 及直线及直线, 03 yx03 xy sin4 sin26 3 二重积分的计算法二重积分的计算法xOyyyx222 yyx422 39解解)(2)(222222yxayx 222ayx 双纽线双纽线求曲线求曲线)0()(2)(222222 ayxayx222ayx 和和所围成的图形的面积所围成的图形的面积.例例根据对称性有根据对称性有14DD 在极坐标系下在极坐标系下1Da 2cos2a 二重积分的计算法二重积分的计算法xyO由由 aa 2cos2得交点得交点)6,( aA yxdd)33(2 a Dyxdd 2cos

23、20dd46aa41D面积面积A40将将直角坐标系直角坐标系下累次积分下累次积分: 22240214110d),(dd),(dxxxyyxfxyyxfx化为化为极坐标系极坐标系下的下的累次积分累次积分.oxy解解 2120d)sin,cos(df原式原式=2 r21 r1二重积分的计算法二重积分的计算法411994年研究生考题年研究生考题, 填空填空, 3分分yxbyaxRyxDDdd,2222222 则则为为圆圆域域设设)( yxbyaxDdd2222 解解 dsincosd20222220 Rba 2241141baR 极坐标极坐标二重积分的计算法二重积分的计算法424 计算计算16:22

24、 yxD因被积函数因被积函数422 yx4:221 yxD164:222 yxDD2 d)4(221yxID d)4(222 yxD极坐标极坐标 d|4|22 DyxI例例分析分析故故 80 422 yx的的在积分域内变号在积分域内变号.2xoyD1二重积分的计算法二重积分的计算法43 计算计算,dd|)|(| Dyxyx0, 1|:| xyxD解解 积分区域积分区域D关于关于x轴对称轴对称,被积函数关于被积函数关于y为偶函数为偶函数.原式原式=记记D1为为D的的y0的部分的部分. yxyxdd|)|(| 1dd)(2Dyxxy xyxyx1001d)(d2则则21D32 xyoD111 1

25、yx1 1 yx二重积分的计算法二重积分的计算法44 二重积分的计算规律二重积分的计算规律再确定交换积分次再确定交换积分次1. 交换积分次序交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域先依给定的积分次序写出积分域D的的不等式不等式, 并画并画D的草图的草图;序后的积分限序后的积分限;2. 如被积函数为如被积函数为圆环域时圆环域时,或积分域为或积分域为),(22yxf ),(22yxf ),(xyf)(arctanxyf圆域、扇形域、圆域、扇形域、则用极坐标计算则用极坐标计算;二重积分的计算法二重积分的计算法45 3. 注意利用对称性质注意利用对称性质,数中的绝对值符号数中的绝对值符号.以便简化计

26、算以便简化计算;4. 被积函数中含有绝对值符号时被积函数中含有绝对值符号时, 应应将积分域分割成几个子域将积分域分割成几个子域, 使被积函数在使被积函数在每个子域中保持同一符号每个子域中保持同一符号, 以消除被积函以消除被积函二重积分的计算法二重积分的计算法46例例 计算计算,d)1(2322 DyxyI10 , 10: yxD 分析分析 从被积函数看从被积函数看,用极坐标系要简单些用极坐标系要简单些,但从积分域但从积分域D的形状看的形状看为宜为宜.用却又以直角坐标系用却又以直角坐标系在两者不可兼得的情况下在两者不可兼得的情况下,应以应以D的形状的形状来决定用什么坐标系来决定用什么坐标系,此题

27、用直角坐标系此题用直角坐标系.xyo)1 , 0()0 , 1(D二重积分的计算法二重积分的计算法47 101021 d)1(2322 DyxyIxyxd11101022 xxxd)1121(2102 3122ln 二重积分的计算法二重积分的计算法xyo)1 , 0()0 , 1(xd232222)1()1(dyxyx 48计算二重积分计算二重积分,dd)sin(22)(22 DyxyxyxeI 二重积分的计算法二重积分的计算法2003年研究生考题年研究生考题(数学三、四数学三、四)计算计算, 8分分其中积分区域其中积分区域.),( 22 yxyxD答案答案).1(2 eI 49二重积分的计算法二重积分的计算法2003年研究生考题年研究生考题(数学三、四数学三、四)填空填空, 4分分 , 0, 10,)()(, 0其其它它若若设设xaxgxfa而而D表示全平面表示全平面,则则).(dd)()( DyxxygxfI2a50二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角