金融数学-第七章

1、金融数学（引论）金融数学（引论）主讲人：那日萨2009年10月利息理论应用第七章-2第七章第七章 利率风险分析利率风险分析问题的提出：问题的提出：前面讨论的基本假设：前面讨论的基本假设： 利率水平固定利率水平固定在现实的金融市场中：在现实的金融市场中： 利率是随时间变化的利率是随时间变化的相应的研究：相应的研究：研究利率本身的变化规律研究利率本身的变化规律研究受利率影响的金融产品和市场的变化规律研究受利率影响的金融产品和市场的变化规律利息理论应用第七章-37.1 一般分析一般分析各个国家在不同时期的利率水平变化很大：各个国家在不同时期的利率水平变化很大：在在 1945 年美国的政府债券的平均收

2、益率仅为年美国的政府债券的平均收益率仅为0.33%， 而到了而到了1981 年同样的债券的同期收益率为年同样的债券的同期收益率为14.7% 。即使在。即使在1980 年年8 月份的优惠利率（月份的优惠利率（prime rate ，指大商业银行对一些资信良好的大企业短期，指大商业银行对一些资信良好的大企业短期贷款的利率，也是商业银行贷款的最低利率）亦有贷款的利率，也是商业银行贷款的最低利率）亦有11%，到，到12 月份为月份为21.5%。中国自中国自 1980 年至年至2000 年的二十年间利率在水平和结构上都有很大的变化。年的二十年间利率在水平和结构上都有很大的变化。利息理论应用第七章-419

3、80-2000 年中国的储蓄利率变化情况年中国的储蓄利率变化情况利息理论应用第七章-5利息理论应用第七章-6用基本的经济学原理分析：用基本的经济学原理分析：利率水平从某种意义上讲是一种价格，利率水平从某种意义上讲是一种价格， 应该由供应该由供求平衡来决定它的值：求平衡来决定它的值：如果借款的需求很大，利率将上升如果借款的需求很大，利率将上升如果借款的需求较小，利率将下降如果借款的需求较小，利率将下降影响利率水平的一些因素：影响利率水平的一些因素：1) 内在内在“纯利率纯利率”许多经济学者和金融理论家都认为存在一个内许多经济学者和金融理论家都认为存在一个内在的纯利率，它与长期的经济发展水平有关在

4、的纯利率，它与长期的经济发展水平有关利息理论应用第七章-7如果不考虑通货膨胀因素，这个利率将代表无风险投资的收益率。如果不考虑通货膨胀因素，这个利率将代表无风险投资的收益率。实证研究表明：实证研究表明： 这种利率会稳定很长时间。例如：美国这种利率会稳定很长时间。例如：美国20 世纪的几十年间世纪的几十年间这个利率一直介于这个利率一直介于2%和和3%之间。之间。2） 通货膨胀率（见下面的讨论）通货膨胀率（见下面的讨论）3）风险和不确定性（见下面的讨论）风险和不确定性（见下面的讨论）4） 投资期限（短期与长期的区别）投资期限（短期与长期的区别）5） 信息量（市场的信息量（市场的“无效无效”）利息理

5、论应用第七章-86） 法律的约束法律的约束有时政府会对利率水平作一些限制有时政府会对利率水平作一些限制 ，在美国近几年有放松管制的趋势所以这种因，在美国近几年有放松管制的趋势所以这种因素的影响较过去已降低许多。但是，某些利率仍然受到法规的限制。素的影响较过去已降低许多。但是，某些利率仍然受到法规的限制。7） 政府的政策政府的政策美国联邦政府通过实施货币政策和财政政策对总美国联邦政府通过实施货币政策和财政政策对总体的利率水平产生影响，甚至是控制。体的利率水平产生影响，甚至是控制。基本的控制手段是：基本的控制手段是： 美联储对货币供应量的调整。美联储对货币供应量的调整。同时，政府的赤字或盈余也对信

6、贷市场的需求产生重要影响。同时，政府的赤字或盈余也对信贷市场的需求产生重要影响。8） 随机波动随机波动利息理论应用第七章-9在实际业务中常用的表示利率变动的术语：在实际业务中常用的表示利率变动的术语：1） 基点（基点（basis point）计算利率变动的计量单位，计算利率变动的计量单位， 一百个基点表示一百个基点表示1%例：例： 利率从利率从9%上涨到上涨到9.25% ，则称利率上涨了，则称利率上涨了25个基点。个基点。2） 利差（利差（spread）用于比较两种利率的差用于比较两种利率的差 ，在投资问题中常以国债的收益率做为比较的基础，在投资问题中常以国债的收益率做为比较的基础例：例： 如

7、果一年期国债的收益利率为如果一年期国债的收益利率为8.25% ，另外有一种金融产品的收益利率，另外有一种金融产品的收益利率为为9.50% ，则称，则称“对一年期国债的利差为对一年期国债的利差为125 个基点个基点”。利息理论应用第七章-10通货膨胀与利率通货膨胀与利率通货膨胀率表示购买能力因时间的推移而造成的损失通货膨胀率表示购买能力因时间的推移而造成的损失金融市场的公布利率与通货膨胀率通常是正相关的金融市场的公布利率与通货膨胀率通常是正相关的贷款人至少要通过利率以补偿其在资本购买力上的损失贷款人至少要通过利率以补偿其在资本购买力上的损失市场中的现行利率被称为市场中的现行利率被称为名义利率名义

8、利率（ nominalrate of interest），）， 用用i 表示。表示。市场中的现行利率扣除了通货膨胀率后的部分为市场中的现行利率扣除了通货膨胀率后的部分为实际利率实际利率（real rate of interest），）， 用用i表示表示利息理论应用第七章-11如果如果r 表示同期的通货膨胀率，则有以下关系表示同期的通货膨胀率，则有以下关系)1)(1 (1riiririirii从而有从而有即：即： 名义利率等于实际利率与通货膨胀率及两者的乘积之和。名义利率等于实际利率与通货膨胀率及两者的乘积之和。因为一般情况下利率均为较小的数值，因为一般情况下利率均为较小的数值， 所以可将乘积项

9、所以可将乘积项ir 省略，进而得省略，进而得到常见的结论：名义利率为实际利率与通货膨胀率之和到常见的结论：名义利率为实际利率与通货膨胀率之和利息理论应用第七章-12结论：结论：当在一定的时期内实际利率的水平变化不大当在一定的时期内实际利率的水平变化不大时，市场上的名义利率的变化与通货膨胀率的变化时，市场上的名义利率的变化与通货膨胀率的变化是同步的。是同步的。另外另外 ，可以通过名义利率反解出实际利率，可以通过名义利率反解出实际利率i rriirii1111或F注：注： 固定利率债券的通货膨胀风险也称为购买力风险，比如投资者购买了一种息票利率固定利率债券的通货膨胀风险也称为购买力风险，比如投资者

10、购买了一种息票利率为为7%的债券，而通货膨胀率为的债券，而通货膨胀率为8% ，则现金流的购买力实际上已经下降了。浮动利率债券的，则现金流的购买力实际上已经下降了。浮动利率债券的通货膨胀风险较低。通货膨胀风险较低。利息理论应用第七章-13考虑通货膨胀情况下的利息计算：考虑通货膨胀情况下的利息计算：1） 现值的计算现值的计算考虑考虑n期期末年金的现值，年金的金额随着通期期末年金的现值，年金的金额随着通货膨胀率同步递增，即：货膨胀率同步递增，即：首次付款用首次付款用 R (1+ r)表示，以后每次付款为上表示，以后每次付款为上一期的一期的(1+ r)倍倍注：注： 在在0 时刻的现金量应为时刻的现金量

11、应为R以名义利率以名义利率 i 计算的现值公式为计算的现值公式为)1 ()1 ()1(22nnvrvrvrR利息理论应用第七章-14如果用如果用i 表示上式则应有表示上式则应有2） 终值的计算终值的计算例例： 某投资者以利率某投资者以利率i 投资投资A 元，元，n 期期,则到期时的收益为则到期时的收益为riirrRn)11(1)1 (12|(1)(1)(1)nn iRiiiRaniA)1 ( 利息理论应用第七章-15如果考虑通货膨胀因素，这笔投资在到期时的实际收益为如果考虑通货膨胀因素，这笔投资在到期时的实际收益为(1)(1)(1)nnniAAir因此，因此， 必须区别名义投资收益和实际投资收

12、益。必须区别名义投资收益和实际投资收益。例：例： 某保险公司在人身意外伤害保险的赔付条款中采用了年金赔付方式：首某保险公司在人身意外伤害保险的赔付条款中采用了年金赔付方式：首次赔付次赔付24,000 元，余额按元，余额按10年期末年金方式赔付，从第一次年金赔付开始赔年期末年金方式赔付，从第一次年金赔付开始赔付金额按照零售物价指数付金额按照零售物价指数5%逐年递增，同期市场年利率逐年递增，同期市场年利率8%， 计算：年金赔计算：年金赔付责任的现值。付责任的现值。利息理论应用第七章-16解解：已知：已知 i =0.08 r =0.05从而有实际利率从而有实际利率i = (0.08- 0.05)/(

13、1+0.05) = 0.028571从而年金赔付的现值应为从而年金赔付的现值应为1010|.0285711.051 ()1.0824,000(1.05).08.0524,000206,226.00a所以该保单的合计赔付金额（现值）应为所以该保单的合计赔付金额（现值）应为24,000+206,226.00 = 230,226.00利息理论应用第七章-17风险、不确定性与利率风险、不确定性与利率问题的提出：问题的提出：在前面的所有讨论中，都假定未来的现金流的金额和时间是确定的。在前面的所有讨论中，都假定未来的现金流的金额和时间是确定的。但是在现实情况中，通常存在发生时间和数量不确定的现金流但是在现

14、实情况中，通常存在发生时间和数量不确定的现金流例如：例如： 简单的标准借贷业务，也存在以下这些风险：不能按期支付提前支付简单的标准借贷业务，也存在以下这些风险：不能按期支付提前支付或是对抵押贷款的再融资风险、再投资利率变化的风险和早赎的风险等。或是对抵押贷款的再融资风险、再投资利率变化的风险和早赎的风险等。利息理论应用第七章-18两种影响投资的市场价值的主要风险：两种影响投资的市场价值的主要风险：市场风险市场风险，金融市场的变化表现为不同的到期收益率引起现金流价值的变，金融市场的变化表现为不同的到期收益率引起现金流价值的变化化信用风险信用风险 （credit risk ），金融产品本身的风），

15、金融产品本身的风险行为险行为例如：例如： 考虑考虑A 和和B 两种溢价债券，有相同的息票收入、兑现值和到期日。两种溢价债券，有相同的息票收入、兑现值和到期日。A 是由政府财政部发行是由政府财政部发行的国债；的国债；B 是一种高风险的企业债券。是一种高风险的企业债券。分析：分析：两种债券的市场风险是相同的；两种债券的市场风险是相同的；利息理论应用第七章-19但是，从产品本身的内在风险因素考虑，但是，从产品本身的内在风险因素考虑，B 的不确定性比的不确定性比A 大，从而大，从而B 在市在市场中的售价应低于场中的售价应低于A ，即，即B 的到期收益率应高于的到期收益率应高于A。F注：注： 如果在评估

16、有风险的债券的价值时，仍然用收益率作为评估的方法，如果在评估有风险的债券的价值时，仍然用收益率作为评估的方法，则这种收益率的计算将因为不确定性的存在比无风险情形的收益率计算复杂得则这种收益率的计算将因为不确定性的存在比无风险情形的收益率计算复杂得多。多。为了区别是否为有风险的债券，为了区别是否为有风险的债券， 在一般的市场中都会确定或假设存在一个在一般的市场中都会确定或假设存在一个无无风险收益率风险收益率（risk-freereturn rate default-free rate ），这个收益水平是），这个收益水平是指在任何情况下都确定的投融资水平。指在任何情况下都确定的投融资水平。利息理论

17、应用第七章-20例：例：市场的无风险投资的收益率为市场的无风险投资的收益率为8%现有一年期面值现有一年期面值 1000 元的债券年息率元的债券年息率8%， 到期按照面值兑现，现按面值出到期按照面值兑现，现按面值出售。售。另有一种债券，另有一种债券， 是一个处于成长期的企业发行的，面值是一个处于成长期的企业发行的，面值1000 元、年息率元、年息率8% ，到期兑现本金是有条件的：到期兑现本金是有条件的：如果企业运行良好，则按照面值兑现，否则只支付息票，不兑现本金。如果企业运行良好，则按照面值兑现，否则只支付息票，不兑现本金。已知后一种企业债券的市场售价为已知后一种企业债券的市场售价为 940 元

18、。元。试评估后一种债券的收益率。试评估后一种债券的收益率。F注：注： 这里这里60 元的差价是考虑后一种债券存在的违约风险后对购买者的风险元的差价是考虑后一种债券存在的违约风险后对购买者的风险补偿。补偿。利息理论应用第七章-21解：解：如果按以前的方法直接计算后一种债券的年收如果按以前的方法直接计算后一种债券的年收益率，则有益率，则有1)1 (1080940i由此可得由此可得i = 14.89%分析：分析： 14.89%表示一种风险投资的收益率，看上去比无风险债券的收益率高表示一种风险投资的收益率，看上去比无风险债券的收益率高出出6.89%。 但是，这种但是，这种“高收益高收益”是不确定的。是

19、不确定的。风险报酬风险报酬 / 风险溢价风险溢价 （risk premium）实际收益率与无风险收益率的差实际收益率与无风险收益率的差利息理论应用第七章-22分析：分析：例中的例中的6.89%为风险报酬。一般的，投资风险越大则风险报酬越高。为风险报酬。一般的，投资风险越大则风险报酬越高。思考思考 ：投资该种债券真的有如此高的收益率吗？投资者是否都只投资该风险债券而投资该种债券真的有如此高的收益率吗？投资者是否都只投资该风险债券而不投资收益率较低的无风险债券？不投资收益率较低的无风险债券？分析：分析：并不是这样的，因为上述并不是这样的，因为上述14.89%的收益率只的收益率只是代表不违约情况下的

20、最高收益率！是代表不违约情况下的最高收益率！如果发生全额（本金和息票）违约，则投资者的收益率为如果发生全额（本金和息票）违约，则投资者的收益率为-100%（940 元的投资元的投资全部损失）；全部损失）；如果发生部分违约（本金或息票），收益率将介于如果发生部分违约（本金或息票），收益率将介于利息理论应用第七章-23-100%与与14.89%之间；之间；即使不违约，但企业运营不好的时候，收益率也只有即使不违约，但企业运营不好的时候，收益率也只有由此可得由此可得i= -91.49%结论：结论： 可以认为可以认为940 元的买价即包括了预期收益率的成分，也包括了对未来违元的买价即包括了预期收益率的成

21、分，也包括了对未来违约风险的估计，即：约风险的估计，即：买价是对未来收益现值的预期结果买价是对未来收益现值的预期结果1)1 (80940i利息理论应用第七章-24用概率论的语言对问题的描述用概率论的语言对问题的描述设未来收益的现值用随机变量设未来收益的现值用随机变量 X 表示，并且假设表示，并且假设X仅有两种可能的取值：仅有两种可能的取值：（不发生违约），概率为（不发生违约），概率为p0 （全部违约），概率为（全部违约），概率为1- p从而从而 X 的数学期望为的数学期望为假设债券的买价为未来收益现值的数学期望，则有假设债券的买价为未来收益现值的数学期望，则有1)08. 1 (10801)08

22、. 1)(1080(p1)08. 1)(1080(940 p利息理论应用第七章-25由此可得概率由此可得概率p= 0.94。F注：注： 没有任何收益的风险概率为没有任何收益的风险概率为6%！在风险概率在风险概率 6%下，该债券的期望收益率与市场下，该债券的期望收益率与市场上的无风险利率相等，即有上的无风险利率相等，即有14.89%0.94 + (-100%) 0.06 = 8%这表明，存在无风险利率这表明，存在无风险利率8%的投资条件下，投资于违约风险的投资条件下，投资于违约风险6%的投资是不的投资是不一定合算的一定合算的F注：注： 与投资者对风险的偏好有关与投资者对风险的偏好有关利息理论应用

23、第七章-26例：例：假设在上例中，该企业债券不存在违约的情形，试分析该企业因运营不好而假设在上例中，该企业债券不存在违约的情形，试分析该企业因运营不好而不偿还本金的风险概率。不偿还本金的风险概率。解：解： 设未来收益的现值用随机变量设未来收益的现值用随机变量X 表示表示,则可假设则可假设X 仅有两种可能的取值：仅有两种可能的取值：（偿还本金），概率为（偿还本金），概率为p （不偿还本金），概率为（不偿还本金），概率为1- p从而从而 X 的数学期望为的数学期望为假设债券的买价为未来收益现值的数学期望，则有假设债券的买价为未来收益现值的数学期望，则有1)08. 1 (108011)08. 1)(

24、80)(1 ()08. 1)(1080(pp11)08. 1)(80)(1 ()08. 1)(1080(940pp1)08. 1)(80(利息理论应用第七章-27能够正常得到这些收益的概率（互相独立）分别为：能够正常得到这些收益的概率（互相独立）分别为： 其中其中 表表示可以得到收益示可以得到收益 的的的取值仅为的取值仅为 或或0由此可得：由此可得：p = 0.9352从而该企业不偿还本金的风险概率为从而该企业不偿还本金的风险概率为1- p = 0.0648更一般情形的讨论：更一般情形的讨论：设设 在在 时时 刻刻 1, 2, , n 预计收益现金流为预计收益现金流为nRRR,21tRtRtX

25、nXXX,21nppp,21tp实际（随机）现金流为实际（随机）现金流为(不是现值不是现值),并且假设并且假设利息理论应用第七章-28Pr()1Pr(0),1,2,.,ttttPXRXtn 如果市场的无风险利率为如果市场的无风险利率为i ,则这组收益的现值的数学期望为则这组收益的现值的数学期望为1(1)ntttEPVRip对应的风险投资收益率为满足下面方程的解对应的风险投资收益率为满足下面方程的解 ip11(1)(1)nntttttpRipRiF注注: 显然有显然有ip i利息理论应用第七章-29结论结论:如果概率如果概率 pt=pt (t=1,2,n)，则有,11()()1nnttttp i

26、pEPVRR vi其中其中vp,i为经过某种修正后的新的贴现因子为经过某种修正后的新的贴现因子:,1(1)(1)p ipvvii结论结论:在概率在概率pt = pt (t =1,2,.,n)条件下条件下,对应的风险溢价为对应的风险溢价为1(1)pip利息理论应用第七章-30证明：证明：将将vp,j看作是贴现因子，则对应的新的收益率为看作是贴现因子，则对应的新的收益率为,11111pp iiipiivppp 从而可得风险溢价为从而可得风险溢价为11(1)pippiiiippp F注：在无风险利率水平固定时，风险溢价水平随风险程度的下降注：在无风险利率水平固定时，风险溢价水平随风险程度的下降（p上

27、升上升）而下降，直至为零。而下降，直至为零。利息理论应用第七章-31 给定风险溢价水平由上述公式可以反解出单给定风险溢价水平由上述公式可以反解出单位时间的风险不发生概率为位时间的风险不发生概率为1(1)ipi溢价例：例：已知两年期无风险年实利率为已知两年期无风险年实利率为2.40%1）现有如下两年期的公司债券：第一年底息票收入不发生违约的概率为）现有如下两年期的公司债券：第一年底息票收入不发生违约的概率为95%；无论第一年是否违约，第二年底息票与本金收入不发生违约的概率；无论第一年是否违约，第二年底息票与本金收入不发生违约的概率为为90.25%。计算该公司债券的风险溢价。计算该公司债券的风险溢

28、价。利息理论应用第七章-322）若已知上述产品的风险溢价为）若已知上述产品的风险溢价为8%，第一年底息票收入不发生违约的概率为，第一年底息票收入不发生违约的概率为p；无论第一年是否违约，第二年底息票与本金收入不发生违约的概率为无论第一年是否违约，第二年底息票与本金收入不发生违约的概率为p2 计算计算p。解：解：1）由风险溢价公式可得）由风险溢价公式可得1 95%(12.40%)5.39%95%风险溢价所以该公司债券的风险收益率为所以该公司债券的风险收益率为2.40% + 5.39% = 7.79%利息理论应用第七章-332）由风险不发生概率公式可得）由风险不发生概率公式可得212.4%92.7

29、5%8%(12.40%)86.03%pp即即 若该公司债券按照若该公司债券按照 10.40%的风险收益率出售，则意味着：的风险收益率出售，则意味着：第一年底息票收入不发生违约的概率第一年底息票收入不发生违约的概率92.75%第第 二二 年底年底 息息 票票 与与 本本 金金 收收 入入 不不 发发 生生 违违 约约 的的 概概 率率 为为86.03%。利息理论应用第七章-347.2 利率期限结构利率期限结构利率的期限结构利率的期限结构（term structure of interest rates）因投资期限的不同而造成的投资到期收益率的因投资期限的不同而造成的投资到期收益率的变化结构变化结

30、构研究背景：研究背景： 在金融市场中不同的投资期限对应不同的收益水平在金融市场中不同的投资期限对应不同的收益水平 在每个交易时期都会存在一组市场利率，表示不同投资期限对应的利率在每个交易时期都会存在一组市场利率，表示不同投资期限对应的利率 一般情况下，这些利率具有随投资期限增加而逐渐上升的趋势一般情况下，这些利率具有随投资期限增加而逐渐上升的趋势利息理论应用第七章-35 大多数债券市场发达的资本市场是以国债或信用大多数债券市场发达的资本市场是以国债或信用等级最高的债券的收益率作为市场无风险利率（或简称利率）的代表。等级最高的债券的收益率作为市场无风险利率（或简称利率）的代表。国内通常选用国债的

31、收益率来研究利率期限结构。国内通常选用国债的收益率来研究利率期限结构。F注注：下面以国内银行的储蓄利率数据来分析利率期限结构下面以国内银行的储蓄利率数据来分析利率期限结构1）在固定时点的利率模型）在固定时点的利率模型 表表 7.1 为中国人民银行公布的定期储蓄利率表。为中国人民银行公布的定期储蓄利率表。 在每次公布的利率表中，不同的存款期限有不同的年利率，即年利率水平与投在每次公布的利率表中，不同的存款期限有不同的年利率，即年利率水平与投资期限有关。资期限有关。利息理论应用第七章-36图图7.1利息理论应用第七章-372）利率的整体期限结构）利率的整体期限结构 不同时期公布的利率表在整体上具有

32、一种结构或趋势，表不同时期公布的利率表在整体上具有一种结构或趋势，表7.2为为1980-2000 年中国的储蓄利率变化情况。年中国的储蓄利率变化情况。利息理论应用第七章-38利息理论应用第七章-39利息理论应用第七章-40图图7.2 为各个年份的为各个年份的1 年期储蓄的利率水平的变化趋势年期储蓄的利率水平的变化趋势利息理论应用第七章-41 收益率曲线收益率曲线（yield curves）将利率用投资期限表示的曲线将利率用投资期限表示的曲线 在自由竞争的市场中也会出现短期利率超过长期利率的情形称为在自由竞争的市场中也会出现短期利率超过长期利率的情形称为“颠倒的利率颠倒的利率曲线曲线”（inve

33、rted）。如美）。如美国在八十年代初期的利率曲线就是颠倒的国在八十年代初期的利率曲线就是颠倒的 对这种现象的一种解释是：短期利率过高通常归于对这种现象的一种解释是：短期利率过高通常归于政府紧缩的货币政策或通货膨胀率较高，而长期利率政府紧缩的货币政策或通货膨胀率较高，而长期利率则更侧重对正常收益的期望。则更侧重对正常收益的期望。 另 一 种 常 见 的 模 式 是另 一 种 常 见 的 模 式 是 “ 无 息 利 率 曲 线无 息 利 率 曲 线 ” （ f l a t y i e l dc u r v e ） ， 从 图 形 上 看 是 一 条 与 时 间 轴 平 行 的 直 线 ， 表）

34、， 从 图 形 上 看 是 一 条 与 时 间 轴 平 行 的 直 线 ， 表明 在 这 段 时 间 内 投 资 者 不 希 望 投 资 市 场 或 通 货 膨 胀 率明 在 这 段 时 间 内 投 资 者 不 希 望 投 资 市 场 或 通 货 膨 胀 率在今后一段时间内出现戏剧性的变化。在今后一段时间内出现戏剧性的变化。利息理论应用第七章-42利息理论应用第七章-43利息理论应用第七章-44中国债券收益率曲线中国债券收益率曲线(2003-11-21)NoImage利息理论应用第七章-45利息理论应用第七章-461989 1993 China Term Structure利息理论应用第七章-

35、471996 1999 China Term Structure利息理论应用第七章-483）短期利率、即期利率与远期利率）短期利率、即期利率与远期利率短期利率短期利率(short rate)1 年以下给定期限的利率年以下给定期限的利率 即期利率即期利率(spot rate)在当前时刻的（利率表）收益曲线上给出的利率，只在当前时刻的（利率表）收益曲线上给出的利率，只用一个时间坐标表示用一个时间坐标表示 远 期 利 率远 期 利 率 ( f o r w a r d r a t e ) 现 在 时 刻 对 未 来 某 个现 在 时 刻 对 未 来 某 个时刻的某期限的短期利率的预测，用两个时间坐标表

36、时刻的某期限的短期利率的预测，用两个时间坐标表示（利率的观测时刻和利率对应的投资期限）示（利率的观测时刻和利率对应的投资期限）注注：利率期限结构可以指即期利率在投资期限上的利率期限结构可以指即期利率在投资期限上的结构，如图结构，如图7.1 中的曲线；也可以指远期利率的结构，中的曲线；也可以指远期利率的结构，如表如表7.3 给出的不同时间的远期利率水平。给出的不同时间的远期利率水平。利息理论应用第七章-49表表7.3 1998-1999 银行储蓄年实利率和（预期）远期利率表银行储蓄年实利率和（预期）远期利率表利息理论应用第七章-50远期利率的计算远期利率的计算 设设it表示期限为表示期限为t 的

37、即期利率，的即期利率，fs表示今后时刻表示今后时刻s期期限为限为1 年的远期利率，则有如下的关系式：年的远期利率，则有如下的关系式：1(1)(1)tttssifF注注： ft是由一组即期利率是由一组即期利率it 构造的，由（债券）市场上公布的即期收益率可以构造的，由（债券）市场上公布的即期收益率可以导出这种远期收益率。导出这种远期收益率。F注注： 远期利率是对未来短期利率的预测远期利率是对未来短期利率的预测利息理论应用第七章-51F注：以注：以 1999-6-10 为例，计算过程如下：为例，计算过程如下：f1 = 2.25% f2 = (1+ 2.40%)2 /(1+ 2.25%) -1 =

38、2.55% f3= (1+ 2.63%)3 /(1+ 2.25%)(1+ 2.55%) -1 = 3.00%假设假设 f4 = f5 ，则有则有f5=(1+2.73%)5/(1+2.25%)(1+2.55%)(1+3.00%)1/2-1 =2.93%利息理论应用第七章-52考虑利率期限结构下投资收益的计算考虑利率期限结构下投资收益的计算例如，例如，以贴现现金流方法计算内部收益率（以贴现现金流方法计算内部收益率（IRR），如果用即期利率进行计算，），如果用即期利率进行计算，则净现值公式为：则净现值公式为：1NPV=(1)ntttRi其中其中it表示期限为表示期限为t 的即期利率。的即期利率。F注

39、：注：大多数情况下，用这种变化利率分析的结果要优于用一个固定利率分大多数情况下，用这种变化利率分析的结果要优于用一个固定利率分析的结果。析的结果。利息理论应用第七章-53示范利率示范利率投资期限投资期限即期年利率即期年利率17.00%28.00%38.75%49.25%59.50%例：例：两种两种5 年期的债券年期的债券A 和和B，其中，其中A 的年息率为的年息率为5%；B 的年息率为的年息率为10%。 分析分析 A 和和B 两种债券的定价。两种债券的定价。利息理论应用第七章-54解：解：若设债券的面值为若设债券的面值为1个货币单位个货币单位1）如果用相同的年收益率）如果用相同的年收益率7%定

40、价，则有定价，则有0.070.071 (0.05 0.07)0.9179965|1 (0.100.07)1.1230065|ABPaPa 2） 如果用即期利率进行定价，则有如果用即期利率进行定价，则有PA=0.05(1.07)-1+(1.08)-2+(1.0875)-3 +(1.0925)-4+(1.095)-5+(1.095)-5 =0.830559利息理论应用第七章-55PB=0.1(1.07)-1+(1.08)-2+(1.0875)-3 +(1.0925)-4+(1.095)-5+(1.095)-5 =1.025891结论：结论：定价定价2）比定价）比定价1）更合理。）更合理。例：例：某

41、企业需要一笔大额借款，期限两年。该企业有某企业需要一笔大额借款，期限两年。该企业有两种选择：两种选择：1）以当前的两年期贷款利率）以当前的两年期贷款利率8%借款两年；借款两年；2）先借款一年，利率）先借款一年，利率7%，一年后再以当时的一，一年后再以当时的一年即期利率借款一年。年即期利率借款一年。 分析在什么情况选择第一种方式在什么情况下选分析在什么情况选择第一种方式在什么情况下选择第二种方式。择第二种方式。利息理论应用第七章-56解：解：如果用如果用f 表示第二年的一年期远期利率，则有表示第二年的一年期远期利率，则有(1.08)2 = (1.07)(1+ f )由此可得：由此可得：f =9.

42、01% 所以，如果企业认为一年后的一年期即期利率将超所以，如果企业认为一年后的一年期即期利率将超过过9.01%的话则选择第一种方式；的话则选择第一种方式；不然则选择第二种方式。不然则选择第二种方式。F注：远期利率注：远期利率 9.01%是对未来短期利率的预期是对未来短期利率的预期。F注：注： 在远期利率的描述上，必须指明递延的时间和利率的期限。例如：今后在远期利率的描述上，必须指明递延的时间和利率的期限。例如：今后第第3 年到第年到第8 年间的远期利率表示递延年间的远期利率表示递延3 年的年的5 年远期利率。年远期利率。利息理论应用第七章-57例：例：利用示范利率表中的即期利率计算每年底利用示

43、范利率表中的即期利率计算每年底 1000元，共计元，共计5 年的年金的现值。其等价的年收益率为多年的年金的现值。其等价的年收益率为多少？少？解：解：该年金的现值为该年金的现值为1000(1.07)-1+(1.08)-2+(1.0875)-3+(1.0925)-4+(1.095)-5=3906.63等价收益率满足等价收益率满足3.906635|ia由此可得由此可得 i=8.83%利息理论应用第七章-58期限结构的理论与模型简介期限结构的理论与模型简介理性预期理论理性预期理论 （expectations theory）1896 年首次提出。其最早提出者可追溯到年首次提出。其最早提出者可追溯到费雪费

44、雪(Fisher，1896) 。 长期债券的平均年收益率长期债券的平均年收益率（y） 是预期短期利率（远是预期短期利率（远期利率）期利率）（ft） 的几何平均，即的几何平均，即121(1)(1)(1)(1)(1)nnntyffff从而有从而有1(1)-1nnttyf利息理论应用第七章-59如果用如果用Sn表示表示（S0=1)表示表示n期单位零息票债券的到期总期单位零息票债券的到期总收益，则远期利率可以表示为收益，则远期利率可以表示为1,1,2,.,1tttsftns例：例：假设在上例中，后三年的远期利率都比上例中的假设在上例中，后三年的远期利率都比上例中的远期利率水平高远期利率水平高 1%，计

45、算年金在，计算年金在 0 时刻的现值及等时刻的现值及等价收益率，并与上例的结果进行比较。价收益率，并与上例的结果进行比较。解：解：首先计算上例中在后三年的远期利率水平以及提首先计算上例中在后三年的远期利率水平以及提高后的远期利率水平。高后的远期利率水平。利息理论应用第七章-60第三年：第三年：332(1 8.75%)110.26%(1 8.00%)f 从而提高后应为从而提高后应为 11.26%第四年：第四年：443(1 9.25)110.76%(1 8.75)f 从而提高后应为从而提高后应为 11.76%利息理论应用第七章-61第五年：第五年：554(1 9.5%)110.51%(1 9.25

46、%)f 233= (1 8.00%) (10.1126)19.08%i 从而提高后应为从而提高后应为 11.51%计算后三年新的即期利率：计算后三年新的即期利率：三年期提高后为三年期提高后为四年期提高后为四年期提高后为44(1 8.75%)3(1 0.1176)19.50%i 利息理论应用第七章-62五年期提高后为五年期提高后为455(1 9.25%) (1 0.1151)19.70%i 从而年金的现值从而年金的现值1000(1.07)-1+(1.08)-2+(1.0908)-3+(1.095)-4+(1.097)-5=3887.66等价收益率满足：等价收益率满足：3.887665|ia由此得

47、到由此得到i =9.02%利息理论应用第七章-63流动性偏好理论流动性偏好理论(liquidity preference theory) J.R.Hicks(1939)和和 J.M.Culbertson(1957)对纯预期对纯预期理论进行了修正，提出了流动性偏好假设。理论进行了修正，提出了流动性偏好假设。长期利率是对预期短期利率与流动性偿之和长期利率是对预期短期利率与流动性偿之和 流动性补偿流动性补偿大多数投资者偏好持有短期债券，大多数投资者偏好持有短期债券，为了吸引投资者持有期限较长的债券，必须给他们一为了吸引投资者持有期限较长的债券，必须给他们一定的补偿。定的补偿。 现实生活中，个人和企业

48、都更偏好于短期投资，以现实生活中，个人和企业都更偏好于短期投资，以便能尽快收回他们的资金，保持资金的便能尽快收回他们的资金，保持资金的“流动性流动性”。因此，长期投资应该以较高的。因此，长期投资应该以较高的利率吸引投资者。利率吸引投资者。利息理论应用第七章-64 通通 货货 膨膨 胀胀 风风 险险 报报 酬酬 理理 论论 (inflation premiumtheory) 投资者对未来的通胀情况的不确定性有所担忧投资者对未来的通胀情况的不确定性有所担忧因此，需要提高利率来弥补这种风险。因此，需要提高利率来弥补这种风险。利息理论应用第七章-65利率风险的度量利率风险的度量问题的提出：问题的提出：

49、 由于利率期限结构的作用，未来现金流的时间由于利率期限结构的作用，未来现金流的时间性在利率敏感分析中起着重要的作用；性在利率敏感分析中起着重要的作用；现金流发生的时间越远，对利率变化越敏感；现金流发生的时间越远，对利率变化越敏感； 如果是一组现金流，就需要用一个量表示这一如果是一组现金流，就需要用一个量表示这一组现金流的时间性质。组现金流的时间性质。F注注 ： 金 融 产 品金 融 产 品 时 效 性时 效 性 的 一 个 基 本 指 标 是 到 期 期 限的 一 个 基 本 指 标 是 到 期 期 限(term to maturity)， 但仅凭此不能完全区别不同金融但仅凭此不能完全区别不同

50、金融产品的时间性产品的时间性利息理论应用第七章-66等时间法（等时间法（method of equated time） 基本思想：将现金流的发生时刻以流量为权数进行基本思想：将现金流的发生时刻以流量为权数进行加权平均，得到一个等价时间加权平均，得到一个等价时间 设设R1, R2, Rn为时刻为时刻1，2,n的一组同方向的现金流，则的一组同方向的现金流，则11nttntttRtR利息理论应用第七章-67例：例：对前面考虑的两种对前面考虑的两种5 年期债券：年期债券：A：年息率为：年息率为5%B：年息率为：年息率为10%求等价时间。求等价时间。解：解：债券债券 A 年息率年息率5%，所以，所以51

51、55 1004.605 5 100tAtt 利息理论应用第七章-68债券债券B 年息率年息率10%，所以，所以51105 1004.335 10 100tBtt 即：即：债券债券 A 的平均回收期为的平均回收期为4.6 年年;债券债券 B 的平均回收期为的平均回收期为4.3 年。年。F注注： 无论什么收益率环境，无论什么收益率环境，5%息率的债券比息率的债券比10%息率的债券的平均回收期都息率的债券的平均回收期都要长。要长。利息理论应用第七章-69期度期度 / 期限期限 / 久期久期 （duration）Macaulay 期度，记作期度，记作:d111( ),(1)ntttnttttRvd i

52、viRvF注注： 实际上是将现金流的发生时刻以流量的现值为权数进行加权平均得实际上是将现金流的发生时刻以流量的现值为权数进行加权平均得到一个等价时间到一个等价时间( )d i结论：结论：等价时间、等价时间、 越小则对利率风险越不敏感。越小则对利率风险越不敏感。( )d i利息理论应用第七章-70结论：结论：1） 若若i =0 则有则有 退化为等价时间退化为等价时间( ),( )d it d i2） 一般有一般有0( )d in 上式等号成立当且仅当现金流只有一次发生，即上式等号成立当且仅当现金流只有一次发生，即Rk = 0, 0k 0 注 在现实问题中，负债的情况在很大程度上是由企业的外部环境

53、决定的，因此免疫技术从定义上虽然是对资产和负债两方面的调整，而实际的操作目标是调整资产的结构。 )()(iPiPc c利息理论应用第七章-100免疫技术的基本原则 适当调整资产结构，使得：1）资产收益现金流的净现值不小于负债流出现金流的净现值；2）资产的修正投资期限（期度）与负债的修正投资期限（期度）相等；3）在资产收益现金流的净现值等于负债流出现金流的净现值的条件下，资产的凸值应该大于负债的凸值。 利息理论应用第七章-101例：甲承诺在一年后付给乙1100元。 甲现在以1000元进行投资选择：短期资金市场的隔日变动的当前利率为10%，另有10%收益率的两年期无息票债券。 基于免疫技术给出一种

54、较优的投资策略。假定所有计算的年利率为10% 。 注 如果恰好有10%收益率的一年期无息票债券可供投资，则甲应选择全部投资该一年期债券。在没有正好的投资项目时，需要考虑组合投资，需要考虑免疫的问题。 利息理论应用第七章-102解：设解：设X 表示投资短期资金市场的金额，表示投资短期资金市场的金额，Y 表示投资表示投资债券的金额则有债券的金额则有213243( )1.21(1)1100 (1)( )2.42(1)1100 (1)( )7.26(1)2200 (1)P iXYiiP iYiiP iYii 设设 X 和和Y 满足满足2132(10%)1.21(1 10%)1100 (1 10%)0(

55、10%)2.42(1 10%)1100 (1 10%)0PXYPY利息理论应用第七章-103解方程可得：解方程可得：X =Y =50043(10%)7.26 500 (1 10%)2200 (1 10%)826.450P可以验证：当利率有小的变化时，净现值将保持大于可以验证：当利率有小的变化时，净现值将保持大于零零(11%)0.04060(9%)0.04210PP下面计算与该投资策略相关的修正投资期限和凸值：下面计算与该投资策略相关的修正投资期限和凸值：（i=10%）利息理论应用第七章-104关于修正投资期限，可以利用资产部分的表达式得：关于修正投资期限，可以利用资产部分的表达式得：23( )

56、1.21(1)1000( )2.42(1)909.09( )0.90909( )P iXYiP iYiP ivP i 也可以分别对短期资金市场和债券计算：也可以分别对短期资金市场和债券计算：20;1.1vv加权平均后，有：加权平均后，有：11200.90909221.1v 利息理论应用第七章-105关于凸值，有：关于凸值，有：4( )7.26(1)2479.34P iYi从而从而( )2479.342.47934( )1000P icP i例：例：30 年期住房抵押贷款，月换算名利率年期住房抵押贷款，月换算名利率10.2%，按，按月偿还。计算：月偿还。计算：1）还贷现金流的修正投资期限；）还贷

57、现金流的修正投资期限；2）还贷现金流的凸值。）还贷现金流的凸值。利息理论应用第七章-106解：解：1）月实际利率为）月实际利率为 ，0.1020.008512 将还款金额单位化将还款金额单位化后可得现金流的修正投资期限为后可得现金流的修正投资期限为()|99.85|iIanvani其中其中 n=360, i =0.0085 所以，修正的投资期限近似为所以，修正的投资期限近似为100 个月，而实际还个月，而实际还款期为款期为360 个月。个月。利息理论应用第七章-1072）计算二阶导数：）计算二阶导数：2221122221( )(1)(1)()1322321(1)nnttttntntP it t

58、ivtt vnt vvniiiii 由此可得由此可得22|1|() ( )( )ntntnvt vIaP icP ia21,940,079 11,283.8017,121(1.0085) (112.0591)利息理论应用第七章-108资产负债匹配资产负债匹配(matching of assets and liabilities)两种资产负债匹配方法：两种资产负债匹配方法：1）绝对匹配绝对匹配(absolute matching) 基本思想：构造一种资产组合使其收入的现金流在基本思想：构造一种资产组合使其收入的现金流在每个时期均与负债的现金流相匹配每个时期均与负债的现金流相匹配 例如：养老基金将

59、为退休人员以固定的方式和金额例如：养老基金将为退休人员以固定的方式和金额发放退休金，为此，养老基金一般选择等级较高的无发放退休金，为此，养老基金一般选择等级较高的无早赎债券的投资组合，例如一系列零息票债券，使其早赎债券的投资组合，例如一系列零息票债券，使其收益现金流与养老金的发放完全匹配。收益现金流与养老金的发放完全匹配。利息理论应用第七章-109 这种投资常被称为这种投资常被称为“专门的债券组合专门的债券组合”（dedicatedbond portfolio）。）。 一旦达到了这种匹配，就不需要进一旦达到了这种匹配，就不需要进一步的分析和计算了。一步的分析和计算了。注：在现实情形中注：在现实

60、情形中 很难或根本无法做到这种匹配很难或根本无法做到这种匹配例：现有如下的资产负债数据：例：现有如下的资产负债数据：利息理论应用第七章-110可选的投资资产有：可选的投资资产有： 1 年期零息政府债券年期零息政府债券 2 年期息率年期息率5%的政府债券的政府债券 3 年期息率年期息率6%的政府债券的政府债券 5 年期息率年期息率10%的政府债券的政府债券从资产负债现金流匹配的角度决定需要进行的资产从资产负债现金流匹配的角度决定需要进行的资产交易。交易。注：假设政府债券每年兑现一次息票注：假设政府债券每年兑现一次息票解：为了达到现金流的匹配每项负债现金流都必须解：为了达到现金流的匹配每项负债现金