矩阵定义及运算(p)

1、本章引入矩阵的概念及其运算本章引入矩阵的概念及其运算, 讨论它们的基讨论它们的基 介绍常用的介绍常用的 本性质本性质, 包括广泛应用的可逆矩阵包括广泛应用的可逆矩阵; 矩阵分块法、矩阵的初等变换等矩阵分块法、矩阵的初等变换等. 第一节第一节 矩阵定义及其运算矩阵定义及其运算(36P) 一、一、 矩阵的概念矩阵的概念 二、二、 矩阵的运算矩阵的运算 四、四、 对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵 五、五、 小结小结 三、三、 方阵方阵 由由mn个数个数 njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为称为m 行行n 列列矩阵矩阵. .简

2、称简称 矩阵矩阵. .nm .m nA定义定义1也简记为也简记为ijm nAa.ijAa排成的排成的m行行n列的列的数表数表元素全是实数的矩阵称为元素全是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵.元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.ija12,nAa aa元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵,12bbBbm aa 对于给定的对于给定的n元线性方程组元线性方程组11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb它的系数构成的它的系数构成的 11121n21222nm1m2mnaaaaaaAaaa矩阵矩阵mn称为

3、方程组称为方程组(2)的的系数矩阵系数矩阵.它的系数及常数项构成的它的系数及常数项构成的11121n121222n2m1m2mnmaaabaaabBaaab称为方程组称为方程组(2)的的增广矩阵增广矩阵.1mn+()矩阵矩阵反之反之, 给定一个给定一个矩阵矩阵,1mn+()以前以前 n 列作为未列作为未知量系数知量系数,最后一列作为常数项就确定一个最后一列作为常数项就确定一个 n 元线性元线性方程组方程组.一一对应的关系一一对应的关系,因此因此,线性方程组线性方程组(2)与增广矩阵与增广矩阵B之间存在之间存在从而可用矩阵来研究线性方程组从而可用矩阵来研究线性方程组.矩阵与行列式的有何区别矩阵与

4、行列式的有何区别? ?矩阵与行列式有本质的区别矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个行列式是一个算式算式,它的行数与列数必须相同它的行数与列数必须相同, 一个数字行列式经过计算一个数字行列式经过计算而矩阵仅仅是一个而矩阵仅仅是一个数表数表,它的行数和列数它的行数和列数可求得其值可求得其值.可以不同可以不同.例例1之之个个变变量量与与个个变变量量mnyyymxxxn,2121间的关系式间的关系式 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay的的到到变变量量表表示示一一个个从从变变量量mnyyyxxx,2121线性变换线性变换.为为常常

5、数数其其中中ija定义定义2111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa,m nm nijijAaBb(1,2,;1,2,),im jnijijab111212122212nnmmmnbbbbbbBbbb定义定义3111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababCababab为为A与与B之和之和, 记为记为C=A+B.mn例例2 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 若若,ijm nAa() ABAB()则称则称ijm na()为为A的的负矩阵负矩阵,记为记为对同型矩

6、阵对同型矩阵A与与B, 规定减法为规定减法为A.易证易证, ,矩阵的加法运算满足下列规律矩阵的加法运算满足下列规律: : ;1ABBA ( (交换律交换律) ) .2CBACBA ( (结合律结合律) ) .AOA3 . AAO4()定义定义4 4111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa设有设有mn矩阵矩阵k 为一个数为一个数, ,则称下列则称下列mn矩阵矩阵111212122211nnmmmnkakakakakakaCkakaka为为数数k与矩阵与矩阵A的的数乘数乘, ,记为记为C=kA或或C=Ak.注意注意:矩阵的矩阵的数乘数乘与行列与行列式式的数乘的不同之处的数乘的不同之

7、处! != A(1)A() =( A); ;2AAA .3BABA 矩阵的加法与数乘运算合起来矩阵的加法与数乘运算合起来, ,统称为矩阵的统称为矩阵的（设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数） ,nm BA、( (结合律结合律) )( (分配律分配律) )线性运算线性运算. .易证易证, ,矩阵的数乘运算满足下列规律矩阵的数乘运算满足下列规律: :.AA(4)13.乘法乘法12,x x111 1122yb xb x引例引例设有两个线性关系式设有两个线性关系式若要求从若要求从到到(3)221 1222yb xb x331 1322yb xb x2211222233za ya ya y111112

8、2133za ya ya y(4)12,z z的线性关系的线性关系, ,可将可将(4)(4)式式代入代入(3)(3)式式, , 便得便得: :111213212223,aaaAaaa若分别以若分别以A , B , C , 代表线性关系式代表线性关系式(3),(4),(5)的系数矩阵的系数矩阵, ,即即(5)111221223132,bbB= bbbb11 11122113 3111 12122213 3221 11222123 3121 12222223 32a b +a b +a ba b +a b +a bC=a b +a b +a ba b +a b +a b111 1112 2113

9、31111 1212 2213 322()()za ba ba bxa ba ba bx(6)(6)221 11222123 31121 12222223 322()()za ba ba bxa ba ba bx定义定义51 1221nijijijinnjikkjkca ba ba ba b1,2,;1,2,im jl.ABC ,ijm nAaijn lBbijm lCc设设令令则称则称为矩阵为矩阵A与与B的乘积的乘积,记为记为则矩阵则矩阵C的的(i, j )元素恰好是矩阵元素恰好是矩阵A的第的第 i 行与矩阵行与矩阵B的第的第 j 列对应元素乘积之和列对应元素乘积之和, 称矩阵称矩阵C为矩阵

10、为矩阵A与与矩阵矩阵B的乘积的乘积.一般地一般地,定义矩阵的乘法如下定义矩阵的乘法如下:12jji1i2innjbbABaaab矩阵的乘法法则简称为矩阵的乘法法则简称为行乘列行乘列的法则的法则.等于等于B的行数的行数.乘积乘积AB的行数与列数分别等于的行数与列数分别等于A的的行数与行数与B的列数的列数,其其(i, j)元素是元素是A的第的第i行与行与B的第的第j列列对应元素乘积之和对应元素乘积之和.的前提是的前提是A的列数的列数矩阵矩阵A与与B可乘可乘(也称也称AB有意义有意义)例例3222263422142 C22 16 32 816设设 415003112101A 121113121430

11、B例例4 4?求求 AB .故故 121113121430415003112101ABC. 解解: ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）; 容易验证容易验证, ,矩阵的乘法运算满足下列规律矩阵的乘法运算满足下列规律: :注意注意:矩阵的乘法一般不满足交换律矩阵的乘法一般不满足交换律.例如例如123168597881321601112027589但但 106861985123321不存在不存在.例例5 设设 1111A 1111B则则,0000 AB

12、,2222 BA.BAAB 故故此时称此时称A , B为不可交换矩阵为不可交换矩阵.此例表明即使此例表明即使AB0,0,却可能有却可能有AB = 0.因此矩阵的乘法一般不满足因此矩阵的乘法一般不满足“消去律消去律”.即若即若AB = AC,A0,未必有未必有B = C.但也有例外，比如设但也有例外，比如设,2002 A,1111 B则有则有, AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 此时称此时称A , B为可交换矩阵为可交换矩阵.定义定义6 .A mn nm 4.转置转置将将 矩阵矩阵A的行列互换的行列互换, 得到的得到的 矩阵矩阵, 称为矩阵称为矩阵A的转置矩阵的转置矩阵, 记为记为

13、1,nnmmmnaaaaaaAaaa11122122212.mTmnaaaaaaAaaa112111222m21n2n即若即若 则则 矩阵的转置运算的性质矩阵的转置运算的性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB ,854221 A.TA142528例如例如 ,ijm nAa(),TTABTAB()TTB A,ijijablm 证证: 仅证仅证(4),(4),其余类似可证其余类似可证. . 设设 ,ijn lBb(), TijnAam(),Tijl nBb()其中其中 分别表示分别表示 的的(i, j)元素元素. . 则则 与与 均为均为 矩阵矩阵, , 由转置的

14、定义由转置的定义, , TAB()的的(i, j)元素元素 AB的的(j, i)元素元素, , 等于等于 即有即有 1,2, ;1,2,njkkik=a bil jm1()TTB A.TTTABB A()而而 1,2,1,2,i =l j =m(;)于是得到于是得到 证毕证毕. . 的的(i, j)元素为元素为 nnikkjkijkjkkik=kkb ab aa bn111例例5 5 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法117120423132201AB ,1013173140 .1031314170 TAB解法解法2 TTTABAB 213012131027

15、241.1031314170 三、方阵三、方阵1. 对角阵与单位阵对角阵与单位阵 naaAa12000000naaAa12定义定义7 称称 n 阶方阵阶方阵 为为 n 阶对角阵阶对角阵,简记为简记为 或或 ,nAa aa12diag().当对角元当对角元 nI , ,nI111全为全为1 时时,称为称为n阶单位阵阶单位阵, 记为记为 即有即有 显然显然,对一矩阵对一矩阵 ,na aa12,m nA恒有恒有: ,.mm nm nm nnm nI AAAIA或或 I ,或或 E . 2. 方阵的幂方阵的幂 A = I0, ,定义定义8 8 (k为正整数为正整数) 设设A为方阵为方阵,为为A的的 k

16、次幂次幂. kkAAAA.kkAAA1规定规定 ;klk lA AA(1)称称 则则 方阵的幂的运算性质方阵的幂的运算性质 .klklAA(2)().kkkABA B()一般来说一般来说 3.方阵的行列式方阵的行列式定义定义9A.det A 8632A例例8632 A则则. 2 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 证明从略证明从略.把方阵取行列式是一种运算把方阵取行列式是一种运算,它有如下的性质它有如下的性质:由由 n 阶方阵阶方阵A 的元素所构成的行列式的元素所构成的行列式的位置不变的位置不变),),称为方阵称为方阵A的行列式的行列式,记为记为( (各元素各元素或或例例6 设三

17、阶方阵设三阶方阵12| B|,2322AB, 2323A,B,23, 2322| AB | | 234| 232344| 44AB14 242 故故其中其中已知已知|A| = 2,求求 | A+B | .解解:都是三维列向量都是三维列向量, ,由于由于10.四、对称阵与反对称阵四、对称阵与反对称阵定义定义设设A为为n阶方阵阶方阵, ,TAA, n,j , iaajiij21 .A为为对对称称阵阵例例如如 6010861612对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. . 说明说明如果满足如果满足 即即那末那末A 称为对称阵称为对称阵. .根据对称矩阵的定义容

18、易证明根据对称矩阵的定义容易证明TAA , 如如果果(1) (1) 两个对称矩阵的和或差仍为对称矩阵两个对称矩阵的和或差仍为对称矩阵; ;(2) (2) 数数k与对称矩阵的乘积仍为对称矩阵与对称矩阵的乘积仍为对称矩阵; ;(3) (3) 两个可交换的对称矩阵的乘积仍为对称矩阵两个可交换的对称矩阵的乘积仍为对称矩阵, ,但两个不可交换的对称矩阵的乘积不是对称矩阵但两个不可交换的对称矩阵的乘积不是对称矩阵. .定义定义:例如例如A 061600100是一个是一个3阶反对称矩阵阶反对称矩阵.则称则称A是反对称的是反对称的.例例7 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.nA证证:TAAC 设设 TTTAAC 则则AAT ,C 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵.,TAAB 设设 TTTAAB 则则AAT ,B 所以所以B为反对称阵为反对称阵.22TTAAAAA ,22BC 证毕证毕.矩阵运算矩阵运算 加加(减减)法法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵方阵的行列式、方阵的幂方阵的行列式、方阵的幂(2)只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, ,(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时只有当两个矩阵是同型矩阵时, ,注意注意(3)