研究生数值分析(4)

1、利用基本插值多项式容易得出满足插值条件利用基本插值多项式容易得出满足插值条件( )niiP xy(0,1, )in的的n次插值多项式次插值多项式0( )( )nnk kkL xy l x0110011()()()()()()()()nkknkkkkkkkknx xx xx xx xyxxxxxxxx插值多项式插值多项式称为拉格朗日插值多项式，记作称为拉格朗日插值多项式，记作( )nL x拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）插值多项式）插值多项式当当n=2=2时时, ,由由式可得三点插值公式式可得三点插值公式0201122012010210122021()()()()()()( )()()()

2、()()()x xx xx xx xx x x xL xyyyxx xxxxxxxxxx这是一个二次函数。用二次函数这是一个二次函数。用二次函数2( )L x代替函数代替函数( )f x，在几何上就是用通过三点，在几何上就是用通过三点( ,) (0,1,2)iiiM x yi 的抛物线的抛物线2( )L x曲线曲线y=f(x)，故三点插值，故三点插值又称为又称为抛物线插值。抛物线插值。近似近似近似代替近似代替如图如图通过通过n+1+1个节点的个节点的n次插值多项式，在节点处有次插值多项式，在节点处有( )( )niiL xf x(0,1,)in在其它点上均是在其它点上均是f(x)的近似值。记的

3、近似值。记( )( )( )nnR xf xL x称称( )nRx为插值多项式的余项。为插值多项式的余项。( )nR x就是用就是用( )nL x近似替代近似替代( )f x的截断误差。的截断误差。1 插值余项插值余项定理定理1 若若 f (x)在区间在区间a,b上有直到上有直到n+1阶导数，阶导数，( )nL x为为 f (x) 在在n+1个节点个节点 , ixa b(0,1, )in上的上的n次插值多项式，则对任何次插值多项式，则对任何 , xa b有有其中其中且依赖于且依赖于x。)()!1()()(1)1(xnfxRnnn),(),()(01baxxxinin证明证明 当给定的当给定的x

4、恰是某个节点恰是某个节点 时，时，ix两边都为两边都为0 0，定理的结论显然成立。，定理的结论显然成立。今设给定的节点今设给定的节点x异于所有的节点，异于所有的节点，构造辅助函数构造辅助函数)()()()()()()(11txxpxftptftgnnnn因因)(),(),(1xtptfnn都在都在 a, ,b 上上n+1+1次可微，次可微，)()!1()()(1)1(xnfxRnnn故函数故函数g g( (t t) )也如此。也如此。显然，函数显然，函数g g( (t) )有有n+2+2个互异的零点个互异的零点nxxxx,10由由Rolle(Rolle(罗尔罗尔) )定理可知定理可知, ,)(

5、tg在区间在区间 a, ,b 内至少有内至少有n+1+1个互异的零点。个互异的零点。再对函数再对函数)(tg使用使用Rolle(罗尔罗尔)定理，定理，可知在可知在a,b内至少有内至少有n个互异的点使个互异的点使0)( tg如此反复使用如此反复使用Rolle(罗尔罗尔)定理，最后可知至少定理，最后可知至少存在一点存在一点,ba，使得，使得0)()1(ng显然与所给的显然与所给的x有关。有关。由于由于)!1()()()()()(1)1()1(nxxpxftftgnnnn因而有因而有)()!1()()()(1)1(xnfxpxfnnn其中其中且依赖于且依赖于x。),(ba证毕。证毕。( )0nR x

6、 因而因而 0( )( )( )nniiif xL xl x y特别当特别当 ( )1f x 时，时，0( )1niil x几点说明几点说明10 0 当当 f (x)本身是一个次数不超过本身是一个次数不超过n次的多项式次的多项式时，时，有有20 0 余项余项( )nR x的表达式的表达式只有在只有在 f (x)的的n+1阶导数存在时才能使用，由于阶导数存在时才能使用，由于不能具体求出，不能具体求出，(1)1max( )nna x bfxM 即有即有11( )( )(1)!nnnMR xxn因此一般常利用因此一般常利用求出误差限，求出误差限，例例1 1 已知特殊角已知特殊角00030 ,45 ,

7、60的正弦函数值的正弦函数值123,222用一次插值多项式，二次用一次插值多项式，二次sin x插值多项式近似插值多项式近似0sin50解：若取解：若取030和和045为节点作一次插值，得为节点作一次插值，得145 1302( )3045 245302xxLx，并用此求出，并用此求出则则 015045 150302(50)0.77614sin503045 24530 2L为节点插值，得为节点插值，得则则 2345604522604560)(1xxxL0150sin76008. 023456045502260456050)50(L0060,45若取若取为节点，作二次插值，得为节点，作二次插值，得

8、2(45)(60) 1(30)(60)2(30)(45)3( )(30 45)(30 60) 2(45 30)(45 60) 2(60 30)(60 45) 2xxxxxxL x则则2(50 45)(50 60) 1(50 30)(50 60)2(50 30)(50 45) 3(50)(30 45)(30 60) 2(45 30)(45 60) 2(60 30)(60 45) 2L00.76543sin 5000060,45,30取取现在应用现在应用式来估计误差。式来估计误差。( ) sin ,( )cos ,( )sin ,( )cosf xx f xx f xx fxx并把度化为弧度，得并

9、把度化为弧度，得020011sin50(50)( sin )() (50 30)(50 45)30602180L所以所以02113sin50(50)()2050.01319022180L先求线性插值的误差先求线性插值的误差同理，由同理，由得得 由由 030021sin50(50)( cos )() (50 30)(50 45)(50 60) 30603!180L有有 03213sin50(50)()20 5 100.00076762180L 002106030)6050)(4550()180)(sin(21)50(50sin L006595.0105)180(2321)50(50sin210L

10、可以看出用可以看出用045和和060两点作线性插值要比用两点作线性插值要比用030和和045作线性插值精确。这是因为点作线性插值精确。这是因为点45,60一般来说，内插比外推精度要高。一般来说，内插比外推精度要高。的内部，这种插值称为内插。的内部，这种插值称为内插。其次，二次插值要比一次插值精度要高。其次，二次插值要比一次插值精度要高。事实上，事实上，00596. 0)50(50sin;01010. 0)50(50sin1010LL0006. 0)50(50sin20L在区间在区间050否则，称为外推。否则，称为外推。例例2 给定函数表如下给定函数表如下xxe 0.40.5

11、1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6487 试用线性插值与抛物线插值求试用线性插值与抛物线插值求0.285e题目中题目中0.285x 介于介于0.2和和0.3之间，之间，解：为了减少插值计的截断误差，应用内插法解：为了减少插值计的截断误差，应用内插法的近似值，并估计截断误差。的近似值，并估计截断误差。010.2,0.3xx相应地相应地011.2214,1.3499yy因此做线性内插时取因此做线性内插时取由线性插值公式，得由线性插值公式，得10.30.2( )1.22141.3490.2xxL x所得近似值为所得近似值为0.28510.285 0.3

12、0.285 0.2(0.285)1.22141.3499 1.33060.2 0.30.3 0.2eL由线性插值余项公式由线性插值余项公式1011( )( )()()2R xfxxxx01xx这里这里( )xf xe，所以，所以1011( )()()2R xexxxx01xx将将010.285,0.2,0.3xxx代入，得代入，得0.311(0.285)(0.285 0.2)(0.285 0.3)0.00092Re类似地，在抛物线插值时，取类似地，在抛物线插值时，取0120.2,0.3,0.4xxx所得所得0.285e的近似值和截断误差为的近似值和截断误差为0.2852(0.285 0.3)(0.285 0.4)(0.285 0.2)(0.285 0.4)(0.285)1.22141.3499(0.2 0.3)(0.2 0.4)(0.3 0.2)(0.3 0.4)eL(0.2850.2)(0.2850.3)1.49181.3298(0.40.2)(0.40.3