矩阵的初等变换与秩

1、9.2 矩阵的初等变换与秩矩阵的初等变换与秩初等变换初等变换秩秩核心概念核心概念重要工具重要工具求解线性方程组求解线性方程组979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx(1) 交换方程顺序交换方程顺序 (2) 以数以数k (0)乘某个方程乘某个方程 (3) 一个方程的一个方程的 k 倍加到另倍加到另一个方程一个方程一、引例一、引例同同解解变变换换增广矩阵方程组的(1) (1) 交换矩阵的两行交换矩阵的两行 (2) 以数以数k (0)乘矩阵的某行乘矩阵的某行 (3) 某行的某行的 k 倍加到另一行倍加到另一行97963422644121121112

2、矩矩阵阵变变换换矩阵的初等变换是线性代数的一个重要工具矩阵的初等变换是线性代数的一个重要工具. .1、 定义定义1 以下三种变换称为矩阵的以下三种变换称为矩阵的初等行（列）变换初等行（列）变换：或的位置，记作列两行交换矩阵中第jirrjii)(,)(ikrikii记作列）行乘第用非零常数,()(jikrrikjiii 记记作作对对应应元元素素上上去去列列行行后后加加到到第第乘乘以以常常数数列列行行将将矩矩阵阵的的第第,)()()(这三种变换统称这三种变换统称矩阵的初等变换矩阵的初等变换.jikcc 或.ikc或.jicc 二、矩阵初等变换二、矩阵初等变换连连接接。或或之之间间用用记记号号与与时

3、时，化化为为初初等等变变换换将将BABA利用初等变换可以将任一矩阵化为阶梯形矩阵利用初等变换可以将任一矩阵化为阶梯形矩阵 作用作用为阶梯形矩阵：满足以下条件的矩阵称. 20000330010203021.例如00000130000310032-2210000480022108021一个矩阵经过初等变换可以转化为一个矩阵经过初等变换可以转化为阶梯形矩阵阶梯形矩阵(不唯一不唯一),但但是阶梯形矩阵的非零行的行数是唯一的是阶梯形矩阵的非零行的行数是唯一的（2）非零行的第一个非零元（首非零元）所在的 列，其下方的元素全为0.（1）矩阵的零行（元素全为零的行）（若有），在最下方;化成阶梯形矩阵。将矩阵1

4、0030116030242201211AA312132rrrr1003014030000000121143rr040001403000000012110400000000140300121132rr43rr0000004000140300121141311221222832A669044604131223022304131000022304131000022302301 12rr28321221224131 31rr312122rrrr231212rr 32rr331r00003232102301行最简形矩阵行最简形矩阵阶梯形矩阵阶梯形矩阵000003100001110412110000031

5、00001110401011;(1)非零行的首非零元均为0000031000301104010100003232102301如000003100030110401013、行最简形矩阵： 若阶梯形矩阵A满足以下两个条件：（2）首非零元1所在的列其余元素全为0则称矩阵A为行最简形矩阵0000100031104111132343rrrr0000100001100111 12rr00001000011002014513531223114111A41312132rrrrrr8220311062204111 422121rr4110311031104111 4232rrrr1000000031104111

6、 43rr例：化矩阵为行最简形：阶梯形矩阵行最简形矩阵4、矩阵的标准形、矩阵的标准形.E称为的标准形矩阵OOOr的矩阵。初等变换化成形如一定可以经过有限次的矩阵任意一个非零定理OOOnmrEA,:初等变换AOOOrEA的标准形的标准形 任一个矩阵任一个矩阵都有标准形都有标准形唯一！唯一！10142201330000 00003232100001例如：例如：41314cccc41311221222832AOOOE200000010000123242323cccc先化行最简形三、秩的定义三、秩的定义. )()() 3(ArArT秩是矩阵的一个重要数字特征秩是矩阵的一个重要数字特征(2)规定规定:

7、r (O)=0; :A有对任意一个矩阵;,min)(0nmArnm（1）定义：矩阵A的阶梯形矩阵的非零行的行数称为矩阵A的秩。记作：( )r A200010100321A3)(Ar1000000003104321B3)(Br001021C2)(Cr100010011D3)(Dr求矩阵的秩求矩阵的秩 r(A)=r(B)定理定理1（4）求秩的方法）求秩的方法初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩.)()(BrAr矩阵秩的求法：为阶梯形矩阵：满足以下条件的矩阵称在最下方；若有为零的行）矩阵的零行（元素全（)(10.2为首非零元以下的元素全的列，元素（首非零元）所在）非零行的第一个非零（BA初等

8、变换中非零行的行数BAB 初等变换（阶梯形矩阵）复习阶梯形矩阵：)(Ar41461351021632305023A1281216011791201391520041461例例2 求矩阵求矩阵A的秩的秩 41rr05023351021632341461413121323rrrrrr24)4(rr1391520011791203234041461 423253rrrr21000210003234041461000002100032340414613例例4221,6063324208421221bA).()(, )(bABBrAr其中求42216063324208421221B100136001200240012212)(Ar413121322rrrrrr01010000000012001221150136001200120012213)(Br 911312343221tA？为为何何值值时时，3)( ARt,3 t0770011803221tA 0118001103221t 030001103221t例例3的秩为阶方阵2001302023A3)(Ar为满秩方阵称矩阵A312134rrrrA32)8(rrt.3)(A